数值积分矩形公式的复化及误差分析

数值积分矩形公式的复化及误差分析 张晓霞 (西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070) 摘 要: 先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公 式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误 差的变化情况; 关键词:中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化 1 引言 以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算( 首先我们来定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式: b,(a,b)对于积分,由积分中值定理知,一点,使得，I,f(x)dx,,a bf,=(b-a)() f(x)d(x),a ff,A( 若用区间左端点a的函数值(a)作为()的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式: ,f(),2J,(b,a)f(a),其积分余项 (1) R,I,J,(b,a)J2 a，ba，bf(,)B( 若改用区间中点c, 的函数值作为的近似值,则得到中矩形f()22 公式: ,,f(),a，b3 ,其积分余项 (2) R,I,J,(b,a)R,(b,a)f()R242 由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值( 2复化公式 [1]所谓复化就是指将一个积分的积分区间划分为等分,在每一个小区间,,x,x,,a,bnkk，1 I上应用左、中矩形公式求出积分值,然后对求和,近似估计出积分的积I(k,1,2,？,n)Ikk 分值的算法( 2(1复化左矩形公式 b,a将积分区间划分为等分,步长,分点 h,x,a，kh,k,0,1,？,n.,,a,bnkn 对每一个小区间采用左矩形公式有 ,,x,xkk，1 nnn,1,1,1bxk，1 (3) I,f(x)dx,f(x)dx,(,)f(),hf(),,,,xxxxJ,,kkkkn，1axkkkk,0,0,0 称为复化左矩形求积公式,下标示将区间划分为等分( nn,,a,bJn 2(2复化中矩形公式 类似于复化左矩形公式,对每一个小区间采用中矩形公式,且令,,x,xkk，1 x，xkk，1,则有 x,1k，22 nnn,1,1,1bxk，1 (4) I,f(x)dx,f(x)dx,(,)f(),hf(),11,,,xxxxR,,nkkkk，1，，axk22kkk,0,0,0 [3] 称为复化中矩形求积公式,下标表示将区间划分为等分(R,,na,bnn 3复化公式的误差分析 3(1 复化左矩形公式的误差估计公式 由(1)式对每个小区间有误差估计式 x,,()()ff,,k，122kk()()()()()Ifxdxxxfxxxhfxh,,,，,,，，，kk1kkk1kk,xk22 其中介于,之间,将上式代入(3)中则有 ,xxkkk，1 n,1n,1n,1n,1bx1k，12 ,I,f(x)dx,I,f(x)dx,(x,x)f(x)，(x,x)f(,),,,,kk，1kkk，1kk,,axk2k,0k,0k,0k,0 2n,1n,1h,,hf(x)，f(,) ,,kk2k,0k,0 从而复化左矩形公式的误差估计式为 2n,1n,1hh(b,a)1,R(f),I,J,f,(),,f(,) ,,nnkk22nk,0k,0 ,f(x)由于在上连续,均为的内点,所以由中值定理知,存在一点,,,,,,a,b,,a,b,,a,bk n,11,,,f(,),f(,)使得,所以有 ,knk,0 h(ba), , , (5)R(f),I,J,f(,),,,,a,bnn2 称为复化左矩形公式的误差估计式,下标表示将区间划分为等分( R(f),,a,bnnn 3(2复化中矩形公式的误差估计公式 类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式 32n,1n,1hh(b,a)1,,,,E(f),I,R,f,(),,f(,) ,,nnkk2424nk,0k,0 ,,f(x)其中,由于在上连续,均为的内点,所以由中值定理知,,,(x,x),,,a,b,,a,bkkk，1k n,11,,,,,f(,),f(,)存在一点,使得 ,所以有 ,,,,a,b,knk,0 2h(b,a) ,,E(f)IRf(,),,,, (6),,,,a,bnn24 4矩形公式的递推化 虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加(而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢, 即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中,反复利实际计算中常常采用变步长的, 用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止( 4(1左矩形公式的递推公式及误差 变步长过程中左矩形的计算规律: 将求积区间分成等份,则一共有n，1个分点,按左矩形公式计算,需要提供J,,a,bnn 2n，1个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至个,将二分前后两个积分值联系n x，xkk，1起来加以考虑,注意到每个子区间经过二分只增加了一个分点,,,x,xx,1kk，1k，22 h利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为,,,其中代f(x)，f(x)1kk，22 b,ah,表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得 n nnn,1,1,1hhh11,,J,f(x)，f(x),f(x)，f(x),J，R (7) 11,,,nkknn2kk，，2222222kkk,0,0,0 bhh,从而根据左矩形公式的误差公式得,积分值的截,,I,J,f(x)dx,f(b),f(a)n,a22 IJ1,2n断误差大致与h成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的,即有,,1/2IJ2,n移项整理得,由此可见只要二分前后的两个积分值与相当接近,I,J,J,JJJ2n2nnn2n就可以保证计算结果误差很小,积分近似值的误差大致等于,因此,如果用这个JJ,J2n2nn误差值作为的一种补偿,可以期望得到的 J2n , J,J，J,J,2J,J2n2nn2nn可能是更好的结果( 4(2中矩形公式的递推公式及误差 同理对中矩形公式也一样,将求积区间分成等份,则一共有个分点,按中矩n，1,,a,bn 形公式计算,需要提供n，1个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至2+1个,Rnn 将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间经过二分只增加了,,x,xkk，1 x，xkk，1一个分点,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区x,1k，22 b,ahh,间上的积分值为,同样代表二分前的步长,将每个子区间,,f(x)，f(x)13k，k，44n2 上的积分值相加,得 n,1h,,R,f(x)，f(x) (8) 13,2nk，k，442k,0 22bhh,,,,,,I,R,f(x)dx,f(a),f(b)根据中矩形公式的误差公式得,积分值n,a22 2h的截断误差大致与1/4成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的,即有 IR,112n,,移项整理得,同样,当二分前后的两个积分值与I,R,(R,R)R2n2nnnIR4,3n R相差很近时,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值R的误差大致等于2n2n1,因此,如果用这个误差值作为的一种补偿,则可以得到 (R,R)Rfx()2nn2nkf(x)k，13 141, R,R，(R,R),R,R2n2nn2nn333 可能结果比较理想( 5矩圆公式 由右图可见,这样分割后,形成一些小网格,以上一些工作我们就是 f(x)通过计算这些小的矩形条的面积之和进而估计出曲线在上所围 ,,a,b 的面积(那么除此之外还有无别的近似计算方法呢, f(x) f(x)k，1k 首先,我们试想,如右图所示,把网格顶端的一些剩下的不全的网格 近似为底为,高为的三角形,那么前面我们按照左矩形公式 hf(x),f(x)k，1k hhh算得的矩形条的面积就为,整理后为,那么 ,,f(x)，f(x)hf(x)，f(x),f(x)kk，1kkk，1222 n,1n,1bh，，xk，1 I,f(x)dx,f(x)dx,(,)f()，(f(x),f(x)),,k，1kxxx,,k，1kk,,ax2k，，k,0k,0 n,1h,,,,f()，f(x),I (9) ,k，1xk2k,0 这就是我们所熟知的梯形公式,而梯形公式对准确值的逼近程度要优于左矩形公式和右矩形公式,所以这样的假设与估计是成立的,同理我们对上面算得的中矩形公式也可以加上这个小三角形的面积而得到与准确值更为近的值( n,1n,1bh，，xk，1 I,f(x)dx,f(x)dx,(,)f()，(f(x),f(x))1,,k，1kxxx,,k，1kk，,,ax2k2，，k,0k,0 n,1h，，,,,f(x)，2f(1),f(x),I ,k，1kxk，,,22，，k,0 (10) 下面我们来讨论另一种情形:即把上述所描写的三角形换成半径为(或h ),为了计算方便,可以直接看成半径为)的圆,那么按照前面我们推导得,,f(x),f(x)hk，1k 12hf(x)h到的左矩形公式,计算得到小矩形条的面积为,用它来近似积分的准确值可，,k4 得到 n,1n,1b1，，xk，12 I,f(x)dx,f(x)dx,(,)f()，,h,,xxx,,k，1kk,,ax4k，，k,0k,0 n,11，，(),hf，,h,P ,xk,,4，，k,0 (11) 这就是我们所得到的左矩圆公式( 12同理按照中矩形公式得到的小矩形条的面积为,用它来近似积分的()hfx，h,1k，24准 确值可得到 n,1n,1b1，，xk，12 ()()()()I,fxdx,fxdx,,f，,h1,,xxx,,k，1kk，,,a4xk2，，k,0k,0 n,11，，(),hf，,h,Q 1 ,xk，,,42，，k,0 (12) 这就是我们所得到的中矩圆公式( 例 应用复化矩形公式(3)和(4)计算以及递推公式(7)与(8)和矩圆公式(11) 12x与(12)计算积分I,edx的近似值,并与其准确值作相应的比较( ,0 xa,0,b,1/2n,1,2,？,8解: 设,,分点个数; f(x),e n,1n,1 J,hf(x)R,hf(x)J,(b,a)f(a) 1,,nknk，2k,0k,0 a，b R,(b,a)f()2 n,1h11,,R,f(x)，f(x) J,J，R13,2n2nnnk，k，44222k,0 n,1n,111，，，，()()P,hf，,hQ,hf，,h1 ,,xxkk，,,,,442，，，，k,0k,0 b,a1h,, x,kh,(k,0,1,2,？n)kn2n h当取不同值时各种算法对积分的估计值与近似解的比较 所用 h 公式 1/21/41/61/81/101/121/141/16 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 J 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 R J0.500000 0.596162 0.560453 0.609021 0.616826 0.622067 0.625828 0.628660 n R0.642012 0.647034 0.647971 0.648299 0.648451 0.648534 0.648583 0.648616 n J0.571006 0.60902 0.604212 0.62866 0.632639 0.635301 0.637206 0.638638 2n R0.647035 0.648299 0.648534 0.648616 0.648654 0.648674 0.648687 0.648695 2n 0.696350 0.620093 0.617979 0.621293 0.624680 0.627521 0.629835 0.631728 P Q 0.838362 0.696121 0.669788 0.660571 0.656305 0.653988 0.652590 0.651684 精确 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 解I 通过上表容易看出，当步长逐渐变小时，不论是复化公式还是递推公式，它们对准h 确值的逼近效果都显著提高，即越小，逼近效果越好;另一方面容易看出，中矩形公式h 比左矩形对准确值的近似程度更高，当然其复化公式的近似程度也比左矩形复化公式的精确度高;还有我们最后推出的(7)式与(8)式，它比起各自的复化公式来，逼近效果也相对较好，同样地中矩形公式的复化公式比(7)式的逼近效果要好(由(11)的结果可知在除n,1之外，它的计算结果是比较理想的;明显的问是(12)式的计算结果与准确值的差距特别大，因为对于复化的中矩形公式而言，精确度已经是比较好的了，那么，如果我们再去作(12)式那样的逼近，势必导致出现大的波动(这样的公式是不完美的，所以对这样的公式完全可以舍去(只要我们选取合适的步长，分别利用它们各自的递推公式算出的近似值比它们自己的复化公式精确度要高很多( 6结论: 通过本文的论述，得出复化求积公式比原近似公式的精确度高;同样地，复化中矩形公式的逼近效果比复化左矩形公式对准确值的逼近效果好;另外，通过公式的递推化之后，我们得出递推化的公式比复化求积公式的精确度高;理所当然，随着的不断增大，误差逐渐n 减小，当到一定程度大时，会无限接近准确值( n 参考文献: [1]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].4版.武汉:华中科技大学出版社，2006. 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