张量分析2

2.6  张量函数的导数 1.张量函数的定义 张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。例如 ，                                               (2.6.01)                                            ，                                               (2.6.02)                                                                                            ，                                             (2.6.03)                                          分别称作二阶自变量张量B的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。 一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。 2.张量函数的梯度 现在考虑只有一个二阶自变量B的标量值张量函 数。B的增量dB和f的微分df仍然是二阶张量和标量。这时 (2.6.04) 写成不变性形式，则有 (2.6.05) 根据商法则可知 也是二阶张量，称之为f的梯度。 若B是二阶对称张量，则f是B的六个独立分量的函数。这时在求f的梯度时，需先在f里用 代替 ，求得扩充后的九个偏导数后再按 简化。例如 (2.6.06) 于是 (2.6.07) (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对 直接求导，就会导致 的错误结果。 任意二阶张量B的三个主不变量也是张量函数。现求它的梯度如下。 由式(1.11.07)式(1.11.09)知 (2.6.09) (2.6.10) (2.6.11) 于是 (2.6.12) (2.6.13) (2.6.14) (2.6.15) 把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有 (2.6.16) (2.6.17) (2.6.18) 利用式凯莱哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式： (2.6.19) 在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。 张量函数的导数在研究连续介质的本构理论中起着重要的作用。 2.7  积分定理广义积分定理 1.积分定理 专著[非线形弹性理论(郭仲衡著)]以下列J.A斯克腾(Schouten)对N维直线坐标系所证明的著名公式 (2.7.01) 为出发点对三维欧氏空间中由体积变为面积分的格林变换和由面积分变换为线积分的开尔文(Kelvin)变换进行了详尽的阐述并给出了格林变换和开尔文变换的不变性形式如下： (2.7.02) (2.7.03) 在上列三式中， 和 分别是 维的和 维的格拉斯曼(Grassmann)容积元素； 是左边积分的积分区域， 是其边界；“-o”代表张量T和容积元素间的任意代数运算；v、a和f分别表示体积、面积和线段。 当-o分别为并乘、点乘和叉乘时，则格林变换分别具有下列形式： (2.7.04) (2.7.05) (2.7.06) 若式(2.7.05)中取T为矢量b，则有 (2.7.07) 此即熟知的矢量散度定理，或称为格林高斯(Gauss)定理，其中n为外单位法线矢量。 若在式(2.7.03)中，取“-o”为点乘时，则有 (2.7.08) 在上式，取T为矢量b，则有 (2.7.09) 此即熟悉的斯托克斯(Stokes)公式。 2.广义积分定理 若在式(2.7.02)和式(2.7.03)中的体积v内和面积a上包含间断曲面 和间断曲线 ，越过它们张量T发生跳变，我们可以参照专著[张量分析.爱林根著]中所述方法证明下面两个广义积分定理，即广义格林变换定理和广义开尔文变换定理。 定理1  (广义格林变换定理) 设在体积v内具有间断曲面 ，T为任意张量，则下式成立： (2.7.10) 式中， ， ，表示跳变，即 这里 和 分别表示间断曲面两侧的T值。 [证]  把式(2.7.02)分别应用于由 和 所限界的间断曲面 两侧的v和 ，则得 (2.7.11) (2.7.12) 式中带有+和-标示的各量分别表示间断面 两侧相应的量。 把式(2.7.11)和式(2.7.12)相加，则得 (2.7.13) 令 ， ，则 ， ；另外，考虑到 ，则式(2.7.13)可写成下列形式： (2.7.14) 此即式(2.7.10)。我们把它称为广义格林变换定理。 若令 为矢量，并取-o为点乘，则式(2.7.10)就变成为 (2.7.15) 我们把此式称为广义格林高斯公式。 定理2  (广义开尔文变换定理) 设在面积a上具有间断曲线 ，T为任意张量，则下式成立： (2.7.16) 式中 ， 。h为间断曲线上的切矢量。 [证]  把式(2.7.03)分别应用于由 和 所限界的间断曲线 两侧的 和 ，则得 (2.7.17) (2.7.18) 式中带有+和-标示的各量分别表示间断曲线 两侧相应的量。 把式(2.7.17)和式(2.7.18)相加 (2.7.19) 令 , 则 ， ；另外，考虑到 ，则式(2.7.19)可写成下列形式： (2.7.20) 此即式(2.7.16)。我们把它称为广义开尔文变换定理。 若令 为矢量，并取-o为点乘，则式(2.7.16)就变成 (2.7.21) 我们把此式称为广义斯托克斯公式。  2.8  曲线坐标 基矢量 度量张量 到目前为止，我们只讲述了直角坐标系下的问题。从现在起，我们讲述曲线坐标系下的问题。 1.曲线坐标 设空间中任一点P，其位置可用矢径P表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。 在斜角坐标系 中，P为 的函数，即 。P也可用另外三个变量 ， ， 来表示，即 ，这种坐标系记为 。这两组变量 和 表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：