§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理及海伦公式证明

§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理 一、广勾股定理 勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了． 广勾股定理：在任一三角形中， (1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 证明 (1)设△ABC中，AC是锐角B的对边(图2－4)．作BH⊥AC于H，因为 AB2=BH2+AH2， BC2=BH2＋CH2， 所以， BC2-AB2=CH2-AH2． ∴BC2=AB2+CH2-AH2． (1) 但是CH2=(AC－AH)2 =AC2-2AC·AH+AH2． (2) 将(2)代入(1)就得到 BC2=AB2＋AC2-2AC·AH． (当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．) (2)设在△ABC中，BC是钝角A的对边(图2－5)． 作BH⊥CA于H， 则 BC2＝CH2+BH2． AB2=AH2+BH2． ∴BC2＝AB2+CH2-AH2． (1) 但是 CH2=(AC+AH)2=AC2＋2AC·AH＋AH2．(2) 将(2)代入(1)就得到 BC2=AB2＋AC2＋2AC·AH． 由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结论： 三角形的一角是锐角、直角或钝角时，它的对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较大，并且其逆命题也成立． 二、斯特瓦尔特(stewart)定理 设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC＝BC·DC·BD． 证明 在图2－6中，作AH⊥BC于H．为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有 AC2=AD2＋DC2-2DC·DH，(1) AB2=AD2+BD2+2BD·DH． (2) 用BD乘(1)式两边得 AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD，(1)′ 用DC乘(2)式两边得 AD2·DC=AD2·DC＋BD2·DC＋2BD·DH·DC．(2)′ 由(1)′+(2)′得到 AC2·BD+AB2·DC=AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC 而AD2(BD＋DC)+DC2·BD＋BD2·DC =AD2·BC+BD·DC·BC． ∴AB2·DC＋AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD． 三、三角形中几条重要线段的计算 (一)已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB=c，ma，mb，mc分别表示BC、AC、AB边上的中线，求ma，mb，mc． 解在图2－7中，设D是BC边的中点，AD＝ma， 代入斯特瓦尔特定理之关系式则有 (二)设AD=ta为△ABC中角A的平分线(图2－8)．AB＝c，AC＝b，BC=a，求ta． 解 ∵AD是∠A的平分线， 将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系式，则有 (tb、tc分别是△ABC中∠B、∠C的角平分线之长．) (三)设△ABC中，ha是BC边上的高线，求ha和△ABC的面积． 解：设图2－9中，AD⊥BC于D，AD=ha．由广勾股定理得 b2=c2＋a2-2a·BD． 消去BD，得 同理： (hb、hc分别为AC、AB边上的高．) ∴三角形ABC的面积： 这个三角形的面积公式在我国叫三斜求积公式，国外叫做海伦公式．