同方专转本冲刺班数学习题训练5至9讲

(2) (-?，(1，+x -1 0 (,0),,(1,0),(0,)，, x0 1 (0，-1) 0 ?) '+ - + fx() y'' + + — 极极fx() 拐拐大 小 y凹 凸 凹 点 点 f00,fx,1,0(3)极大值 ，极小值， 在，，，，，， 5单调减 (,0),,答:拐点(0，)及(1，);,1， 9fx,,,，,,1,0,在单调增 ，，，，，， 22为凹区间，(0，1)为凸区间。(1,)，, xyyy，,,1(0)15 求由方程所确定 yyx,()的极值。 1xx2218(求曲线ye,，(1)的水平渐近线与垂直渐近线。 22''0xyxyyy，，,解:(1)求驻点: 12x0yxyy'0,20,(0),,,xx,0令?驻点 解:(1)是曲线的一？lim(1)111，,,？,ey,,,x(2)判别极值点 条水平渐近线。 222222'4'2(''')''0yxyyxyyxyyyy，，，，，,当0xln(1)，e1,，，limy,1xx,0,，,xxx时 代入上式 (2)？lim(1)ee, ，,，,xy''00,2+0+0+0+ ，， xxeey''(0)limlim,,,20.0x=为极大值点， xx,，,,，,xx，1eeeee,,' y(0)1,(3)极大值 ye,是曲线的另一条水平渐近线 ？ 231fxxx()2(6),,x，,16(求在区间[，4] ,2x(3)? lim(1)20，,,,？,ex，x,0上的最大值，最小值。 为曲线的一条垂直渐近线 3 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn sinx,'219(判别函数在的单调性。 ， yxxc,,，312(0,)fx(),12x xxxcossin,'解:(1) 由 ycc(2)3,122439,,,，,,,知fx'(),112x '2gxxxxgxxx()cossin,'()sin,,,,(,)令 即yxx,,，3129 ,'2g(0)0,,且 ,,gxx()(0,) ,o(4)求函数y: ？yxx,,，31292 3gxggx()(0)0()0,,,, 答:所求？,,，，,,yxxxcyc69(2)42由得22 gxx()sin32(3) ？fxfx'()0(),,？,xxx,，，692函数y= xx ,,x在单调减。 (0,)22 利用导数描绘的图形 yxe,2 2,,xx,0(,),,，,解:(1)定义域，非奇非偶函数 fx()确定单调的20(设fx(){,xxxarctan,0, 区间。 '')求驻点和的点 (2y,0 2,,x0解:(1) f'(0)lim0.,,,x,y'0,yxe'1,,x,1，令，驻点 x,0，，x xxarctan,xy''0,yxe''2,,x,2，令，得 ,,，，f'(0)lim0.，x0,,x0 (3)列表 f'(0)0,故有为驻点 (,1),,(2,)，, x 1 (1,2) 2 x,0(2)当时， fxxfxx'()20()(0),,,,,, '+ _ _ yxx,0时， fxx'()arctan0,，,21，x''_ _ + y ,,,fxx()(0) y 极大 拐点 fx()(,),,，,fx'()0,x,0(3)除外，(在单调 ,1,2极大值，拐点 fe(1),(2,2)e增加。 四、综合题(每小题10分，共,,分) (4)渐近线与函数变化趋势 21 已知函数的图形上有一拐点(2，4)，在拐点处曲,'',3线的切线斜率为，而且该函数满足，yxa,，6x1,limlim00y？,？,是曲线的一条水平xxxx,，,,，,ee求此函数 ''',x解(1)已知; yyy(2)3,(2)0,(2)4,,,,渐进线， limxe,,,x,,, (5)描点作图 ''''(2)求常数 ayxay:6,(2)0？,，,由 y,0x,0当时 ''得120，,a， ayx,,,,12612即 ？yx''612,,y'(3)求: 4 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn nn FaFbafbbfa()()()(),,, '由罗尔定理知 F()0.,,即？ nnn,1 nfbfabaf,,[()()]()'(),,, ,,(,)ab 五、证明题(每小题9分，共18分) , 选做题 xfxf,,0,()(0)0,连续，23 设 xpqx，，,cos0证明方程:恰有一实根，其中pq, fx'()存在且单调增加，证明当当时xfx,0'(), 01,,q常数，且 fx，，x,0时单调增加 fxxpqx()cos,，，证明:(1)令 x fx()证明:1)令 Fxx()(0),, (2)'()1sin0()fxqxfx,,,, x xfxfx'()(), 故最多有一实根fx()0,(2)'()Fx,2x f(0)0,()在3()？fx-q-p,q-p[]连续 xfxfxf'()[()(0)],, 2x 且 fqpqppqqp()cos0,,,,,，,,,,，，微分中值定理xfxxf'()'(),,(0),,x,2fq-p=q-p+p+qcosqp>0()(),x fxf'()'(),,至少有一实根？由零点定理知:fx()0, ,x fx'()fx()0,x,0当时，单调增加 (4)综上所述:有且仅有一个实根 ？ ffxfxf'()'(),'()'()0,,,,,即？ 第六讲:利用导数证明不等式及导数fx()故有单调增加 Fx'()0.(0,),，,即在x 应用题的强化练习题答案 在可导(a,b)，24 设证明fxab()[,]在连续， nnn,1,,(,)ab， nfbfabaf,,[()()]()'(),,, 111,,x,0,，,ln11(当时,证明成立. 证明:1)构造辅助函数: ,,xxx，1,,nnn Fxxfbfabafx()[()()]()(),,,, 1,,证:(1)变形:ln1ln1ln，,，,xx,这是对数函，，,,在可导(a,b)，(2)且 ？Fxab()[,]在连续，x,, 数的增量形式 nnnnFaafbafabfaafa()()()()(),,,， ftttxx,,，ln,,1令 ，，,, nnnnFbbfbbfabfbafb()()()()(),,,， 5 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn xftt()ln,(2)在xx,1，应用拉格朗日中值定,,？e是单调增函数 (3) 0,xxx1？,,eeexexe,,,1x,0，故有, 理: ln1ln1，,,，,xxxx，，，，,证毕 1,111x,04(当时,证明成立. ，,arctanx ,,,,,，,1xxx2xx，,11,x,0证:(1)令 ,，,fxxarctan，，，，x2111 (3) ？xx,,,，？,,1,111,xx，,1,(2) ？fx,,,, 0，，22221，xxxx1，，， 111,,故有 ,，,,ln10x，，,,0,，,？fx在单调减少 ，，，，xxx，1,, 证毕～ 0,，,？fx(3) 在单调减少,且 ，，，， arctanarctanabab,,, 2(证明:成立 1,,,fxxlimlimarctan0,，,, ，，证:(1)构造辅助函数, ,,xx,，,,，,x2,,fxxbaba,,arctan,,,令 ，，,, ？,fx0x,0故当时, ，， fxx,arctanba, (2)在应用拉格朗日定，，,,1, 证毕 ，,arctanxx21理: ,,,arctanarctan()abab,2,5(当时,证明成立. 0,,x,sinxx，,1,2 sin2xba,,, 证:(1)变形, ？,？,x0,x 1sin2x,,,,,, arctanarctanabab令fxx,,,,0 ，，,,,，,1x2,,, xxxcossin,,1(2) fx,，，2(3) 对于 01arctanarctanabab？,,？,,,x,1，, gxxxx,,cossin令 ，，ba,的情形,同理可证. 证毕 ,gxxxxxxx,,,,,,cossincossin0，， xxxexe,,,1x,03(证明:当时,有成立. ,,,gx 0,,x，，证:(1) 构造辅助函数: 2 xx0ggxg0000,,,,且 ，，，，，，？eee,,,1 tftetx,,,0,?令 gx，，,,，，,fx,,0从而 ,，，2xtfte,0,x(2) 在应用拉格朗日中值定，，,, ,,,fx0,在单调减少 ，，x0,,,eeexx,,,,,,0,0理, ，，2,, 6 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn x,1是最小值点 由单峰原理,,,,,fxf(3)?且=0 ，，,,f110,,最小值 ，，2,, fxf,,10故有,即 ,，，，，,,fxf0 ？,,，，,,2,,24ln24002xxxxx,,，,,, ，，2即有成立 ,sinxx证毕 , x01,1,,,xp8(设,证明 exx,，,,11cosx,06(当时,证明成立. ，， 1pxp证:(1)变形，令 fxexx,,，,，(1)1cos成立. ,，,,xx，，11，，,1p2 ppxfxxx,，,1证:(1)令 ，，，，,,，,exxcos2 x,px,,,1,01fxex,,,1sin (2) ，， p,1p,1,,fx(一阶导数符号不易判定,借助) ,fxpxpx,,,,10，， (2)，，，， 1x,,fxexx,,,cos00= ,xx,,1,驻点 x,，，，，2 pp,,fx f00,且 ,，，，，1111,,,,,,(3) f,，,,,12,,,,,,p2222,,,,,,,,fxf,,,00 ，，，，1 ,,,ff,01,11，，，，p,12,fxfx,,0单调增加 ，，，，(4)比较上述函数值的大小: 10,，,？fx(3)在单调增,且 mM,,，，，，,1p,12f00,？,,fxf00mfxM,,, 故有,即 ，，，，，，，， 1pxpexxx,，,,,(1)1cos0故有 ,，,,xx，，11，，,1p2 证毕 px,,,1,01 24ln240xxxx,,，,02,,x7(当时,证明:成立. 证毕 42(02),,x45xx,,x,1解:(1)令 9(证明:当时,有. fxxxxx,,,，4ln24，， 4,fxxx,，,,4ln422fxxxx,,,4,1 (2) 证:(1)令 ，，，， 3,,,,4ln(22)xxfxx,,44 (2) ，， 3,,,,410xx,1fx,0x,1, 令,驻点 ，，，， 4,,,fx,1,1,,在单调增加 f(1)4220,,,,x,1(3) ，为fx,,2,，，,,，，x 极小值点. 7 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn mf,,,,,,,1415fx,0 (3) 有且仅有一个正根 (3)综上所述:，，，， 12(证明方程: Mf,,,,1413 ，， xxxx,,，,,1223 ，，，，，，，，4,,,,543xxmfxM,,由,得 ，， ，,,,xx310 ，，，，445xx,,从而有 证毕 有且仅有两个实根. 二、证明方程根的个数 fxxx,,,，12解:(1)令 ，，，，，， 5p,010(证明:当时,方程仅有一个xpxq，，,0 xxxx,,，,,2331 ，，，，，，，，实根. 5fxxpxqp,，，,,0？fx1,2 证:(1)令 在连续且 ，，，，,, 4,fxxp,，,50f1121320,,,,, ，，，，，，，，,fxfx,0f210,,,单调增,故最多有一个实根 ，，，，，， ?由零点定理知: 5？fxxpxq,，，,0(2) ，， fx1,2在至少有一个实根 ，，，，是一元五次方程 ？,fx0fx2,3至少有一个实根 同理:=0在至少有一实根 ，，，，，， fx,0fx1,3(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕 总之, =0在至少有两个实根 ，，，，，， 3fx(2) =0是一元二次方程,最多有两个 ，，xxx，,cos11(证明方程只有一个正根. 实根( 3fxxxxx()cos0,，,,证(1) ，， fx(,)综上所述:=0有且仅有两个实根 ，，2,fxxx,，，,31sin0 ，， k,0,13(设常数 ,fx单调增 ，，x0,，,证明方程,在内有且仅有两ln0xk,，,，，efx,0故最多有一实根 ，，个正根. x,证:(1)令 (x>0) fxxk()ln,,，，，？fx0,(2)在连续且 ，，e,,2，，11',fx,0(2) ;令 fx(),,，，xef010,,, ，，驻点 xe, ,1,13,,,,<0, fx,fe,,0，，，，,,,,,,,22 f0,，,xe,,,,222,,,,为极大值点. xe, 由单峰原理:是最大值点 xe,fx,0?由零点定理知: ，， fe,,，,110k最大值 ，，至少有一个正根. 8 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn ,69,,2且, limfx,,,，， (4),，，,,d20920，，，，，x,02 最小值 limfx,,,，，x,，,293213，,,d,，，,,,293 ,,yfx,故与轴有且仅有两个交点 x，，4242,, (如示意图) 15(在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时 的底半径与高. 解:(1)画出示意图 fx,00,，,即在有 ，，，， 且只有两个实根. 三、 应用题(每小题10分，共50分) (2)依题意,设所求圆柱体体积为V 1222214(已知曲线. y, VrhrRh,,,,,2x 2223VRhhRhh,,,,,,, (1)求曲线在横坐标为的点处的切线方程. x，，0 (2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. (3)求驻点 22,,,,VhRh,,3,,V,0,令, 1，，解:(1)求切线方程:切点 x,,,02x0,, 122Rh,3,驻点 hR,,,33yxyxx'2,'2,,,, ，，300 ,,Vh6,,,(4)求最值点: 12,切线方程:yxx,,, ，，023,,3xxR00,,hR,, V,0,,33,,23xy，,即 32xx120022rRRhR,,,为最大值点 33 3x0(2)令 yx,,,0;232rR,hR,答:当,时,所得圆柱体体积最大 33 3xy,,0,令 16(某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,2x0若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为 2每小时公里,求客轮最经济的速度? c2,,339,,224,解:(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程dxxx,，,，9(3) ,,000,,224x,,0,,为.消耗总费用为y.依题意: s s9,25,3 ,其中是甲城到乙城所需要的ykvtt,,,,t,,，dxx49，，00vc,2 1时间 ,26令 dxxy,,,,,0,8,2,，，0002 9 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 3v yks,vc, (2)求驻点: 23 解:(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V 33vvcv,,，，, yks,,122222Rhr,，, 依题意:,,Vrhvc,，，3 21222vvcks23,，，2,rR,, , ,,,VrRr ,23vc,，，(2) 求驻点 33,,,,ry,0令,驻点 vc,22,VrrRr2 ,,,，，,,2223Rr,,,(3)求最值:由实际问题的意义知道: 32r最小值存在,且驻点唯一,当时, vc,22,Vr令=0. ,,,Rr，，222Rr,客轮消耗燃料总费用最省. 32m17(欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,2232rR,rR,,驻点 3已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水 池的尺寸怎样,才能使总造价最低? 228,解:(1)列出函数关系式:设池底半径为h,池高为,？,,～？,,,r2rRR又 ,,R33池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意: ya (3) 求最值 22 ？yarrha,，32,,,3000,rh,由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一, 60002 ？,，,yara38,,,当时,漏斗的容积最大. r36000,(2) 求驻点: ,,,yara62r 10,第七讲:不定积分的概念与换元积分法y,0令,驻点, r3, (3) 求最值: 的强化练习题答案 1012000,,,,,, y()0,,，ya633r,一、单项选择题(每小题4分,共24分) Fxfx,,，,,1(设是在上的一个原函数,且10，，，，，，当,时,总造价最省. r3, Fxfx为奇函数,则是 ( ) ，，，， 30003010h,,(4) 当,时, rA (偶函数 B( 奇函数 233,,,,10C( 非奇非偶函数 D(不能确定 ,,3,,,解:可导奇函数的导函数必为偶函数. ？ hr,3答:当时,总造价最低. ,？,fxFx必为偶函数.选A ，，，，18(从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下 的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? ,fxgx2(已知的一个原函数为,的一个原cosx，，，， 10 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 22xfgx，，函数为,则的一个原函数为 ( ) ，，x，，fxx,,,选A ，，222cosxxA ( B( ,2xefx5(设是的一个原函数,则 ，， 2cosxC( D ( cosx fxxfx,,,2()，， ( ) lim,,,,x0解:(1),？fxxx,,,cossin,x，，，， ,2x,2x,22e8eA( B( gxxxfgxx,,？,,2sin2，， ，，，，，，，， ,2x,2x,2,2e4eC( D( ？cos2cos(sin)xxx,,(2) ，， 解:(1) ,,？sin2x 选B fx3(设为连续导函数,则下列命题正确的是 ，，fxxfx,,,,22，，，，，，，，，，lim原式= ,,x0,,,x( ) 1,,,2fx ,A( ，，fxdxfxc22,，，，，，,2 ,2x,fxdxfxc22,，B ( ？Fxe,(2) ，，，，，，, ,,,,22xxfxee2 ？,,,,C( fxdxfx222,，，，，，，，，，，, ,,22xx,fxdxfxc2,，D( ，，，，(3) 原式= 选D ,,,2(2)4ee, 1,,, 解: fxlnfxdxfxdx222,，，，，，，,x,,fxe,dx6(设,则=( ) 2，，,x1 ,，fxc2，，12,，lnxcA( B( ,，c选A x 122,fxxcossin,4(设且 lnxc，C( D( ，c，，xf00,fx ,则=( ) ,fxln，，，，，，,dxfxdx,lnln解:(1) ，，,,x1122A ( B( ,xxx,22,，fxcln ，，131,xC( D ( xx,,x3？fxe,,(2) ，，22,？fxxcos1cos,,解:(1) ，， 1ln1,xlnx？,,,fxeeln ，，,？,,fxx1 ，，x 12(3)原式= 选C ，cxfxxc,,， (2) ，，x2二、填空题 f00,fxc,0xxln且得 7(若是的一个原函数,则 ，，，， 11 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn ,, fx= ，，lncosfxx,,则 12(若，，，，，， ？Fxxx,lnfx, 解:(1) ，，，， ,,？,,，fxFxx1ln ，，，，lncosfxdxxdx,，，解: ，，，，,, 1,lnsinfxxc,， ,(2) fxx,，,1ln，，，，，，1x cx,sinsinx1fxkx,tan2fxece,,,8(设的一个原函数为 ，，，，，，2三、计算题 k, ,则 lncos2x23xx 13(edx，3，，,2解: ？Fxx,lncos2，，22xxxx3，，eedx，，,323 解:原式= ，，,,,，，2sin2,x ？,,fx2，，，，x3cos2x2xx ,，，edxdxedx923，，,,,44,故 k,,,,,，tan21lnxFxx，，，，33xxx1923,,e2x ,，，，ec2fxdxxc,，9(若,则 ，，2ln91ln3，, 23xfxdx1,= sinlncoslnxx，，，，，，，，，，,，，，，dx14( ,x133 解: 原式= ,,,fxdx11，，，，,3sinlncoslnlnxxdx, 解:原式= ，，，，,13 ,,,，1xc，，3,sinlnsinlnxdx ，，，，, cos2,，，10(, d2,12,= ，，sinlnxc，，，sin2，，,，，2 ln(tan)x2215( dxcossin,,,, 解:原式= d,sincosxx,224sincos,, lntanx，，11dd,,dx 解:原式= 2, ,,tancosxx22,,44sincos,, 11 ,,,，,,lntanxcottantc，，,dxtan 44,tanx 1,,,,,，cscc或 ,,,lntanlntanxdx ，，，，2,,, 1fxdxFxc,，11(若,则 ，，，，arctan,21xdx 16( ,，，，lntanxc，，2,，，1，x,,xx2efedx, ，，, ,,,xxx,,,，fedeFec 解:原式= ，，，，, 12 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 21 解:令xtdxtdt,,tan,secarctanxdx 解:原式= ,31,,tant22x，1原式= sectdt,,2,x,,sect 21tansectdt= ,arctan1,,x,,d ,,2,2x,,sec1sectdt ,,1，，,,,1，,,x,,13 ,,，secsecttc113 ,,arctanarctand,xx31回代12222 11，,，，xxc2，，，，11,,3 ,,，arctanc,,2x,,1dx 20(1,217( dxxx4,,1sin，x 1sin,x 解:原式= dx2,1sin,x 1sinx ,,dxdx2,,cosxcosx dxcos ,，tanx2,cosxxtdxtdt,,2sin,2cos 解:令 1,,，tanxc 2costcosx原式= dt,2sincostt 11 ,csctdt,18( dx,2xx，，21，， 公式1 lncsccotttc,，，，2 解:令 xtxtdxtdt，,,,,1,1,22 221t回代124,,x原式= dtdt,2 ln，c2,,21，t1，tt，，2x 四、综合题(每小题10分，共20分) 2arctantc，= 1回代dx21( 2arctan1xc，， ,2xx,9 11,3x 解:(倒代换)令 xdxdt,,,2dx19( tt,21，x 1,,tdt,,,2dtt,,原式= ,,,,2119,t,92t 13 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 12dt3，，11 lnln1lnFxxc,，，，，，，1 ,,,,，arcsin3tc,223313,t，，2F02,c,2,由,得 Fxcx,，1，，，，1回代13 ,，arcsinc2 ？Fxx,，21，，3x 13222,xx ,，arccosc？,,fx ，，3x22211，，xx xt,3sec,(注:(三角代换)令 1Gx()Fxfx24(设是的一个原函数，是的，，，，dxttdt,3sectan, fx()3sectan1tt原式= dttc,，,一个原函数且 9sectan3tt FxGxf,,,1,01,证明: ，，，，，，回代13) arccos，c3xx,xfxe,fxe,或 ，，，， x22( edx,1,？FxGx,,,1.证:(1) ，，，， xx2etet,,,，1,1, 解:令 ,,？，,FxGxFxGx0 ，，，，，，，，2t2 xtdxdt,，,ln1,，，21，t1,，,fxGxFx0 ，，，，，，2fx，，ttt,，,211原式= dtdt,2,,2211，，tt ,11,，,fxFx0 ，，，，Fxfx2arctanttc,，= ，，，，，， 22,,Fxfx 回代，，，，xx21arctan1eec,,,， ，， Fxfx,i(2)讨论,若,即 ，，，，，，五、 证明题(每小题9分，共18分) ,fx，，Fx,0fx23(设是 的一个原函数,且，，，，, fxfx,,,1 ，，，，fx，， fx，，xF02,,,, ，，x2ln,fxxc,，fxce, ，，，，Fx1，x，，1 2xf01,c,1由,得 ，，fx,证明: ，，21，xxfxe,故有 ，， ,Fx，，x,？fxFx,？, 证: ，，，，2,Fxfx,,fxfx,,ii若,即 ，，，，，，，，，，Fx1，x，， ,x,Fx，，,,,，lnfxxcfxce,x, ，，，，2dxdx, 2,,Fx1，x，， f01,c,1由,得 ，， 14 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn ,x,x,xfxe,exc，，1,，，exc1故有 证毕 B( A( ，，，，，，选做题 ,x,xexc1,，exc,，1C( D( ，，，， 11( dx,10,,xx,FxefxFxe,？,,,,xx，2解: ，，，，，，，， 1010xx，,2，，xdFx原式= ？1，，,解:原式= ,,102xx，2，， ,,xFxFxdx ，，，，,9，，1dxx ,,dx,,,xxx,,,,10,,,，，xeedxxec1 ，，2xx，2,，， 10选A ，，dx，2，，11,, ,,,lnx2,10lnxfx2(若的一个原函数为,则 ，，210x，2,,，， ,xfxdx,( ) 11，，，，10,,,，，lnln2xxc ，，,,210，，22lnlnxxc,，2lnlnxxc，，A( B( xex,sin选做题2( dx22,x2lnlnxxc,，lnlnxxc，，C( D( ex，cos 2xFxx,ln,解: ，，dex，cos，，解:原式= ,xex，cos2, fxFxx,,ln，，，，xx,，，lncosexc ,xfxdxxdfx, ，，，，,,1选做题3( dx4,sinx,,xfxfxdx ，，，，,2csccotxdx,解:原式= ，，,2,,，2lnlnxxc 2,,，1cotcotxdx ，，,选C 13,fxxxln1ln,，3(设,则 ,,,，cotcotxxc，，，，3 fx =( ) ，， 第八讲:不定积分的分部积分法等的22xxxx1A(xec，， B(xec,，， ，，22强化练习题答案 22xxxx1C(xec,， D(xec,,， ，，22一、单项选择题(每小题4分，共24分) ,xlnx,efx1(设是的一个原函数,则 ？fxexln1ln,，解:(1) ，，，，，， x,xfxdx,( ) ？,，fxex1 ，，，，，，, 15 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 1xfxxedx,，1 (2) A( ，，，，arctanxc，，,x 122B( ,，arctanxcxxxxx ,，xde,，,，xeecx,221C( ,,，arctanxc选B x 1,,xfxdx4(= ( ) D( ，，,，，arctanxc,x 22xx，,1,xfxfxdx,A( ，，，，,解: 原式,dx ,22xx1，，，xfxfxc,，B( ，，，，11 ,,dxdx22,,xx1，,xfxfxc,，C( ，，，，1 ,,,，arctanxcx,fxxfxc,，D( ，，，，选C 二、填空题(每小题4分，共24分) ,xdfx解: 原式= ，，, lnxdx7(= , ,,,,xfxfxdx ，，，，, ,,xxxdxlnln解: 原式 ,,,,xfxdfx ，，，，,1 ,,,xxxdxln,x,,,，xfxfxc 选C ，，，，,,，xxxcln xxdx,5( ( ) 8( edx,2,,cosx xxxctanlncos,，A( xt,t2etdt,解: 原式 ,xxxctanlncos，，B( ttt,,,，222tdeteec , xxxctanlnsin,，C( 回代xx22xeec,， xxxctanlnsin，，D( 1xdxtan解: 原式= ,dx9(= ,xx，，12，，，，sinx ,,xxdxtan,cosxxx，,，21拆项，，，， 解: 原式 dxdxcos,= xxtan，xx，，12，，，，,cosx 1dxxxxctanlncos，，= ,,dx,,xx，，12 选B ,，,，，ln1ln2xxc 16( ( ) dx,,22xx1，，， 16 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 1122 x，1=xxxxcarctanln1arctan,，,，，，，， ,，lnc22x，2 xxxdxcossin15( ,x,fexx,，,1010(若,则 ，，，，1解:原式= xxdx,sin2,2fx= ，，,1= xdxcos2,xx4,？fee,，1ln解:(1) ，，,1，，= xxxdxcos2cos2,,，，4,？,，fxx1ln ，，,11= xxxecos2sin2，，48fxxxxxcxxc,，,，,，lnln (2) ，，,,23,x16( xedx,x11(dx, 2,sinx22x2,x.解:原式= xed,xdx,cot 解: 原式=? ，，2 cosx2,,，xxcot? dxxt,11,,tt tedttde,,,sinx,,22,,，xxxcotlnsin ，c1,,tt，， teedt,,,,，，222,xfxfxdx,12( ，，，，,1,,tt，， teec,,，，，，12222, 解: 原式= fxfxdx,，，，，,2回代212,x，，2凑微分11xec,，，1 ，，222，，，， fxdfxfxc,，，，，，，，2,，，24 三、计算题(每小题8分，共64分) 2xxdxcos17( ,lnsinx13( dx2,2cosx,xdxsin 解: 原式 , lnsintanxdx.解:原式= ,22 ,,xxxdxsinsin,cosx= tanlnsintanxxxdx,,,，，,2sinx,,xxxxdxsin2sin ,tanlnsinxxdx,,= ，，,2,，xxxdxsin2cos ,tanlnsinxxxc,,，= ，，2,，,xxxxsin2cos2cosxdx ,211，,x14( arctanxdx22,xxxxxcsin2cos2sin，,，= 1，x 3x218( edxx,arctanxdx解:原式= 2,1，x3xt,2tx3etdt,解: 原式 ,= xdxxdxarctanarctanarctan,,2,,1，x 17 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 2t,,xfxdx21, 证 ，，tde=3? , 12tt，， ,,,,,32teetdt ,,,xfxdx2121，，，，,,，，2 12tt，， ,,,32tetde ,,xdfx21，，,,，，2 12ttt，，，， ,,,,，322teteedt ,,,,fxxfxdx2121，，，，,,，，，，2 1112133311，，xxx33 ,,，，36xexeec,,,,,,,fxxfxdx212121，，，，，，,,,22，，4xx119(dx 2,, ,,,,，fxfxc2121，，，，1，x24 五、综合题 4x,，11 解: 原式 ,dx32,secxdx22( 1，x, 132,secxdx解: 原式 ,,，xdxdx1，，,,,21，x 23,，1tansecxxdx ，，x,,,，，xxcarctan 3 ,，tansecsecxdxxdx ,,xdx20( 2,xx,,62secsecxxsecxdx,sectanxx-?+? xx,解:(1) 32,secxdxxx,，32,,，，sectanlnsectanxxxx xx,,6，，，，,AB3secx移项: AxBxx，，,,23,，， ，，，，,xx,，32 31x,3令,5A=3,, A,,，，，，，sectanlnsectanxxxxc，，52 2sinxx,,2fx令,得 23(已知的一个原函数为, B,，，5x 323,xfxdx求 ，，,55(2) 原式= dxdx，,,sinxxx,，32解: ？Fx,，，xdx，2，，32xxxcossin,ln3x,，= ,, ？,,fxFx，，，，552x，2x323,xdfx原式 ，，,,，，，ln3ln2xxc,55 四、证明题(本题8分) 32,,,xfxfxxdx3 ，，，，, fx21(已知有二阶连续导数,证明 ，，xxxxxxcossincossin,,22,,,xxdx3,22x1xx,,,xfxdx21, ,,,,，fxxc2121，，，，，，,224,,,，xxxxxdxxdxcossin3sin3sin,, 18 苏州大学生网 专转本 www.sz-dxs.cn 2x1,,,，，xxxxxxxdxxdxcossin3sin3sin3sine,,dxdx, =,,2x2xe,11e,2,,,，xxxxxccos4sin6cos xx,deedx ,,x，1,,22xx,24( dx11,,ee2,xx,，29 ,x2de解: ？pq,,,,44360xx2ee,，,，ln1 ，，,,x2e1,配方x,，12原式 dx？2xxx2,,,，,，，ln1arcsineeec x,，18，，，， tdttdtxtt,,，12 ,，2dt 222,,,tt，，88t，8 2dt，8，， 12t ,，，arctanc,22t，888 回代121x,2 (注:ln29arctanxxc,，，，，，2222 1224x,，原式= ,2,2xx,，29 2dxx,，29，，dx,1，，1 ,，dx2,,222xx,，29x,，18，， 121x,2) ,,，，，ln29arctanxxc，，2222 2x2选做题1(计算 exdx1tan，，，, 22xexxdx1tan2tan，， 解: 原式= ，，, 2x2x,，edxexdxtan2tan ,, 222xxx,,,,，exxedxexdxtantan22tan,, 22xx,,,exxedxtan2tan , 2x2x,，exctan，2tanxedx , xe,1选作题2( dx,xe，1 xe,1解: 原式=? dx2xe,1 19