理论力学（范钦珊、刘燕清华大学出版社）第7章质点动力学

理论力学（范钦珊、刘燕清华大学出版社）第7章质点动力学 第3篇 动力学基础 第7章 质点动力学 7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。 解:接触跳台时 340.2，10 m/s v,,11.1703600 设运动员在斜面上无机械能损失 习题7-1图 22 m/s v,v,2gh,11.17,2，9.8，2.44,8.76800 m/s, m/s v,vsin,,3.256v,vcos,,8.141yx 2vy m h,,0.541v 12g y vy s t,,0.3321 vg0θ O 12 (h，h),gt102 2习题7-1解图 2(h，h)2(0.541，2.44)10 s t,,,0.7802g9.8 s t,t，t,1.11212 m x,vt,8.141，1.112,9.05x 7-2 图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处，如图所示。水柱的初速度m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边,,250 缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角应为多少,水柱射到屋顶平台上的, 水平距离为多少, s 15t 解:(1) (1) ,1vcos,0 12 (2) vsin,,t,gt,200112 (1)代入(2)，得 2 500cos,,375sin,cos,，44.1,0 22 500cos,，44.1,375cos,1,cos,习题7-2图 42 390625cos,,96525cos,，1944.81,02 , ,,61.685:cos,,0.22497 vsin,0t (2) ,(到最高点所经过时间) 2g m S,(vcos,,t,15)，2,23.2602 7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度向右运动。另一物块置a于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为，且tanθ>，开始时ffss物块在斜面上静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度的最大值和最小值应为多少, a Fas a FFsN θFmgNmg (a) 习题7-3图 — 1 — (b) 解:1、物块不上滑时受力图(a) (1) Fsin,，Fcos,,maNs (2) Fcos,,mg,Fsin,,0Ns 临界: (3) F,fFssN (3)代入(1)、(2)，消去，得 FN ,,sin，fcossa, (4) maxcos,,fsin,s 2、物块不下滑时受力图(b): (5) Fsin,,Fcos,,maNs (6) Fcos,,mg，Fsin,,0Ns 临界: (7) F,fFssN (7)代入(5)、(6)，消去，得 FN ,,sin,fcossa, (8) mincos,，fsin,s 7-4 图示物体的质量为m，悬挂在刚度系数为k的弹簧上，平衡时弹簧的静伸长为δ。st 开始时物体离开平衡位置的距离为a，然后无初速度地释放。试对图中各种不同坐标原点和 坐标轴列出物体的运动微分方程，写出初始条件，求出运动规律，并比较所得到的结果。 解:(a)受力图(e)，且 (1) mg,k,st (2) F,k(,，x)kst.. (3) mx,mg,Fk (1)、(2)代入(3)，得 .. mx，kx,0..k (4) x，x,0m k2记，则 ,,nm (5) x,Asin(,t，,)n, 初始条件:时，， (6) t,0x,ax,0习题7-4图 (6)代入(5)，得 kπ ; x,asin(t，)xam2FkFk(b)受力图(e) ....x mx,mg,Fk F,kxkmg..k x，x,gm..mgkx令，则 ,, n m(e) (f) mgx,Asin(t，)， ,,nk ，初始条件:时，， x,a，,t,0x,0st kπmgx,asin(t，)， bm2k — 2 — (c)受力图(f) .. mx,F,mgk F,k(,,x)kst 代入上式，即 .. mx，kx,0..k x，x,0m x,Asin(,t，,)cn ，时，， 当t,0x,,ax,0 kπ ; x,,asin(t，)cm2(d)受力图(f) .. mx,F,mgk F,,kxk.. mx，kx,,mg ..k x，x,,gm mg x,Asin(t，), ,,nk ，当时，， x,,(a，,)t,0x,0st kπmgx,,asin(t，),; dm2k 7-5 图示质量为m的平板置于两个反向转动的滑轮上，两轮间的距离为2d，半径为R。 若将板的重心推出，使其距离原对称位置O为x，然后无初速度地释放，则板将在动滑动0 摩擦力的作用下作简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为f。试求板振动的运动规律和周 期。 解:1、图(a) , (1) F,0F，F,mgyN1N2, , M,0Fd,Fd,mgx,0,ON2N1 x即 F,F,mg (2) N2N1d x1由(1)、(2)解得:F,mg， (1)N2 d2 x1习题7-5图 F,mg,(1)N1d2 x1ox F,fF,fmg, (1)1N1d2F2x1F1 F,fF,fmg， (1)2N2d2mg..FFN1N2 F,F,mx12..fmg即 mx，x,0 d(a) ..fg x，x,0d fg , ,nd 2πdT2π振动周期: ,,,fgn — 3 — 运动方程: x,Asin(,t，,)n ，当时，， x,xt,0x,00 fgπ运动规律: x,xsin(t，)0d2 3 7-6 图示升降机厢笼的质量m=3×10kg，以速度=0.3m/s在矿井中下降。由于吊索v 上端突然嵌住，厢笼中止下降。如果索的弹簧刚度系数k=2.75kN/mm，忽略吊索质量，试求 此后厢笼的运动规律。 解:图(a): mg (1) ,,stK.. (2) mx,mg,Fk (3) F,k(x，,)stk (1)、(3)代入(2)，得 .. mx，kx,0..k习题7-6图 x，x,0m (4) x,Asin(,t，,)nlko. t=0时，x=0，m/s (5) x,v,0.3,st代入(4)，得 OFkv (6) x,sin,tn,n 6xk2.75，10mg rad/s (7) ..,,,,30.3n3mx3，10 将(5)、(7)代入(6)得 (a) (mm，t以秒计) x,9.9sin(30.3t) 7-7 质量m=2kg的物体从高度h=0.5m处无初速地降落在长为l=1m的悬臂木梁的自由6端上，如图所示。梁的横截面为矩形，高为30mm，宽为20mm，梁的弹性模量E=10MPa。 若不计梁的质量，并设物体碰到梁后不回弹，试求物体的运动规律。 解:物体作用在梁端点产生的静变形 3mgl,4 (1) ,,,1.45，10mst3EI (2) mg,k,st 3EI当量刚度: (3) k,3l 任意位置弹性恢复力 习题7-7图 (4) F,k(,，x)kst 物体运动微分方程 .. (5) mx,mg,Fk 将(1)、(2)、(3)代入(4)，得 .. mx，kx,0..k x，x,0m k3EI令rad/s (6) ,,,,260n3mml 则理学 (7) x,Asin(,t，,)n — 4 — .当t = 0时，，m/s x,v,2gh,3.13x,,,st ,,nst ，rad ,,,0.012tan,,,,0.012,v ,st m =12mm A,,,0.012,sin mm x,12sin(260t,0.012) 7-8 图示用两绳悬挂的质量m处于静止。试问: 1. 两绳中的张力各等于多少, 2. 若将绳A剪断，则绳B在该瞬时的张力又等于多少, 解:1、图(a) ， F,0F,2mg,yB ， F,0F,mg,xA 2、图(b) 绳A剪断瞬时，a,0n 2， F,0,Fmg,nB2 F FBBm mFA45 aτ mgmg习题7-8图 (a) (b) 7-9 质量为1kg的滑块A可在矩形块上光滑的斜槽中滑动，如图所示。若板以水平的 等加速度a0=8m/s2运动，求滑块A相对滑槽的加速度和对槽的压力。若滑块相对于槽的初 速度为零，试求其相对运动规律。 A a,ae0FA Ie ar o30 FNmg 习题7-9图 (a) 解:滑块A为动点，矩形板为动系，牵连加速度，相对加速度，A块受力如图a,aae0r (a)，其中 N F,ma,8Ie0 N mg,9.8 F,maIrr 由滑块相对“平衡”: ，N F,0F,Fcos30:，mgsin30:,43，4.9,11.83,rIrIe ，N F,0F,mgcos30:,Fsin30:,8.49,4,4.49,NIeN — 5 — F2Ir相对加速度:m/s a,,11.83rm 122相对运动规律:(m) x,at,5.91trr2 7-10 图示质量为m的质点置于光滑的小车上，且以刚度系数为k的弹簧与小车相联。 若小车以水平等加速度a作直线运动，开始时小车及质点均处于静止状态，试求质点的相对 运动方程(不计摩擦)。 解:设质点m对车的相对位移为x(设向右为正)， 质点受力: k F,,kxik F,maiIe 质点相对运动微分方程: .. mx,,kx，ma..k习题7-10图 x，x,am k2 ,,anm mFFIek (1) x,Acos(,t，,)，akm.初始条件:时，， t,0x,0x,0xom代入(1)，得:， ,,0A,,ak mm x,a(1,cost)(a) kk 7-11 图示单摆的悬挂点以等加速度a沿铅垂线向上运动。若摆长为l，试求单摆作微 振动的周期。 解:牵连惯性力 F,maIe 相对运动微分方程: .. ml,,,m(g，a)sin,..,时，上式为 ,,,1τa..r ml,，m(g，a),,0 mg..ga， ,，,,0lFIeg，a ,,nl习题7-11解图 习题7-11图 2πlT,,2π周期 ,g，an 7-12 图示圆盘绕轴O在水平面内转动，质量为1kg的滑块A可在圆盘上的光滑槽中运动。盘和滑块在图示位2置处于静止，这时圆盘开始以等角加速度=40rad/s转, 动，已知b=0.1m。试求圆盘开始运动时，槽作用在滑块A上的侧压力及滑块的相对加速度。 解:运动开始时，， v,0ω,0r n习题7-12图 ， a,0a,0Ce2τ m/s，未知。 a,b,,4are — 6 — 物块受力如图，槽的侧压力方向如图，大小未知，牵连惯性力: ττ N (1) F,ma,4Iee 相对运动微分方程: τFN (2) ma,Fcos30:rIeττae (3) F,Fsin30:,0τNIeFIe(1)代入(2)、(3)解得 ar2 m/s a,3.46r N F,2N 习题7-12解图 7-13 现有若干刚度系数均为k且长度相等的弹簧，另有若干质量均为m的物块，试任 2k3k意组成两个固有频率分别为和的弹簧质量系统，并画出示意图。 3m2m k kkkkkkk k m mmm mm km m mmkk (a) (b) k (d) (e) (c) 2k答:1.,见图(a)或(b)或(c). ,,n3m 3k 2. ，见图(d)或(e) ,,n2m 7-14 图中所示7组振动模型，判断哪几组中的两个系统具有相同的固有频率。 答:图(a)、(b)、(e)、(g)均具有相同的固有频率。 — 7 — 习题7-14图 7-15 图示匀质摇杆OA质量为，长为，匀质圆盘质量为，当系统平衡时摇杆处在lmm12水平位置，而弹簧BD处于铅垂位置，且静伸长为，设OB=a，圆盘在滑道中作纯滚动。,st 试求系统微振动固有频率。 、弹簧刚度解: 1 k 静平衡时，轮缘摩擦力 ，由系统平衡。 F,0s l， M,0mgl，mg,Fa,0,21kO2 1即 ，，k,a,m，2mglst122 m，2mgl，，12 k, (1) 2a,st习题7-15图 2、 ,n 111222， T,T，T,mv，J,，J,AAAO2杆2OA轮A222 2，，，,,3,2mmmm111l,,222222221，，，,,,,，，，，,,l，R,l,，,ml,,，l, ,,1,,2222346R,l,,,,,,，， 由于以平衡位置为角的起始位置，弹簧静位移,产生的弹性力与重力mg，mg相,2st1抵消，故此后计算时，只考虑弹簧偏离平衡位置产生的弹性力，从平衡位置到角，弹力功: , k2，，， T,0 W,,a,1122 T,T,W 2112 — 8 — 31k,,2222，即 m，ml,,,a,,,21462,, d31,,22，，，，: mmlka ,,,,，,,,,,2143dt,,26ka,，， ，,0,2，，l9m，2m21 26ka (2) ,,02，，l9m，2m21 3agm，2m，，12,(1)代入(2),得 , 0，，l,2m，9mst12 7-16 一单层房屋结构可简化为如图所示的模型:房顶可视为质量为m的刚性杆，柱子可视为高为h、弯曲刚度为EI的梁，不计柱子的质量。试求该房屋水平振动的固有频率。 x m hxEI 2 xhx 222 习题7-16图 (a) h解:柱子两端都是固定端，可看作两根长的悬臂梁坚固对接，见(图a)。 2 3FlPFP梁的最大挠度为 见(图b) w,悬臂max3EIEIxh本题中 ， l,w,max22w3maxh,,F,,Px2,,l于是有 ,23EI (b) 12EIx由上可算出 F,P3h 在层顶位移x时，两根立柱产生的弹性阻力，故屋顶的运动微分方程为 2FP 24EI,24EIx，， 即 x，x,0 ，，3mx,3mhh 24EI这是简谐振动方程，其固有频率为 ,,03mh 7-17 长为l、质量为m匀质杆两端用滑轮A和B 安置在光滑的水平和铅垂滑道内滑动，并联有刚度系 数为k的弹簧，如图所示。当杆处于水平位置时，弹 簧长度为原长。不计滑轮A和B的质量，试求AB杆 绕平衡位置振动的固有频率。 解:设杆在水平位置时，势能为0，则势能 lkk22 V,,mgsin,，,,l，，1,cos,，，，lsin,22221，， ,,mglsin,，kl1,cos,2 习题7-17图 — 9 — 12, 平衡: ，，V,,,mglcos,，klsin,,02 mgmg ， (平衡位置角) arctantan,,,,02kl2kl 设杆偏离平衡位置一微小角度，则杆的动能 ,,0 1122 T,,ml,,23 l2 弹簧势能 ，，，，,,V,,mgsin,，,，kl1,cos,，,002 保守力场(理想约束)机械能守恒: T，V,C 1l222， 即 ，，，，,,ml,,mgsin,，,，kl1,cos,，,,C0062 1ld22，，，， : ,,,sin，，，，,，,，sin,，,,,,0mlmgkl00dt32 gk33，， 即 (1) ，，，，,,cos,，,，sin,，,,000lm2 微振动，，此时 ,,,1 ，，cos,，,,cos,cos,,sin,sin,,cos,,,sin,00000 ，， sin,，,,sin,cos,，cos,sin,,sin,，,cos,00000 gkgk3333,,，，，，,, 代入(1)得， ,sin,cos,,cos,sin,,,0000lmlm22,, gkmg33 ？,， 其中 arctan ,sin,cos,,,0000lm2kl2 7-18 质量为的质块用刚度系数为的弹簧悬挂，在静止不动时有另一质量为kmmm112 的物块在距高度为处落下，如图所示。撞到后不再分开。试求系统的振动频率和hmmm121振幅。 解:两质块在一起振动时，其固有频率为: k, , (1) m，m12 块下落至碰撞前速度 mv,2gh2 m2,,相碰后，的速度 (动量守恒) m，mv2gh12，mm12 mg1习题7-18图 弹簧加上时，已伸长了 m,,11k mg2再加m后，需再伸长 ,,22k 其重力和弹性力才能平衡，若以静平衡位置为坐标原点，如图，则系统振动方程为 ,,k,, (2) ,，xAsint,,,,，mm112,, ,,,2kk,,， (3) ,，xAcost,O,,，，mmmm1212,,x 振动开始于m,m碰撞之末，此时(t=0)它们的坐标为: 12 mg(a) 2x (4) ,,,,,t,02k m2,，,, xv2gh (5) 0t,，mm12 — 10 — 时，由(2)、(3)得 t,0 (6) x,Asin,t,0 k，, (7) xAcos,0t,，mm12 比较(3)、(6)和(5)、(7)得， mgm22 ， A,sin,,,Acos2gh,k，kmm12222mg2ghm222 两边平方，相加得 A,，2，，km，mk12 mghk22 A,1，，，kmmg，12 — 11 —