第13章 预应力混凝土受弯构件的设计与计算

第13章  预应力混凝土受弯构件的设计与计算 13.1  概  述 预应力混凝土结构由于事先被施加了一个预加力Np，使其受力过程具有与普通钢筋混凝土结构不同的特点，因此在具体设计计算之前，须对各受力阶段进行分析，以便了解其相应的计算目的、内容与方法。本章介绍的预应力混凝土受弯构件设计与计算方法主要是针对全预应力混凝土构件和A类部分预应力混凝土构件，B类部分预应力混凝土构件的设计和计算方法详见第14章。 预应力混凝土受弯构件从预加应力到承受外荷载，直至最后破坏，可分为三个主要阶段，即施工阶段、使用阶段和破坏阶段。这三个阶段又各包括若干不同的受力过程，现分别叙述如下。 13.1.1 施工阶段 预应力混凝土构件在制作、运输和安装施工中，将承受不同的荷载作用。在这一过程中，构件在预应力作用下，全截面参与工作并处于弹性工作阶段，可采用材料力学的方法并根据《公路桥规》的要求进行设计计算。计算中应注意采用构件混凝土的实际强度和相应的截面特性。如后张法构件，在孔道灌浆前应按混凝土净截面计算，孔道灌浆并结硬后则可按换算截面计算。施工阶段依构件受力条件不同，又可分为预加应力阶段和运输、安装阶段等两个阶段。 1）预加应力阶段 预加应力阶段系指从预加应力开始，至预加应力结束（即传力锚固）为止的受力阶段。构件所承受的作用主要是偏心预压力（即预加应力的合力）Np；对于简支梁，由于Np的偏心作用，构件将产生向上的反拱，形成以梁两端为支点的简支梁，因此梁的一期恒载（自重荷载）G1也在施加预加力Np的同时一起参加作用（图13-1）。 图13-1 预加应力阶段截面应力分布 本阶段的设计计算要求是：（1）受弯构件控制截面上、下缘混凝土的最大拉应力和压应力都不应超出《公路桥规》的规定值；（2）控制预应力筋的最大张拉应力；（3）保证锚固区混凝土局部承压承载力大于实际承受的压力并有足够的安全度，且保证梁体不出现水平纵向裂缝。 由于各种因素的影响，预应力钢筋中的预拉应力将产生部分损失，通常把扣除应力损失后的预应力筋中实际存余的预应力称为本阶段的有效预应力 。 2）运输、安装阶段 在运输安装阶段，混凝土梁所承受的荷载仍是预加力Np和梁的一期恒载。但由于引起预应力损失的因素相继增加，使Np要比预加应力阶段小；同时梁的一期恒载作用应根据《公路桥规》的规定计入1.20或0.85的动力系数。构件在运输中的支点或安装时的吊点位置常与正常支承点不同，故应按梁起吊时一期恒载作用下的计算图式进行验算，特别需注意验算构件支点或吊点截面上缘混凝土的拉应力。 13.1.2 使用阶段 使用阶段是指桥梁建成营运通车整个工作阶段。构件除承受偏心预加力Np和梁的一期恒载G1外，还要承受桥面铺装、人行道、栏杆等后加的二期恒载G2和车辆、人群等活荷载Q。试验研究表明，在使用阶段预应力混凝土梁基本处于弹性工作阶段，因此，梁截面的正应力为偏心预加力Np与以上各项荷载所产生的应力之和（图13-2）。 图13-2 使用阶段各种作用下的截面应力分布 a）荷载作用下的梁 b）预加力Np作用下的应力 c）一期恒载G1作用下的应力 d）二期恒载G2作用下的应力e）活载作用下的应力 f）各种作用所产生的应力之和 本阶段各项预应力损失将相继发生并全部完成，最后在预应力钢筋中建立相对不变的预拉应力（即扣除全部预应力损失后所存余的预应力） ，这即为永存预应力。显然，永存预应力要小于施工阶段的有效预应力值。根据构件受力后的特征，本阶段又可分为如下几个受力过程： 图13-3  梁使用及破坏阶段的截面应力图 a）使用荷载作用于梁上 b）消压状态的应力 c）裂缝即将出现时的截面应力 d）带裂缝工作时截面应力 e）截面破坏时的应力 1）加载至受拉边缘混凝土预压应力为零 构件仅在永存预加力Np（即永存预应力 的合力）作用下，其下边缘混凝土的有效预压应力为 。当构件加载至某一特定荷载，其下边缘混凝土的预压应力 恰被抵消为零，此时在控制截面上所产生的弯矩 称为消压弯矩[图13-3b）]，则有： （13-1） 或写成： （13-2） 式中 ——由永存预加力Np引起的梁下边缘混凝土的有效预压应力； ——换算截面对受拉边的弹性抵抗矩。 一般把在M0作用下控制截面上的应力状态，称为消压状态。应当注意，受弯构件在消压弯矩 和预加力Np的共同作用下，只有控制截面下边缘纤维的混凝土应力为零（消压），而截面上其他点的应力都不为零（并非全截面消压）。 2）加载至受拉区裂缝即将出现 当构件在消压后继续加载，并使受拉区混凝土应力达到抗拉极限强度 时的应力状态，即称为裂缝即将出现状态[图13-3c）]。构件出现裂缝时的理论临界弯矩称为开裂弯矩 。如果把受拉区边缘混凝土应力从零增加到应力为 所需的外弯矩用 表示，则 为 与 之和，即 （13-3） 式中 ——相当于同截面钢筋混凝土梁的开裂弯矩。 3）带裂缝工作 继续增大荷载，则主梁截面下缘开始开裂，裂缝向截面上缘发展，梁进入带裂缝工作阶段[图13-3d）]。 可以看出，在消压状态出现后，预应力混凝土梁的受力情况，就如同普通钢筋混凝土梁一样了。但是由于预应力混凝土梁的开裂弯矩 要比同截面、同材料的普通钢筋混凝土梁的开裂弯矩 大一个消压弯矩 ，故预应力混凝土梁在外荷载作用下裂缝的出现被大大推迟。 13.1.3 破坏阶段 对于只在受拉区配置预应力钢筋且配筋率适当的受弯构件（适筋梁），在荷载作用下，受拉区全部钢筋（包括预应力钢筋和非预应力钢筋）将先达到屈服强度，裂缝迅速向上延伸，而后受压区混凝土被压碎，构件即告破坏［图13-3e）］。破坏时，截面的应力状态与钢筋混凝土受弯构件相似，其计算方法也基本相同。 试验表明，在正常配筋的范围内，预应力混凝土梁的破坏弯矩主要与构件的组成材料受力性能有关，其破坏弯矩值与同条件普通钢筋混凝土梁的破坏弯矩值几乎相同，而是否在受拉区钢筋中施加预拉应力对梁的破坏弯矩的影响很小。这说明预应力混凝土结构并不能创造出超越其本身材料强度能力之外的奇迹，而只是大大改善了结构在正常使用阶段的工作性能。 13.2  预应力混凝土受弯构件承载力计算 预应力混凝土受弯构件持久状况承载力极限状态计算包括正截面承载力计算和斜截面承载力计算，作用效应组合采用基本组合（式2-25）。 13.2.1 正截面承载力计算 当预应力钢筋的含筋量适当时，预应力混凝土受弯构件正截面破坏形态一般为适筋梁破坏，正截面承载力计算图式中的受拉区预应力钢筋和非预应力钢筋的应力将分别取其抗拉强度设计值 和 ；受压区的混凝土应力用等效的矩形应力分布图代替实际的曲线分布图并取轴心抗压强度设计值 ；受压区非预应力钢筋亦取其抗压强度设计值 。 1）受压区不配置钢筋的矩形截面受弯构件 对于仅在受拉区配置预应力钢筋和非预应力钢筋而受压区不配钢筋的矩形截面（包括翼缘位于受拉边的T形截面）受弯构件，正截面抗弯承载力的计算采用图13-4的计算简图。 图13-4  受压区不配置预应力钢筋的矩形截面受弯构件正截面承载力计算图 （1）求受压区高度x 由式（13-4）来求解： (13-4) 式中 、 ——分别为受拉区纵向非预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值； 、 ——分别为受拉区预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值； ——混凝土轴心抗压强度设计值。 为防止出现超筋梁及脆性破坏，预应力混凝土梁的截面受压区高度x应满足《公路桥规》的规定： ≤                           （13-5） 式中 ——预应力混凝土受弯构件相对界限受压区高度，按表13-1采用； ——截面有效高度： ； ——构件全截面高度； ——受拉区钢筋 和 的合力作用点至受拉区边缘的距离，当不配非预应力受力钢筋（即 =0）时，则以 代替 ， 为受拉区预应力钢筋 的合力作用点至截面最近边缘的距离。一般可以不考虑按局部受力需要和按构造要求配置的纵向非预应力钢筋截面面积。 预应力混凝土梁相对界限受压区高度             表13-1 C50 C55、C60 C65、C70 C75、C80 钢绞线、钢丝 0.40 0.38 0.36 0.35 精轧螺纹钢筋 0.40 0.38 0.36 —           注：（1）截面受拉区内配置不同种类钢筋的受弯构件，其 值应选用相应于各种钢筋的较小者； （2） ， 为纵向受拉钢筋和受压区混凝土同时达到其强度设计值时的受压区高度。 表13-1中采用的钢丝和钢绞线为预应力钢筋时相对界限受压区高度 按下式计算确定： （13-6） 式中 ——受压区矩形应力块高度 与中和轴高度（实际受压区高度） 之比值，它随混凝土强度等级的提高而降低，《公路桥规》中规定的取值详见表3-1； ——受拉区纵向预应力钢筋重心处混凝土预压应力为零时的预应力钢筋的应力； ——受压边缘混凝土的极限压应变，《公路桥规》中规定的取值详见表3-1。 （2）正截面承载力计算 求得截面受压区高度x值后，可得正截面抗弯承载力并应满足： （13-7） 式中 为弯矩组合设计值， 为桥梁结构重要性系数，按表2-3取值；其余符号意义与式（13-4）相同。 2）受压区配置预应力钢筋和非预应力钢筋的矩形截面受弯构件 受压区配置预应力钢筋的矩形截面（包括翼缘位于受拉边的T形截面）构件，抗弯承载力的计算与普通钢筋混凝土双筋矩形截面构件的抗弯承载力计算相似。 预应力混凝土梁破坏时，受压区预应力钢筋 的应力可能是拉应力，也可能是压应力，因而将其应力称为计算应力 。当 为压应力时，其值也较小，一般达不到钢筋 的抗压设计强度 = 。 值主要决定于 中预应力的大小。 构件在承受外荷载前，钢筋 中已存在有效预拉应力 （扣除全部预应力损失），钢筋 重心水平处的混凝土有效预压应力为 ，相应的混凝土压应变为 ；在构件破坏时，受压区混凝土应力为 ，相应的压应变增加至 。因此构件从开始受荷载作用到破坏的过程中， 重心水平处的混凝土压应变增量也即钢筋 的压应变增量为 ，也相当于在钢筋 中增加了一个压应力 ，将此与 中的预拉应力 相叠加可求得 。设压应力为正号，拉应力为负号，则有： （13-8） 或写成： （13-9） 式中 ——钢筋 当其重心水平处混凝土应力为零时的有效预应力（扣除不包括混凝土弹性压缩在内的全部预应力损失）；对先张法构件， ；对后张法构件， ，此处， 为受压区预应力钢筋的控制应力； 为受压区预应力钢筋的全部预应力损失（预应力损失的计算详见13.3节）； 为先张法构件受压区弹性压缩损失； 为受压区预应力钢筋重心处由预应力产生的混凝土法向压应力；    ——受压区预应力钢筋与混凝土的弹性模量之比。 由上可知，建立式（13-8）的前提条件是构件破坏时， 重心处混凝土应变达到 。 在明确了破坏阶段各项应力值后，则可得到计算简图（图13-5），仿照普通钢筋混凝土双筋截面受弯构件，由静力平衡方程可计算预应力混凝土受弯构件正截面承载力。 图13-5  受压区配置预应力钢筋的矩形截面受弯构件正截面承载力计算图 （1）求受压区高度x 由式（13-10）来求解： (13-10) 式中的 和 分别为受压区预应力钢筋的截面面积和抗压强度设计值，其余符号意义同前。 计算所得的受压区高度x，也应满足《公路桥规》的规定： ≤                           （13-11） 当受压区预应力钢筋受压，即 时，应满足： ≥                             （13-12a） 当受压区预应力钢筋受拉，即 时，应满足： ≥                           （13-12b） 式中 ——受压区钢筋 和 的合力作用点至截面最近边缘的距离；当预应力钢筋 中的应力为拉应力时，则以 代替 ； ——钢筋 的合力作用点至截面最近边缘的距离。 其余符号意义同前。 为防止构件的脆性破坏，必须满足条件式（13-11），而条件式（13-12）则是为了保证在构件破坏时，钢筋 的应力达到 ；同时也是保证前述式（13-8）或式（13-9）成立的必要条件。 （2）正截面承载力计算 由式（13-10）求得截面受压区高度x后，可得到正截面抗弯承载力并应满足： （13-13） 由承载力计算式可以看出，构件的承载力与受拉区钢筋是否施加预应力无关，但对受压区钢筋 施加预应力后，式（13-13）等号右边末项的钢筋应力 下降为 （或为拉应力），将比 筋不加预应力时的构件承载力有所降低，同时，使用阶段的抗裂性也有所降低。因此，只有在受压区确有需要设置预应力钢筋 时，才予以设置。 3）T形截面受弯构件 同普通钢筋混凝土梁一样，先按下列条件判断属于哪一类T形截面（图13-6） 截面复核时：     ≤       （13-14） 截面设计时： （13-15） 当符合上述条件时为第一类T形截面（中和轴在翼缘内），可按宽度为 的矩形截面计算［图13-6a）］。 图13-6  T形截面预应力梁受弯构件中和轴位置图 a）中和轴位于翼缘内 b）中和轴位于梁肋 当不符合上述条件时，表明中性轴通过梁肋，为第二类T形截面，计算时需考虑梁肋受压区混凝土的工作[图13-6b)]，计算公式为 （1）求受压区高度x ＝     (13-16) （2）承载力计算 (13-17) 适用条件与矩形截面一样。计算步骤与非预应力混凝土梁类似。 以上公式也适用于工字形截面、冂形截面等情况。 13.2.2 斜截面承载力计算 1）斜截面抗剪承载力计算 对配置箍筋和弯起预应力钢筋的矩形、T形和I形截面的预应力混凝土受弯构件，斜截面抗剪承载力计算的基本表达式为 ≤                         （13-18） 式中 ——斜截面受压端正截面上由作用（或荷载）产生的最大剪力组合设计值（kN）；          ——斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力设计值（kN）； ——与斜截面相交的预应力弯起钢筋抗剪承载力设计值（kN）。 对预应力混凝土连续梁等超静定结构，作用（或荷载）效应取 ，并考虑由预应力引起的次剪力 ；其中 为作用（或荷载）效应（汽车荷载计入冲击系数）的组合设计值， 为预应力（扣除全部预应力损失）引起的次效应； 为预应力的荷载分项系数，当预应力效应对结构有利时，取 ＝0.9；对结构不利时，取 ＝1.2； 对于箱形截面受弯构件的斜截面抗剪承载力的验算，也可参照式（13-18）进行。式（13-18）右边为受弯构件斜截面上各项抗剪承载力设计值之和，以下逐一介绍各项抗剪承载力的计算方法。 （1）斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力设计值（ ） 构件的预应力能够阻滞斜裂缝的发生和发展，使混凝土的剪压区高度增大，从而提高了混凝土所承担的抗剪能力；预应力混凝土梁的斜裂缝长度比钢筋混凝土梁有所增长进而增加了斜裂缝内箍筋的抗剪作用；对于带翼缘的预应力混凝土梁（如T形梁），由于受压翼缘的存在，也提高了梁的抗剪承载力。连续梁斜截面抗剪的试验表明，连续梁靠近边支点梁段，其混凝土和箍筋共同抗剪的性质与简支梁相同，斜截面抗剪承载力可按简支梁的规定计算，连续梁靠近中间支点梁段，则有异号弯矩的影响，抗剪承载力有所降低。综合以上因素，《公路桥规》采用的斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力（ ）的计算公式为 （kN）    （13-19） 式中 ——预应力提高系数。对预应力混凝土受弯构件， =1.25，但当由钢筋合力引起的截面弯矩与外弯矩的方向相同时，或允许出现裂缝的预应力混凝土受弯构件，取 =1.0； ——斜截面内纵向受拉钢筋的计算配筋率。 ， ；当 ＞2.5时，取 =2.5； 式中其他符号的意义详见式（4-5）。 式中的 为斜截面内箍筋配筋率， 。在实际工程中，预应力混凝土箱梁也有采用腹板内设置竖向预应力钢筋（箍筋）的情况，这时 应换为竖向预应力钢筋（箍筋）的配筋率 ； 为斜截面内竖向预应力钢筋（箍筋）的间距（mm）； 为为竖向预应力钢筋（箍筋）抗拉强度设计值； 为斜截面内配置在同一截面的竖向预应力钢筋（箍筋）截面面积。 （2）预应力弯起钢筋的抗剪承载力设计值（ ） 预应力弯起钢筋的斜截面抗剪承载力计算按以下公式进行： （kN）          （13-20） 式中 ——预应力弯起钢筋（在斜截面受压端正截面处）的切线与水平线的夹角； ——斜截面内在同一弯起平面的预应力弯起钢筋的截面面积（mm2）； ——预应力钢筋抗拉强度设计值； 预应力混凝土受弯构件抗剪承载力计算，所需满足的公式上、下限值与普通钢筋混凝土受弯构件相同，详见第4章。 2）斜截面抗弯承载力计算 根据斜截面的受弯破坏形态，仍取斜截面以左部分为脱离体（图13-7），并以受压区混凝土合力作用点o（转动铰）为中心取矩，由 ，得到矩形、T形和I形截面的受弯构件斜截面抗弯承载力计算公式为 ≤         （13-21） 式中 ——斜截面受压端正截面的最大弯矩组合设计值； 、 ——纵向普通受拉钢筋合力点、纵向预应力受拉钢筋合力点至受压区中心点O的距离； ——与斜截面相交的同一弯起平面内预应力弯起钢筋合力点至受压区中心点O的距离； ——与斜截面相交的同一平面内箍筋合力点至斜截面受压端的水平距离。 图13-7  斜截面抗弯承载力计算图 计算斜截面抗弯承载力时，其最不利斜截面的位置，需选在预应力钢筋数量变少、箍筋截面与间距的变化处，以及构件混凝土截面腹板厚度的变化处等进行。但其斜截面的水平投影长度C，仍需自下而上，按不同倾斜角度试算确定。最不利的斜截面水平投影长度按下列公式试算确定： （13-22） 假设最不利斜截面与水平方向的夹角为 ，水平投影长度为C，则该斜截面上箍筋截面积为 ，代入上式可得到最不利水平投影长度C的表达式为 （13-23） 式中 ——斜截面受压端正截面相应于最大弯矩组合设计值的剪力组合设计值； ——箍筋间距（mm）； 其余符号意义同前。          水平投影长度C确定后，尚应确定受压区合力作用点的位置O，以便确定各力臂的长度。由斜截面的受力平衡条件 ，可得到 （13-24） 由此可求出混凝土截面受压区的面积 。因 是受压区高度 的函数，故截面型式确定后，斜截面受压区高度x也就不难求得，受压区合力作用点的位置也随之可以确定。 预应力混凝土梁斜截面抗弯承载力的计算比较麻烦，因此也可以同普通钢筋混凝土受弯构件一样，用构造措施来加以保证，具体要求可参照钢筋混凝土梁的有关内容。 13.3  预加力的计算与预应力损失的估算 设计预应力混凝土受弯构件时，需要事先根据承受外荷载的情况，估定其预加应力的大小。由于施工因素、材料性能和环境条件等的影响，钢筋中的预拉应力会逐渐减少。这种预应力钢筋的预应力随着张拉、锚固过程和时间推移而降低的现象称为预应力损失。设计中所需的钢筋预应力值，应是扣除相应阶段的应力损失后，钢筋中实际存余的预应力（有效预应力 ）值。如果钢筋初始张拉的预应力（一般称为张拉控制应力）为 ，相应的应力损失值为 ，则它们与有效预应力 间的关系为 （13-25） 13.3.1 钢筋的张拉控制应力 张拉控制应力 是指预应力钢筋锚固前张拉钢筋的千斤顶所显示的总拉力除以预应力钢筋截面积所求得的钢筋应力值。对于有锚圈口摩阻损失的锚具， 应为扣除锚圈口摩擦损失后的锚下拉应力值，故《公路桥规》特别指出， 为张拉钢筋的锚下控制应力。 从提高预应力钢筋的利用率来说，张拉控制应力 应尽量定高些，使构件混凝土获得较大的预压应力值以提高构件的抗裂性，同时可以减少钢筋用量。但 又不能定得过高，以免个别钢筋在张拉或施工过程中被拉断，而且 值增高，钢筋的应力松弛损失也将增大。另外，高应力状态使构件可能出现纵向裂缝；并且过高的应力也降低了构件的延性。因此 不宜定得过高，一般宜定在钢筋的比例极限以下。不同性质的预应力筋应分别确定其 值，对于钢丝与钢绞线，因拉伸应力－应变曲线无明显的屈服台阶，其 与抗拉强度标准值 的比值应相应地定得低些；而精轧螺纹钢筋，一般具有较明显的屈服台阶，塑性性能较好，故其比值可相应地定得高些。《公路桥规》规定，构件预加应力时预应力钢筋在构件端部（锚下）的控制应力 应符合下列规定： 对于钢丝、钢绞线 ≤0.75                           （13-26） 对于精轧螺纹钢筋 ≤0.90                           （13-27） 式中 为预应力钢筋的抗拉强度标准值。  在实际工程中，对于仅需在短时间内保持高应力的钢筋，例如为了减少一些因素引起的应力损失，而需要进行超张拉的钢筋，可以适当提高张拉应力，但在任何情况下，钢筋的最大张拉控制应力，对于钢丝、纲绞线不应超过0.8 ；对于精轧螺纹钢筋不应超过0.95 。 13.3.2 钢筋预应力损失的估算 预应力损失与、材料性能及环境影响等有关，影响因素复杂，一般应根据实验数据确定，如无可靠试验资料，则可按《公路桥规》的规定估算。 一般情况下，可主要考虑以下六项应力损失值。但对于不同锚具、不同施工方法，可能还存在其他预应力损失，如锚圈口摩阻损失等，应根据具体情况逐项考虑其影响。 1）预应力筋与管道壁间摩擦引起的应力损失（ ）                                                                                                                                                                                                                  后张法的预应力筋，一般由直线段和曲线段组成。张拉时，预应力筋将沿管道壁滑移而产生摩擦力[图13-8a)]，使钢筋中的预拉应力形成张拉端高，向构件跨中方向逐渐减小[图13-8b)]的情况。钢筋在任意两个截面间的应力差值，就是这两个截面间由摩擦所引起的预应力损失值。从张拉端至计算截面的摩擦应力损失值以 表示。 摩擦损失主要由管道的弯曲和管道位置偏差引起的。对于直线管道，由于施工中位置偏差和孔壁不光滑等原因，在钢筋张拉时，局部孔壁也将与钢筋接触从而引起摩擦损失，一般称此为管道偏差影响（或称长度影响）摩擦损失，其数值较小；对于弯曲部分的管道，除存在上述管道偏差影响之外，还存在因管道弯转，预应力筋对弯道内壁的径向压力所起的摩擦损失，将此称为弯道影响摩擦损失，其数值较大，并随钢筋弯曲角度之和的增加而增加。曲线部分摩擦损失是由以上两部分影响构成的，故要比直线部分摩擦损失大得多。 图13-8  管道摩阻引起的钢筋预应力损失计算简图 a）管道压力和摩阻力 b）钢筋应力沿轴线分布图 c）弯道钢筋微段受力分析 d）管道偏差引起的摩阻分析 （1）弯道影响引起的摩擦力 设钢筋与曲线管道内壁相贴，并取微段钢筋dl为脱离体[图13-8c）]，其相应的弯曲角为 ，曲率半径为 ，则 。由此求得微段钢筋与弯道壁间的径向压力 为 （13-28） 钢筋与管道壁间的摩擦系数设为 ，则微段钢筋dl的弯道影响摩擦力 为 （13-29） 由图13-8c）可得到 （13-30） 故                                                  （13-31） 式中 N——预应力筋的张拉力； ——单位长度内预应力筋对弯道内壁的径向压力； ——单位长度内预应力筋对弯道内壁的摩擦力（由 引起）。 （2）管道偏差影响引起的摩擦力 假设管道具有正负偏差并假定其平均曲率半径为 [图13-8d）]。同理，假定钢筋与平均曲率半径为 的管道壁相贴，且与微段直线钢筋 相应的弯曲角为 ，则钢筋与管壁间在 段内的径向压力 为 （13-32） 故 段内的摩擦力 为 （13-33） 令 为管道的偏差系数，则 （13-34） （3）弯道部分的总摩擦力 预应力钢筋在管道弯曲部分微段 内的摩擦力为上述两部分之和，即 （13-35） （4）钢筋计算截面处因摩擦力引起的应力损失值 由微段钢筋轴向力的平衡可得到 （13-36） 故              或写成                                                （13-37） 将上式两边同时积分可得到     由张拉端边界条件： ， 时，则 ，代入上式可得到 ，于是                                        （13-38） 亦即                      故                                                （13-39） 为计算方便，式中l近似地用其在构件纵轴上的投影长度x代替，则上式为 （13-40） 式中 为距张拉端为x的计算截面处，钢筋实际的张拉力。 由此可求得因摩擦所引起的预应力损失值 为 （13-41） 式中 ——锚下张拉控制应力， ， 为钢筋锚下张拉控制力； ——预应力钢筋的截面面积； ——从张拉端至计算截面间管道平面曲线的夹角[图13-8a）]之和，即曲线包角，按绝对值相加，单位以弧度计。如管道为竖平面内和水平面内同时弯曲的三维空间曲线管道，则 可按式（13-42）计算： （13-42） 、 ——分别为在同段管道水平面内的弯曲角与竖向平面内的弯曲角； ——从张拉端至计算截面的管道长度在构件纵轴上的投影长度；或为三维空间曲线管道的长度，以m计； ——管道每米长度的局部偏差对摩擦的影响系数，可按附表2-5采用； ——钢筋与管道壁间的摩擦系数，可按附表2-5采用。 为减少摩擦损失，一般可采用如下措施： （1）采用两端张拉，以减小 值及管道长度x值； （2）采用超张拉。对于后张法预应力钢筋，其张拉工艺按下列要求进行： 对于钢绞线束 对于钢丝束 由于超张拉5%~10%，使构件其他截面应力也相应提高，当张拉力回降至 时，钢筋因要回缩而受到反向摩擦力的作用，对于简支梁来说，这个回缩影响一般不能传递到受力最大的跨中截面（或者影响很小），这样跨中截面的预加应力也就因超张拉而获得了稳定的提高。 应当注意，对于一般夹片式锚具，不宜采用超张拉工艺。因为它是一种钢筋回缩自锚式锚具，超张拉后的钢筋拉应力无法在锚固前回降至 ，一回降钢筋就回缩，同时就会带动夹片进行锚固。这样就相当于提高了 值，而与超张拉的意义不符。 2）锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩引起的应力损失（ ） 后张法构件，当张拉结束并进行锚固时，锚具将受到巨大的压力并使锚具自身及锚下垫板压密而变形，同时有些锚具的预应力钢筋还要向内回缩；此外，拼装式构件的接缝，在锚固后也将继续被压密变形，所有这些变形都将使锚固后的预应力钢筋放松，因而引起应力损失，用 表示，可按下式计算： （13-43） 式中 ——张拉端锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩值之和（mm），可根据试验确定，当无可靠资料时，按附表2-6采用； ——张拉端至锚固端之间的距离（mm）； ——预应力钢筋的弹性模量。 实际上，由于锚具变形所引起的钢筋回缩同样也会受到管道摩阻力的影响，这种摩阻力与钢筋张拉时的摩阻力方向相反，称之为反摩阻。式（13-43）未考虑钢筋回缩时的摩阻影响，所以 沿钢筋全长不变，这种计算方法只能近似适用于直线管道的情况，而对于曲线管道则与实际情况不符，应考虑摩阻影响。《公路桥规》规定：后张法预应力混凝土构件应计算由锚具变形、钢筋回缩等引起反摩阻后的预应力损失。反向摩阻的管道摩阻系数可假定与正向摩阻的相同。 图13-9为张拉和锚固钢筋时钢筋中的应力沿梁长方向的变化示意图。设张拉端锚下钢筋张拉控制应力 （图13-9中所示的A点），由于管道摩阻力的影响，预应力钢筋的应力由梁端向跨中逐渐降低为图中ABCD曲线。在锚固传力时，由于锚具变形引起应力损失，使梁端锚下钢筋的应力降到图13-9中的 点，应力降低值为( )，考虑反摩阻的影响，并假定反向摩阻系数与正向摩阻系数相等，钢筋应力将按图中A’B’CD曲线变化。锚具变形损失的影响长度为ac，两曲线间的纵距即为该截面锚具变形引起的应力损失 。例如，在b处截面的锚具变形损失为 ，在交点c处该项损失为零。 图13-9  考虑反摩阻后钢筋预应力损失计算示意图 从张拉端a至c点的范围为回缩影响区，总回缩量 应等于其影响区内各微分段dx回缩应变的累计，即为 （13-44） 所以                                      （13-45） 式中 为图形 的面积，即图形ABca面积的两倍。根据已知的 值，用试算法确定一个等于 的面积ABca，即求得回缩影响长度ac。在回缩影响长度ac内，任一截面处的锚具变形损失为以ac为基线的向上垂直距离的两倍。例如，b截面处的锚具变形损失 应该指出，上述计算方法概念清楚，但使用时不太方便，故《公路桥规》在附录D中推荐了一种考虑反摩阻后预应力钢筋应力损失的简化计算方法，以下简述之。 《公路桥规》中的考虑反摩阻后的预应力损失简化计算方法假定张拉端至锚固端范围内由管道摩阻引起的预应力损失沿梁长方向均匀分配，则扣除管道摩阻损失后钢筋应力沿梁长方向的分布曲线简化为直线（图13-10中 ）。直线 的斜率为 （13-46） 式中 ——单位长度由管道摩阻引起的预应力损失（MPa/mm）； ——张拉端锚下控制应力（MPa）； ——预应力钢筋扣除沿途管道摩阻损失后锚固端的预应力（MPa）； ——张拉端至锚固端的之间的距离（mm）。 图13-10  考虑反摩阻后预应力钢筋应力损失计算简图 图13-10中 表示预应力钢筋扣除管道正摩阻损失后锚固前瞬间的应力分布线，其斜率为 。锚固时张拉端预应力钢筋将发生回缩，由此引起预应力钢筋张拉端预应力损失为 。考虑反摩阻的作用，此项预应力损失将随着离开张拉端距离x的增加而逐渐减小，并假定按直线规律变化。由于钢筋回缩发生的反向摩阻力和张拉时发生的摩阻力的摩阻系数相等，因此，代表锚固前和锚固后瞬间的预应力钢筋应力变化的两根直线 和 的斜率相等，但方向相反。两根直线的交点 至张拉端的水平距离即为反摩阻影响长度 。当 时，锚固后整根预应力钢筋的预应力变化线可用折线 表示。确定这根折线，需要求出两个未知量，一个是张拉端预应力损失 ，另一个是预应力钢筋回缩影响长度 。 由于直线 和直线 斜率相同，则△ 为等腰三角形，可将底边 通过高 和直线 的斜率 来表示，钢筋回缩引起的张拉端预应力损失为 （13-47） 钢筋总回缩量等于回缩影响长度 范围内各微分段应变的累计，并应与锚具变形值 相协调，即 （13-48） 上式移项可得到回缩影响长度 的计算公式为 （13-49） 求得回缩影响长度后，即可按不同情况计算考虑反摩阻后预应力钢筋的应力损失。 （1）当 ≤ 时，预应力钢筋离张拉端x处考虑反摩阻后的预拉力损失 可按下列公式计算： （13-50） 式中 ——离张拉端x处由锚具变形产生的考虑反摩阻后的预拉力损失； ——张拉端由锚具变形引起的考虑反摩阻后的预应力损失，按式（13-47）计算； 若 ≥ ，则表示该截面不受锚具变形的影响，即 。 （2）当 ＞ 时，预应力钢筋的全长均处于反摩阻影响长度以内，扣除管道摩阻和钢筋回缩等损失后的预应力线以直线 表示（图13-10），距张拉端 处考虑反摩阻后的预拉力损失 可按下列公式计算： （13-51） 式中 ——距张拉端 处由锚具变形引起的考虑反摩阻后的预应力损失； ——当 ＞ 时，预应力钢筋考虑反摩阻后张拉端锚下的预应力损失值；其数值可按以下方法求得：令图13-10中的 等腰梯形面积 ，试算得到 ，则 。 两端张拉（分次张拉或同时张拉）且反摩阻损失影响长度有重叠时，在重叠范围内同一截面扣除正摩阻和回缩反摩阻损失后预应力钢筋的应力可对两端分别张拉、锚固的情况，分别计算正摩阻和回缩反摩阻损失，分别将张拉端锚下控制应力减去上述应力计算结果所得较大值。 减小 值的方法： （1）采用超张拉； （2）注意选用 值小的锚具，对于短小构件尤为重要。 3）钢筋与台座间的温差引起的应力损失（ ） 此项应力损失，仅在先张法构件采用蒸汽或其他加热方法养护混凝土时才予以考虑。 假设张拉时钢筋与台座的温度均为 ，混凝土加热养护时的最高温度为 ，此时钢筋尚未与混凝土粘结，温度由 升为 后钢筋可在混凝土中自由变形，产生了一温差变形 ，即 (13-52) 式中 ——钢筋的线膨胀系数，一般可取 ； ——钢筋的有效长度； ——张拉钢筋时，制造场地的温度（℃）； ——混凝土加热养护时，已张拉钢筋的最高温度（℃）。 如果在对构件加热养护时，台座长度也能因升温而相应地伸长一个 ，则锚固于台座上的预应力钢筋的拉应力将保持不变，仍与升温之前的拉应力相同。但是，张拉台座一般埋置于土中，其长度并不会因对构件加热而伸长，而是保持原长不变，并约束预应力钢筋的伸长，这就相当于将预应力钢筋压缩了一个 长度，使其应力下降。当停止升温养护时，混凝土已与钢筋粘结在一起，钢筋和混凝土将同时随温度变化而共同伸缩，因养护升温所降低的应力已不可恢复，于是形成温差应力损失 ，即 （13-53） 取预应力钢筋的弹性模量 ，则有 （MPa）                （13-54） 为了减小温差应力损失，一般可采用二次升温的养护方法，即第一次由常温 升温至 进行养护。初次升温的温度一般控制在20℃以内，待混凝土达到一定强度（例如7.5~10MPa）能够阻止钢筋在混凝土中自由滑移后，再将温度升至 进行养护。此时，钢筋将和混凝土一起变形，不会因第二次升温而引起应力损失，故计算 的温差只是（ ），比（ ）小很多（因为 ＞ ），所以 也可小多了。 如果张拉台座与被养护构件是共同受热、共同变形时，则不应计入此项应力损失。 4）混凝土弹性压缩引起的应力损失（ ） 当预应力混凝土构件受到预压应力而产生压缩变形时，则对于已张拉并锚固于该构件上的预应力钢筋来说，将产生一个与该预应力钢筋重心水平处混凝土同样大小的压缩应变 ，因而也将产生预拉应力损失，这就是混凝土弹性压缩损失 ，它与构件预加应力的方式有关。 （1）先张法构件 先张法构件的预应力钢筋张拉与对混凝土施加预压应力是先后完全分开的两个工序，当预应力钢筋被放松（称为放张）对混凝土预加压力时，混凝土所产生的全部弹性压缩应变将引起预应力钢筋的应力损失，其值为 （13-55） 式中 ——预应力钢筋弹性模量 与混凝土弹性模量 的比值； ——在先张法构件计算截面钢筋重心处，由预加力 产生的混凝土预压应力，可按 计算； ——全部钢筋的预加力（扣除相应阶段的预应力损失）； 、 ——构件全截面的换算截面面积和换算截面惯性矩； ——预应力钢筋重心至换算截面重心轴间的距离。 （2）后张法构件 后张法构件预应力钢筋张拉时混凝土所产生的弹性压缩是在张拉过程中完成的，故对于一次张拉完成的后张法构件，混凝土弹性压缩不会引起应力损失。但是，由于后张法构件预应力钢筋的根数往往较多，一般是采用分批张拉锚固并且多数情况是采用逐束进行张拉锚固的。这样，当张拉后批钢筋时所产生的混凝土弹性压缩变形将使先批已张拉并锚固的预应力钢筋产生应力损失，通常称此为分批张拉应力损失，也以 表示。《公路桥规》规定 可按下式计算： （13-56） 式中 ——预应力钢筋弹性模量与混凝土的弹性模量的比值； ——在计算截面上先张拉的钢筋重心处，由后张拉各批钢筋所产生的混凝土法向应力之和。                后张法构件多为曲线配筋，钢筋在各截面的相对位置不断变化，使各截面的“ ”也不相同，要详细计算，非常麻烦。为使计算简便，对简支梁，可采用如下近似简化方法进行： ①取按应力计算需要控制的截面作为全梁的平均截面进行计算，其余截面不另计算，简支梁可以取 截面。 ②假定同一截面（如 截面）内的所有预应力钢筋，都集中布于其合力作用点（一般可近似为所有预应力钢筋的重心点）处，并假定各批预应力钢筋的张拉力都相等，其值等于各批钢筋张拉力的平均值。这样可以较方便地求得各批钢筋张拉时，在先批张拉钢筋重心（即假定的全部预应力钢筋重心）点处所产生的混凝土正应力为 ，即 （13-57） 式中 ——所有预应力钢筋预加应力（扣除相应阶段的应力损失 与 后）的合力； ——张拉预应力钢筋的总批数； ——预应力钢筋预加应力的合力 至净截面重心轴间的距离； ——先批张拉钢筋重心（即假定的全部预应力钢筋重心）处至混凝土净截面重心轴间的距离，故 ； 、 ——混凝土梁的净截面面积和净截面惯性矩。 由上可知，张拉各批钢筋所产生的混凝土正应力 之和，就等于由全部（m批）钢筋的合力 在其作用点（或全部筋束的重心点）处所产生的混凝土正应力 ，即 或写成                                                  （13-58） ③为便于计算，还可进一步假定同一截面上（ 截面）全部预应力筋重心处混凝土弹性压缩应力损失的总平均值，作为各批钢筋由混凝土弹性压缩引起的应力损失值。 因为在张拉第i批钢筋之后，还将张拉（ ）批钢筋，故第i批钢筋的应力损失 应为 （13-59） 据此可知，第一批张拉的钢筋，其弹性压缩损失值最大，为 ；而第m批（最后一批）张拉的钢筋无弹性压缩应力损失，其值为 。因此计算截面上各批钢筋弹性压缩损失平均值可按下式求得： （13-60） 对于各批张拉预应力钢筋根数相同的情况, 将式（13-58）代入式(13-60)可得到分批张拉引起的各批预应力钢筋平均应力损失为 （13-61） 式中的 为计算截面全部钢筋重心处由张拉所有预应力钢筋产生的混凝土法向应力。 5）钢筋松弛引起的应力损失（ ） 与混凝土一样，钢筋在持久不变的应力作用下，也会产生随持续加荷时间延长而增加的徐变变形（又称蠕变）。如果钢筋在一定拉应力值下，将其长度固定不变，则钢筋中的应力将随时间延长而降低，一般称这种现象为钢筋的松弛或应力松弛，图13-11为典型的预应力钢筋松弛曲线。钢筋松弛一般有如下特点： （1）钢筋初拉应力越高，其应力松弛愈甚； （2）钢筋松弛量的大小主要与钢筋的品质有关。例如，我国的预应力钢丝与钢绞线依其加工工艺不同而分为I级松弛（普通松弛）和II级松弛（低松弛）两种，低松弛钢筋的松弛值，一般不到前者的1/3； （3）钢筋松弛与时间有关。初期发展最快，第一小时内松弛最大，24h内可完成50%，以后渐趋稳定，但在持续5~8年的试验中，仍可测到其影响； （4）采用超张拉，即用超过设计拉应力5%~10%的应力张拉并保持数分钟后，再回降至设计拉应力值，可使钢筋应力松弛减少40%~60%； （5）钢筋松弛与温度变化有关，它随温度升高而增加，这对采用蒸汽养护的预应力混凝土构件会有所影响。 图13-11  典型的预应力钢筋松弛曲线 试验表明：当初始应力小于钢筋极限强度的50%时，其松弛量很小，可略去不计。一般预应力钢筋的持续拉应力多为钢筋极限强度的60%~70%，若以此应力持续1000h，对于普通松弛的钢丝、钢绞线的松弛率约为（4.5~8.0）%；低松弛级钢丝、钢绞线的松弛率约为1.0%~2.5%。由钢筋松弛引起的应力损失终值，按下列规定计算： 对于精轧螺纹钢筋 一次张拉                          （13-62） 超张拉                          （13-63） 对于预应力钢丝、钢绞线 （13-64） 式中 ——张拉系数，一次张拉时， ；超张拉时， ； ——钢筋松弛系数，I级松弛（普通松弛）， ；II级松弛（低松弛）， ； ——传力锚固时的钢筋应力。对后张法构件 ；对先张法构件 。 《公路桥规》还规定，对碳素钢丝、钢绞线，当 时，应力松弛损失值为零。 钢筋松弛应力损失的计算，应根据构件不同受力阶段的持荷时间进行。对于先张法构件，在预加应力（即从钢筋张拉到与混凝土粘结）阶段，一般按松弛损失值的一半计算，其余一半认为在随后的使用阶段中完成；对于后张法构件，其松弛损失值则认为全部在使用阶段中完成。若按时间计算，对于预应力钢筋为钢丝或钢绞线的情况，可自建立预应力时开始，按照2d完成松弛损失终值的50%，10d完成61％，20d完成74％，30d完成87％，40d完成100%来确定。 6）混凝土收缩和徐变引起的应力损失（ ） 混凝土收缩、徐变会使预应力混凝土构件缩短，因而引起应力损失。收缩与徐变的变形性能相似，影响因素也大都相同，故将混凝土收缩与徐变引起的应力损失值综合在一起进行计算。 由混凝土收缩、徐变引起的钢筋的预应力损失值可按下面介绍的方法计算。 （1）受拉区预应力钢筋的预应力损失为 （13-65） 式中 ——构件受拉区全部纵向钢筋截面重心处由混凝土收缩、徐变引起的预应力损失； ——构件受拉区全部纵向钢筋截面重心处由预应力（扣除相应阶段的预应力损失）和结构自重产生的混凝土法向应力（MPa）。对于简支梁，一般可取跨中截面和 截面的平均值作为全梁各截面的计算值； 不得大于 ， 为预应力钢筋传力锚固时混凝土立方体抗压强度； ——预应力钢筋的弹性模量； ——预应力钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值； ——构件受拉区全部纵向钢筋配筋率；对先张法构件， ；对于后张法构件， ；其中 分别为受拉区的预应力钢筋和非预应力筋的截面面积； 和 分别为换算截面面积和净截面面积； —— ； ——截面回转半径， 。先张法构件取 ， ；后张法构件取 ， ；其中， 和 分别为换算截面惯性矩和净截面惯性矩； ——构件受拉区预应力钢筋和非预应力钢筋截面重心至构件截面重心轴的距离； ； ——构件受拉区预应力钢筋截面重心至构件截面重心的距离； ——构件受拉区纵向非预应力钢筋截面重心至构件截面重心的距离； ——预应力钢筋传力锚固龄期为 ，计算考虑的龄期为 时的混凝土收缩应变，其终极值 可按表12-4取用； ——加载龄期为 ，计算考虑的龄期为 时的徐变系数，其终极值 可按表12-4取用。 对于受压区配置预应力钢筋 和非预应力钢筋 的构件，其受拉区预应力钢筋的预应力损失也可取 ，近似地按公式（13-65）计算。 （2）受压区配置预应力钢筋 和非预应力钢筋 的构件，由混凝土收缩、徐变引起构件受压区预应力钢筋的预应力损失为 （13-66） 式中 ——构件受压区全部纵向钢筋截面重心处由混凝土收缩、徐变引起的预应力损失； ——构件受压区全部纵向钢筋截面重心处由预应力（扣除相应阶段的预应力损失）和结构自重产生的混凝土法向应力（MPa）； 不得大于 ；当 为拉应力时，应取其为零； ——构件受压区全部纵向钢筋配筋率；对先张法构件， ；对于后张法构件， ；其中 分别为受压区的预应力钢筋和非预应力筋的截面面积； —— ； ——构件受压区预应力钢筋和非预应力钢筋截面重心至构件截面重心轴的距离； ； ——构件受压区预应力钢筋截面重心至构件截面重心的距离； ——构件受压区纵向非预应力钢筋截面重心至构件截面重心的距离。 应当指出，混凝土收缩、徐变应力损失，与钢筋的松弛应力损失等是相互影响的，目前采用分开单独计算的方法不够完善。国际预应力混凝土协会（FIP）和国内的学者已注意到这一问题。 13.3.3 钢筋的有效预应力计算 预应力钢筋的有效预应力 的定义为预应力钢筋锚下控制应力 扣除相应阶段的应力损失 后实际存余的预拉应力值。但应力损失在各个阶段出现的项目是不同的，故应按受力阶段进行组合，然后才能确定不同受力阶段的有效预应力。 1)预应力损失值组合 现根据应力损失出现的先后次序以及完成终值所需的时间，分先张法、后张法按两个阶段进行组合，具体如表13-2所示。 各阶段预应力损失值的组合                表13-2 预应力损失值的组合 先张法构件 后张法构件 传力锚固时的损失（第一批） 传力锚固后的损失（第二批）       2)预应力钢筋的有效预应力 在预加应力阶段，预应力筋中的有效预应力为 （13-67） 在使用阶段，预应力筋中的有效预应力，即永存预应力为 （13-68） 13.4  预应力混凝土受弯构件的应力计算 预应力混凝土构件由于施加预应力以后截面应力状态较为复杂，各个受力阶段均有其不同受力特点，除了计算构件承载力外，还要计算弹性阶段的构件应力。这些应力包括截面混凝土的法向压应力、钢筋的拉应力和斜截面混凝土的主压应力。构件的应力计算实质上是构件的强度计算，是对构件承载力计算的补充。对预应力混凝土简支结构，只计算预应力引起的主效应；对预应力混凝土连续梁等超静定结构，除此之外尚应计算预应力引起的次效应。应力计算又可分为持久状况的应力计算和短暂状况的应力计算。 13.4.1 短暂状况的应力计算 预应力混凝土受弯构件按短暂状况计算时，应计算其在制作、运输及安装等施工阶段，由预应力作用、构件自重和施工荷载等引起的正截面和斜截面的应力，并不应超过规定的应力限值。施工荷载除有特别规定外均采用标准值，当有组合时不考虑荷载组合系数。当采用吊机（车）行驶于桥梁进行构件安装时，应对已安装就位的构件进行验算，吊（机）车作用应乘以1.15的荷载系数，但当由吊（机）车产生的效应设计值小于按持久状态承载能力极限状态计算的荷载效应组合设计值时，则可不必验算。 构件短暂状况的应力计算，实属构件弹性阶段的强度计算。除非有特殊要求，短暂状况一般不进行正常使用极限状态计算，可以通过施工措施或构造布置来弥补，防止构件过大变形或出现不必要的裂缝。以下介绍各过程的应力计算方法。 1）预加应力阶段的正应力计算 这一阶段的受力状态如图13-1所示，主要承受偏心的预加力 和梁一期恒载（自重荷载） 作用效应 ，可采用材料力学中偏心受压的公式进行计算。本阶段的受力特点是预加力 值最大（因预应力损失值最小），而外荷载最小（仅有梁的自重作用）。对于简支梁来说，其受力最不利截面往往在支点附近，特别是直线配筋的预应力混凝土等截面简支梁，其支点上缘拉应力，常常成为计算的控制力。 图13-12  预加力阶段预应力钢筋和非预应力钢筋合力及其偏心矩 a）先张法构件 b）后张法构件 （1）由预加力 产生的混凝土法向压应力 和法向拉应力 对于先张法构件 （13-69） 式中 ——先张法构件的预应力钢筋的合力[图13-12a）]，按下式计算 （13-70） ——受拉区预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力； ，其中 为受拉区预应力钢筋由混凝土弹性压缩引起的预应力损失； 为受拉区预应力钢筋传力锚固时的预应力损失； ——受拉区预应力钢筋的截面面积； ——预应力钢筋的合力对构件全截面换算截面重心的偏心距；                     ——截面计算纤维处至构件全截面换算截面重心轴的距离； ——构件全截面换算截面惯性矩； ——构件全截面换算截面的面积。 对于后张法构件 （13-71） 式中 ——后张法构件的预应力钢筋的合力（图13-12b），按下式计算： （13-72） 对于配置曲线预应力钢筋的构件为上式中的 取为（ ）；其中 为弯起预应力钢筋的截面积， 为计算截面上弯起的预应力钢筋的切线与构件轴线的夹角。 ——受拉区预应力钢筋的有效预应力， ， 为受拉区预应力钢筋传力锚固时的预应力损失（包括 在内）； ——预应力钢筋的合力对构件净截面重心的偏心距；                                                ——截面计算纤维处至构件净截面重心轴的距离； ——构件净截面惯性矩； ——构件净截面的面积。 （2）由构件一期恒载 产生的混凝土正应力 为 先张法构件                            （13-73） 后张法构件                            （13-74） 式中的 为受弯构件的一期恒载产生的弯矩标准值。 （3）预加应力阶段的总应力 将式（13-69）、（13-71）与式（13-73）、（13-74）分别相加，则可得预加应力阶段截面上、下缘混凝土的正应力 、 为 先张法构件                      （13-75） 后张法构件                          （13-76） 式中 、 ——构件全截面换算截面对上、下缘的截面抵抗矩； 、 ——构件净截面对上、下缘的截面抵抗矩。 2)运输、吊装阶段的正应力的计算 此阶段构件应力计算方法与预加应力阶段相同。唯应注意的是预加力 已变小；计算一期恒载作用时产生的弯矩应考虑计算图式的变化，并考虑动力系数（参见13.1.1节）。 3)施工阶段混凝土的限制应力 《公路桥规》要求，按式（13-75）、（13-76）算得的混凝土正应力或由运输、吊装阶段算得的混凝土正应力应符合下列规定： （1）混凝土压应力 本阶段预压应力最大。混凝土的预压应力越高，沿梁轴方向的变形越大，相应引起的构件横向拉应变也越大；压应力过高将使构件出现过大的上拱度，而且可能产生沿钢筋方向的裂缝；此外，压应力过高，也可能引起徐变破坏（参见12.3.1节）。为此《公路桥规》规定，在预应力和构件自重等施工荷载作用下预应力混凝土受弯构件截面边缘混凝土的法向压应力应满足： （13-77） 式中 为制作、运输、安装各施工阶段的混凝土轴心抗压强度标准值，可按强度标准值表直线内插得到。 （2）混凝土拉应力 《公路桥规》根据预拉区边缘混凝土的拉应力大小，通过规定的预拉区配筋率来防止出现裂缝，具体规定为 当 时，预拉区应配置配筋率不小于0.2％的纵向非预应力钢筋； 当 时，预拉区应配置配筋率不小于0.4％的纵向非预应力钢筋； 当 时，预拉区应配置的纵向非预应力钢筋配筋率按以上两者直线内插取用，拉应力 不应超过 ； 对于预拉区没有配置预应力钢筋的构件，预拉区的非预应力钢筋的配筋率为 ，A为构件全截面面积。 是制作、运输、安装各施工阶段混凝土轴心抗拉强度标准值，可按强度标准值表直线内插得到。预拉区的纵向非预应力钢筋宜采用带肋钢筋，其直径不宜大于14mm，沿预拉区的外边缘均匀布置。 对于预拉区也配置预应力钢筋的构件，应力计算也可采用以上公式进行，但公式中的预应力钢筋合力 或 还应计入受压区预应力钢筋的作用力；预拉区的配筋率计算式则为 。 13.4.2 持久状况的应力计算 预应力混凝土受弯构件按持久状况计算时，应计算使用阶段截面混凝土的法向压应力、混凝土的主应力和受拉区钢筋的拉应力，并不得超过规定的限值。全预应力混凝土和A类部分预应力混凝土受弯构件在使用荷载作用下的应力状态，如图13-3所示。本阶段的计算特点是：预应力损失已全部完成，有效预应力 最小，其相应的永存预加力为 ，计算时作用（或荷载）取其标准值，汽车荷载应计入冲击系数，预加应力效应应考虑在内，所有荷载分项系数均取为1.0。 计算时，应取最不利截面进行控制验算，对于直线配筋等截面简支梁，一般以跨中为最不利控制截面；但对于曲线配筋的等截面或变截面简支梁，则应根据预应力筋的弯起和混凝土截面变化的情况，确定其计算控制截面，一般可取跨中、l/4、l/8、支点截面和截面变化处的截面进行计算。 1）正应力计算 在配有非预应力钢筋的预应力混凝土构件中（图13-13），混凝土的收缩和徐变使非预应力钢筋产生与预压力相反的内力，从而减少了受拉区混凝土的法向预压应力。为简化计算，非预应力钢筋的应力值均取混凝土收缩和徐变引起的预应力损失值来计算，这有一定的近似性。 图13-13  使用阶段预应力钢筋和非预应力钢筋合力及其偏心矩 a）先张法构件 b）后张法构件. （1）先张法构件 对于先张法构件，使用荷载作用效应仍由钢筋与混凝土共同承受，其截面几何特征也采用换算截面计算。此时，由作用（或荷载）标准值和预加力在构件截面上缘产生的混凝土法向压应力为 （13-78） 预应力钢筋中的最大拉应力为 （13-79） 式中 ——作用（或荷载）标准值产生的混凝土法向压应力； ——预应力钢筋的永存预应力，即 ； ——使用阶段预应力钢筋和非预应力钢筋的合力[图13-13a）]，按下式计算： （13-80） ——受拉区预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力； ，其中 为使用阶段受拉区预应力钢筋由混凝土弹性压缩引起的预应力损失； 为受拉区预应力钢筋总的预应力损失； ——受拉区预应力钢筋由混凝土收缩和徐变引起的预应力损失； ——预应力钢筋与非预应力钢筋合力作用点至构件换算截面重心轴的距离，可按下式计算： （13-81） ——受拉区非预应力钢筋的截面面积； ——受拉区非预应力钢筋重心至换算截面重心的距离； ——构件混凝土换算截面对截面上缘的抵抗矩； ——预应力钢筋与混凝土的弹性模量比； ——由桥面铺装、人行道和栏杆等二期恒载产生的弯矩标准值； ——由可变荷载标准值组合计算的截面最不利弯矩；汽车荷载考虑冲击系数； （2）后张法构件 后张法受弯构件，在其承受二期恒载及可变荷载作用时，一般情况下构件预留孔道均已压浆凝固，认为钢筋与混凝土已成为整体并能有效地共同工作，故二期恒载与活载作用时均按换算截面计算。预加应力作用时，因孔道尚未压浆，所以由预加力 和梁的一期恒载 作用产生的混凝土应力，仍按混凝土净截面特性计算。由作用（或荷载）标准值和预应力在构件截面上缘混凝土压应力 为 （13-82） 预应力钢筋中的最大拉应力为 （13-83） 式中 ——预应力钢筋和非预应力钢筋的合力，按下式计算： （13-84） ——受拉区预应力钢筋的有效预应力， ； ——构件混凝土净截面对截面上缘的抵抗矩； ——预应力钢筋和非预应力钢筋合力作用点至构件净截面重心轴的距离，按下式计算： （13-85） ——受拉区非预应力钢筋重心至净截面重心的距离； ——计算的预应力钢筋重心到换算截面重心轴的距离。 当截面受压区也配置预应力钢筋 时，则以上计算式还需考虑 的作用。由于混凝土的收缩和徐变，使受压区非预应力钢筋产生与预压力相反的内力，从而减少了截面混凝土的法向预压应力，受压区非预应力钢筋的应力值取混凝土收缩和徐变作用引起的 预应力损失 来计算。 2）混凝土主应力计算 预应力混凝土受弯构件在斜截面开裂前，基本上处于弹性工作状态，所以，主应力可按材料力学方法计算。预应力混凝土受弯构件由作用（或荷载）标准值和预加力作用产生的混凝土主压应力 和主拉应力 可按下列公式计算，即 （13-86） 式中 ——在计算主应力点，由作用（或荷载）标准值和预加力产生的混凝土法向应力。先张法构件可按式（13-87）计算，后张法构件可按式（13-88）计算： （13-87） （13-88） 、 ——分别为计算主应力点至换算截面、净截面重心轴的距离。利用式（13-87）、（13-88）计算时，当主应力点位于重心轴之上时，取为正；反之，取为负； 、 ——分别为换算截面惯性矩、净截面惯性矩； ——由竖向预应力钢筋的预加力产生的混凝土竖向压应力，可按式(13-89)计算： （13-89） n ——同一截面上竖向钢筋的肢数； ——竖向预应力钢筋扣除全部预应力损失后的有效预应力； ——单肢竖向预应力钢筋的截面面积； ——竖向预应力钢筋的间距； ——在计算主应力点，按作用（或荷载）标准值组合计算的剪力产生的混凝土剪应力；当计算截面作用有扭矩时，尚应考虑由扭矩引起的剪应力。对于等高度梁截面上任一点在作用（或荷载）标准值组合下的剪应力 可按下列公式计算： 先张法构件                          （13-90） 后张法构件        （13-91） 、 ——分别为一期恒载和二期恒载作用引起的剪力标准值； ——可变作用（或荷载）引起的剪力标准值组合；对于简支梁， 计算式为 （13-92） 、 ——分别为汽车荷载效应（计入冲击系数）和人群荷载效应引起的剪力标准值；  、 ——计算主应力点以上（或以下）部分换算截面面积对截面重心轴、净截面面积对截面重心轴的面积矩； ——计算截面上预应力弯起钢筋的切线与构件纵轴线的夹角（图13-14）； ——计算主应力点处构件腹板的宽度； ——纵向预应力弯起钢筋扣除全部预应力损失后的有效预应力； ——计算截面上同一弯起平面内预应力弯起钢筋的截面面积。 图13-14  剪力计算图 以上公式中均取压应力为正，拉应力为负。对连续梁等超静定结构，应计及预加力、温度作用等引起的次效应。对变高度预应力混凝土连续梁，计算由作用（或荷载）引起的剪应力时，应计算截面上弯矩和轴向力产生的附加剪应力。 3）持久状况的钢筋和混凝土的应力限值 对于按全预应力混凝土和A类部分预应力混凝土设计的受弯构件，《公路桥规》中对持久状况应力计算的限值规定如下。 （1）使用阶段预应力混凝土受弯构件正截面混凝土的最大压应力，应满足： ≤                       （13-93） 式中的 为作用（或荷载）标准值产生的混凝土法向压应力； 为预加力产生的混凝土法向拉应力； 为混凝土轴心抗压强度标准值。 （2）使用阶段受拉区预应力钢筋的最大拉应力限值 在使用荷载作用下，预应力混凝土受弯构件中的钢筋与混凝土经常承受着反复应力，而材料在较高的反复应力作用下，将使其强度下降，甚至造成疲劳破坏。为了避免这种不利影响，铁路桥梁对使用荷载下的材料容许应力规定较低，但对于公路桥梁来说，钢筋最小应力与最大应力之比 值均为0.85以上，一般不计疲劳影响，故《公路桥规》将上述应力限值相应地规定得比铁路桥梁高些，具体规定为 对钢绞线、钢丝            ≤                   （13-94）                  对精轧螺纹钢筋            ≤                     （13-95） 式中的 为受拉区预应力钢筋扣除全部预应力损失后的有效预应力； 为作用（或荷载）产生的预应力钢筋应力增量； 预应力钢筋抗拉强度标准值。 预应力混凝土受弯构件受拉区的非预应力钢筋，其使用阶段的应力很小，可不必验算。 （3）使用阶段预应力混凝土受弯构件混凝土主应力限值 混凝土的主压应力应满足： （13-96） 式中的 为混凝土轴心抗压强度标准值。 对计算所得的混凝土主拉应力 ，作为对构件斜截面抗剪计算的补充，按下列规定设置箍筋： 在 的区段，箍筋可仅按构造要求配置； 在 的区段，箍筋的间距 可按下式计算： （13-97） 式中 ——箍筋的抗拉强度标准值； ——混凝土轴心抗拉强度标准值； ——同一截面内箍筋的总截面面积； b ——矩形截面宽度、T形或I形截面的腹板宽度。 当按上式计算的箍筋用量少于按斜截面抗剪承载力计算的箍筋用量时，构件箍筋按抗剪承载力计算要求配置。 13.5  预应力混凝土构件的抗裂验算 预应力混凝土构件的抗裂性验算都是以构件混凝土拉应力是否超过规定的限值来表示的，属于结构正常使用极限状态计算的范畴。《公路桥规》规定，对于全预应力混凝土和A类部分预应力混凝土构件，必须进行正截面抗裂性验算和斜截面抗裂性验算；对于B类部分预应力混凝土构件必须进行斜截面抗裂性验算。 13.5.1 正截面抗裂性验算 预应力混凝土受弯构件正截面抗裂性验算按作用（或荷载）短期效应组合和长期效应组合两种情况进行。 1）作用（或荷载）短期效应组合下构件边缘混凝土的正应力计算 作用（或荷载）短期效应组合是永久作用标准值与可变作用频遇值效应的组合。 （1）预加力作用下受弯构件抗裂验算边缘混凝土的预压应力 ，对于先张法和后张法构件，其计算式分别为 先张法构件                                （13-98） 后张法构件                                （13-99） 式（13-98）和式（13-99）中各符号的意义分别参见式（13-78）和式（13-82）。 对于连续梁等超静定预应力结构，还需考虑预加应力扣除相应阶段预应力损失后在结构中产生的次弯矩 。当 与 的弯矩方向相同时取正号，相反时取负号。 为受拉区预应力钢筋合力点至净截面重心的距离。  （2）由作用（或荷载）短期效应产生的构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力 ，对于先张法和后张法构件，其计算式分别为     先张法构件                        （13-100） 后张法构件                          （13-101） 式中 ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的构件抗裂验算边缘混凝土法向拉应力； ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值； ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的可变荷载弯矩值。对于简支梁 （13-102） 、 ——分别为短期效应组合计算中的汽车荷载效应和人群荷载效应的频遇值系数； 、 ——分别为汽车荷载效应（不计冲击系数）和人群荷载效应产生的弯矩标准值； 、 ——分别为构件换算截面和净截面对抗裂验算边缘的弹性抵抗矩。 对于预应力混凝土连续梁和连续刚构，除了考虑直接施加于梁上的荷载如恒载、汽车外，还应考虑间接作用如日照温差、混凝土收缩和徐变的影响。 2）作用（或荷载）长期效应组合下边缘混凝土的正应力计算 作用长期效应考虑的可变作用仅为直接施加于桥上的活荷载产生的效应组合，不考虑间接施加于桥上的其他作用效应。作用长期效应组合是永久作用标准值和可变作用准永久值效应相组合。长期效应组合下预应力混凝土构件边缘混凝土的正应力 计算与短期效应组合下的计算基本一致。 （1）预加力作用下受弯构件抗裂验算边缘混凝土的预压应力 ，对于先张法和后张法构件分别按式（13-98）和（13-99）计算 （2）由作用（或荷载）长期效应产生的构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力 ，对于先张法和后张法构件，其计算式分别为 先张法构件                        （13-103） 后张法构件                        （13-104） 式中 ——按作用（或荷载）长期效应组合计算构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力； ——按作用（或荷载）长期效应组合计算的弯矩值； ——按作用（或荷载）长期效应组合计算的可变作用弯矩值，仅考虑汽车、人群等直接作用于构件的荷载产生的弯矩值；可按下式计算：  （13-105）  、 ——分别为汽车荷载效应（不计冲击系数）和人群荷载效应产生的弯矩标准值； 、 ——分别为作用长期效应组合中的汽车荷载效应和人群荷载效应的准永久值系数； 其余符号意义同前。 3）混凝土正应力的限值 正截面抗裂应对构件正截面混凝土的拉应力进行验算，并应符合下列要求： （1）全预应力混凝土构件，在作用（或荷载）短期效应组合下 （13-106） （2）A类部分预应力混凝土构件，在作用（或荷载）短期效应组合下 （13-107） 但在荷载长期效应组合下 （13-108） 式中的 为混凝土轴心抗拉强度标准值。 13.5.2 斜截面抗裂性验算 预应力混凝土梁的腹部出现斜裂缝是不能自动闭合的，它不像梁的弯曲裂缝在使用阶段的大多数情况下可能是闭合的。因此，对梁的斜裂缝控制应更严格些，无论是全预应力混凝土还是部分预应力混凝土受弯构件都要进行斜截面抗裂验算。 预应力混凝土梁斜截面的抗裂性验算是通过梁体混凝土主拉应力验算来控制的。主应力验算在跨径方向应选择剪力与弯矩均较大的最不利区段截面进行，且应选择计算截面重心处和宽度剧烈变化处作为计算点进行验算。斜截面抗裂性验算只需验算在作用（或荷载）短期效应组合下的混凝土主拉应力。 1）作用（或荷载）短期效应组合下的混凝土主拉应力的计算 预应力混凝土受弯构件由作用（或荷载）短期效应组合和预加力产生的混凝土主拉应力 计算式为 （13-109） 式中的正应力 、 和剪应力 的计算方法见式（13-86）。在计算剪应力 时，式（13-90）或式（13-91）中剪力 取按作用（或荷载）短期效应组合计算的可变作用引起的剪力值 ；对于简支梁， ，其中 和 分别为汽车荷载效应（不计冲击系数）和人群荷载效应产生的剪力标准值， 和 分别为作用短期效应组合中的汽车荷载效应和人群荷载效应的频遇值系数 2）混凝土主拉应力限值 验算混凝土主拉应力的目的是防止产生自受弯构件腹部中间开始的斜裂缝并要求至少应具有与正截面同样的抗裂安全度。当算出的混凝土主拉应力不符合下列规定时，则应修改构件截面尺寸。 （1）全预应力混凝土构件，在作用（或荷载）短期效应组合下 预制构件                                              （13-110） 现场现浇（包括预制拼装）构件                          （13-111） （2）A类和B类预应力混凝土构件，在作用（或荷载）短期预应力组合下 预制构件                                            （13-112） 现场现浇（包括预制拼装）构件                        （13-113） 式中的 为混凝土轴心抗拉强度标准值。 对比应力验算和抗裂验算可以发现，全预应力混凝土及A类部分预应力混凝土构件的抗裂验算与持久状况应力验算的计算方法相同，只是所用的荷载效应组合系数不同，截面应力限值不同。应力验算是计算荷载效应标准值（汽车荷载考虑冲击系数）作用下的截面应力，对混凝土法向压应力、受拉区钢筋拉应力及混凝土主压应力规定限值；抗裂验算是计算荷载短期效应组合（汽车荷载不计冲击系数）作用下的截面应力，对混凝土法向拉应力、主拉应力规定限值。 13.6  变形计算 预应力混凝土构件采用高强度材料；与跨长比较，其截面尺寸较普通钢筋混凝土构件小，而且预应力混凝土结构所使用的跨径范围一般也较大。因此，设计中应注意预应力混凝土梁的变形验算，以避免因变形过大而影响使用功能。 预应力混凝土受弯构件的挠度是由偏心预加力 引起的上挠度（又称上拱度）和外荷载（恒载与活载）所产生的下挠度两部分所组成。对于跨径不大的预应力混凝土简支梁，其总挠度一般是比较小的。预应力混凝土梁变形的精确计算，应同时考虑混凝土收缩、徐变、弹性模量等随时间而变化的影响因素，计算时常需借助于计算机。但对于简支梁等，采用以下实用计算方法所得到的变形计算结果已能满足要求。 13.6.1 预加力引起的上拱度 预应力混凝土受弯构件的上拱变形是由预加力 作用引起的，它与外荷载引起的挠度方向相反，又称上拱度。在预加力作用下，预应力混凝土受弯构件的上拱度可根据给定的构件刚度用结构力学的方法计算。例如后张法简支梁跨中的上拱度，其值为 （13-114） 式中 ——由永存预加力（永存预应力的合力）在任意截面x处所引起的弯矩值； ——跨中作用单位力时在任意截面x处所产生的弯矩值； ——构件抗弯刚度，计算时按实际受力阶段取值。 13.6.2 使用荷载作用下的挠度 在使用荷载作用下，预应力混凝土（包括全预应力混凝土与部分预应力混凝土）受弯构件的挠度，可近似地按结构力学的公式进行计算。主要在于如何合理地确定能够反映构件实际情况的抗弯刚度。 《公路桥规》规定，对于全预应力构件以及A类部分预应力混凝土构件取抗弯刚度为 。等高度简支梁、悬臂梁的挠度计算表达式为 （13-115） 式中 ——梁的计算跨径； ——挠度系数，与弯矩图形状和支承的约束条件有关（表13-3）；        ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩； ——构件全截面的换算截面惯性矩。 对于B类部分预应力混凝土构件，其挠度计算方法见第14章。 梁的最大弯矩 和跨中（或悬臂端）挠度系数 表达           表13-3 13.6.3 预应力混凝土受弯构件的总挠度 1）荷载短期效应组合下的总挠度 (13-116) 式中 ——永存预加力 所产生的上挠度，按式（13-114）计算； ——由作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值引起的挠度值；即                     （13-117） 、 ——分别为梁受一期恒载 和二期恒载 作用而产生的挠度值；计算时可不考虑后张法孔道削弱对 引起的挠度的影响，近似采用 ； ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的可变作用弯矩值所产生的挠度值；对简支梁，           （13-118） 、 ——分别为短期效应组合计算中的汽车荷载效应和人群荷载效应的频遇值系数； 、 ——分别为汽车荷载效应（不计冲击系数）和人群荷载效应的弯矩标准值作用所产生的挠度值。 2）荷载短期效应组合并考虑长期效应影响的挠度值 预应力混凝土受弯构件随时间的增长，由于受压区混凝土徐变、钢筋平均应变增大、受压区与受拉区混凝土收缩不一致导致构件曲率增大以及混凝土弹性模量降低等原因，使得构件挠度增加。因此，计算受弯构件挠度时必须考虑荷载长期作用的影响。《公路桥规》中通过挠度长期增长系数 来实现，即对荷载短期效应组合计算的挠度值乘以系数 得到考虑荷载长期效应的挠度值，同时对预加力引起的反拱值也乘以长期系数 得到考虑长期效应的反拱值。具体计算式为 （13-119） 式中 ——考虑长期荷载效应的挠度值； ——预加力反拱值考虑长期效应增长系数；计算使用阶段预加力反拱值时，预应力钢筋的预加力应扣除全部预应力损失，并取 ； ——短期荷载效应组合考虑长期效应的挠度增长系数，按表13-4取值。 短期荷载效应组合考虑长期效应的挠度增长系数值表                  表13-4 混凝土强度等级 C40以下 C40 C45 C50 C55 C60 C65 C70 C75 C80 1.60 1.45 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.36 1.35                       预应力混凝土受弯构件，在短期荷载组合考虑长期效应影响下最大竖向挠度的容许值，与钢筋混凝土梁相同。 13.6.4 预拱度的设置 由于存在上拱度 ，预应力混凝土简支梁一般可不设置预拱度。但当梁的跨径较大，或对于下缘混凝土预压应力不是很大的构件（例如部分预应力混凝土构件），有时会因恒载的长期作用产生过大挠度。故《公路桥规》规定预应力混凝土受弯构件由预加应力产生的长期反拱值大于按荷载短期效应组合计算的长期挠度时，可不设预拱度；当预加应力的长期反拱值小于按荷载短期组合计算的长期挠度时应设预拱度，预拱度值 按该项荷载的挠度值与预加应力长期反拱值之差采用，即 （13-120） 对自重相对于活载较小的预应力混凝土受弯构件，应考虑预加力作用使梁的上拱值过大可能造成的不利影响，必要时在施工中采取设置倒拱方法，或设计和施工上的措施，避免桥面隆起甚至开裂破坏。设置预拱度时，应按最大的预拱值沿顺桥向做成平顺的曲线。 13.7  端部锚固区计算 13.7.1 后张法构件锚下局部承压计算 在构件端部或其他布置锚具的地方，巨大的预加压力Np，将通过锚具及其下面不大的垫板面积传递给混凝土。要将这个集中预加力均匀地传递到梁体的整个截面，需要一个过渡区段才能完成。试验和理论研究表明，这个过渡区段长度约等于构件的高度H ,因此又常把等于构件高度H的这一过渡区段称为端块。端块的受力情况比较复杂，在靠近垫板处产生横向压应力，在其他部位则产生横向拉应力。当锚具的吨位很大时，这种拉应力可达到很可观的数值，有可能导致构件纵向开裂。此外，端块区域也是主拉应力的高发区，由于上述拉应力的存在，加大了主拉应力，也可能使构件出现斜裂缝。因此，对于后张法预应力混凝土构件，应进行锚下局部承压计算。 梁端锚固区的应力状态比较复杂，设计时应采取补强措施。锚具下应设置厚度不小于16mm的垫板或采用具有喇叭管的锚具垫板，板下螺旋筋圈数的长度不应小于喇叭管长度，锚垫板下的间接钢筋体积配筋率 不应小于0.5％。梁端平面尺寸由锚具尺寸、锚具间距以及张拉千斤顶的要求等布置而定。其他具体规定详见第10.2节 锚下局部承压验算的方法可参阅第10章进行。对于具有喇叭管并与垫板连成整体的锚具，式（10-5）及式（10-6）中的 可取垫板面积扣除喇叭管尾端内孔面积。 在后张法构件的锚头局部承压区，宜对其长度相当于一倍梁高的端块进行应力分析，垫板下除配置间接钢筋外，还应根据局部应力分析配置封闭式箍筋，以分布这个区域可能出现的裂缝，端部局部应力分析所配置的箍筋可将构造箍筋包括在内。 13.7.2 先张法构件预应力钢筋的传递长度与锚固长度 先张法构件预应力钢筋的两端，一般不设置永久性锚具，而是通过钢筋与混凝土之间的粘结力作用来达到锚固的要求。在预应力钢筋放张时，构件端部外露处的钢筋应力由原有的预拉应力变为零，钢筋在该处的拉应变也相应变为零，钢筋将向构件内部产生内缩、滑移，但钢筋与混凝土间的粘结力将阻止钢筋内缩。经过自端部起至某一截面的 长度后，钢筋内缩将被完全阻止，说明 长度范围内粘结力之和正好等于钢筋中的有效预拉力 ，且钢筋在 以后的各截面将保持有效预应力 。钢筋从应力为零的端面到应力为 的这一长度 ［图13-15b）］称为预应力钢筋的传递长度。同理，当构件达到承载能力极限状态时，预应力筋应力将达到其抗拉设计强度 ，可以想象，此时钢筋将继续内缩（因 ＞ ），直到内缩长度达到 时才会完全停止。于是把钢筋从应力为零的端面至钢筋应力为 的截面为止的这一长度 称之为锚固长度。这一长度可保证钢筋在应力达到 时不致被拔出。 图13-15  先张法预应力筋的锚固 a）端部预应力钢筋内缩示意图 b）预应力钢筋的传递长度和锚固长度 钢筋在内缩过程中，使传递长度范围内的胶结力一部分遭到破坏。但钢筋内缩也使其直径变粗，且愈近端部愈粗，形成锚楔作用。由于周围混凝土限制其直径变粗而引起较大的径向压力［图13-15a）］，由此所产生的相应摩擦力，要比普通钢筋混凝土中由于混凝土收缩所产生的摩擦力要大得多，这是预应力钢筋应力传递的有利因素。可以看出，先张法构件端部整个应力传递长度范围内受力情况比较复杂。为了设计计算的方便，《公路桥规》考虑以上各因素后对预应力钢筋的传递长度 和锚固长度 的规定取值见附表2-7。同时假定传递长度和锚固长度范围内的预应力钢筋的应力（从零至 或 ）按直线变化计算[图13-15b）]。因此，在端部锚固长度 范围内计算斜截面承载力时，预应力筋的应力 应根据斜截面所处位置按直线内插求得；在端部预应力传递长度 范围内进行抗裂性计算时，预应力钢筋的实际应力值也应根据验算截面所处位置按直线内插求得。 此外还应注意的是，传递长度或锚固长度的起点，与放张的方法有关。当采用骤然放张（例如剪断）时，由于钢筋回缩的冲击将使构件端部混凝土的粘结力破坏，故其起点应自离构件端面0.25 处开始计算。 先张法构件的端部锚固区也需采取局部加强措施。对预应力钢筋端部周围混凝土通常采取的加强措施是：单根钢筋时，其端部宜设置长度不小于150mm的螺旋筋；当为多根预应力钢筋时，其端部在10d（预应力筋直径）范围内，设置3~5片钢筋网。 13.8  预应力混凝土简支梁设计 前面已介绍了预应力混凝土受弯构件有关承载力、应力、抗裂性和变形等方面的计算方法。本节将以预应力混凝土简支梁为例，介绍整个预应力混凝土受弯构件的设计计算方法，其中包括设计计算步骤、截面设计、钢筋数量的估算与布置，以及构造要求等内容。 13.8.1 设计计算步骤 预应力混凝土梁的设计计算步骤和钢筋混凝土梁相类似。现以后张法简支梁为例，其设计计算步骤如下： （1）根据设计要求，参照已有设计的图纸与资料，选定构件的截面型式与相应尺寸；或者直接对弯矩最大截面，根据截面抗弯要求初步估算构件混凝土截面尺寸； （2）根据结构可能出现的荷载效应组合，计算控制截面最大的设计弯矩和剪力； （3）根据正截面抗弯要求和已初定的混凝土截面尺寸，估算预应力钢筋的数量，并进行合理地布置； （4）计算主梁截面几何特性； （5）进行正截面与斜截面承载力计算； （6）确定预应力钢筋的张拉控制应力，估算各项预应力损失并计算各阶段相应的有效预应力； （7）按短暂状况和持久状况进行构件的应力验算； （8）进行正截面与斜截面的抗裂验算； （9）主梁的变形计算； （10）锚固局部承压计算与锚固区设计。 13.8.2 预应力混凝土简支梁的截面设计 1）预应力混凝土梁抗弯效率指标 预应力混凝土梁抵抗外弯矩的机理与钢筋混凝土梁不同。钢筋混凝土梁的抵抗弯矩主要是由变化的钢筋应力的合力（或变化的混凝土压应力的合力）与固定的内力偶臂Z的乘积所形成；而预应力混凝土梁是由基本不变的预加力 （或混凝土预压应力的合力）与随外弯矩变化而变化的内力偶臂Z的乘积所组成。因此，对于预应力混凝土梁来说，其内力偶臂Z所能变化的范围越大，则在预加力 相同的条件下，其所能抵抗外弯矩的能力也就越大，也即抗弯效率越高。在保证上、下缘混凝土不产生拉应力的条件下，内力偶臂Z可能变化的最大范围只能是上核心距 和下核心距 之间。因此，截面抗弯效率可用参数 （ 为梁的全截面高度）来表示，并将 称为抗弯效率指标， 值越高，表示所设计的预应力混凝土梁截面经济效率越高， 值实际上也是反映截面混凝土材料沿梁高分布的合理性，它与截面型式有关，例如，矩形截面的 值为1/3，而空心板梁则随挖空率而变化，一般为0.4~0.55，T形截面梁亦可达到0.50左右。故在预应力混凝土梁截面设计时，应在设计与施工要求的前提下考虑选取合理的截面型式。 2）预应力混凝土梁的常用截面型式 现将工程实践中，预应力混凝土梁常用的一些截面型式（图13-16）的特点及其适用场合简述如下，以供设计时选择、参考。 图13-16  预应力混凝土梁的常用截面型式 a）预应力混凝土空心板 b）预应力混凝土T形梁 c）带现浇翼板的预制预应力混凝土T形梁 d）预应力混凝土组合箱形梁 e）预应力混凝土组合T形梁 f）预应力混凝土箱形梁 （1）预应力混凝土空心板[图13-16a）]。其芯模可采用圆形、圆端形等形式，跨径较大的后张法空心板则向薄壁箱形截面靠拢，仅顶板做成拱形。施工方法一般采用场制直线配筋的先张法（多用长线法生产）。通常用于跨径8~20m的桥梁。近年，空心板跨径有加大的趋势，方法也由先张法扩展至后张法；预应力钢筋的使用从有粘结扩展到无粘结；板宽由过去的1m扩展到1.4m等。 （2）预应力混凝土T形梁[图13-16b）]。这是我国最常用的预应力混凝土简支梁截面型式。标准设计跨径为（25~50）m，一般采用后张法施工。过去常用高强钢丝 或 与弗氏锚具配套使用；现在多用 或 钢铰线束并与夹片锚具配套使用。在梁肋下部，为了布置筋束和承受强大预压力的需要，常加厚成“马蹄”形。T梁的肋板主要是承受剪应力和主应力，一般做得较薄；但构造上要求应能满足布置预留孔道的需要，一般最小为（140~160）mm，而梁端锚固区段（即约等于梁高的范围）内，应满足布置锚具和局部承压的需要，故常将其做成与“马蹄”同宽。其上翼缘宽度，一般为(1.6~2.5)m，随跨径增大而增加。预应力混凝土简支T形梁的高跨比一般为1/15~1/25。预应力混凝土预制T形梁的吊装重量较大，如50m跨径的T形梁重量每片达到1400kN，其跨径及重量往往受起吊设备的限制。 （3）带现浇翼板的预制预应力混凝土T形梁［图13-16c）］。它是在预制短翼T形梁安装定位后，再现浇部分翼板、横梁和桥面混凝土使截面整体化的。其受力性能如同T形截面梁，但横向联系较T形梁好。其部分翼缘为现浇，故其起吊重量相对较轻。特别是它能较好地适用于各种斜度的斜梁桥或曲率半径较大的弯梁桥，在平面布置时较易处理。 （4）预应力混凝土组合箱形梁［图13-16d）］一般采用标准设计，工厂预制，用先张法施工。适用于跨径为（16~25）m的中小跨径桥梁。高跨比 约为1/16~1/20。 （5）预应力混凝土组合T形梁［图13-16e）］。为了减轻吊装重量，而采用预应力混凝土I形梁加预制微弯板（或钢筋混凝土板）形成的组合式梁。现有标准设计图纸的跨径为（16~20）m，高跨比 为1/16~1/18。此种截面型式因梁肋受力条件不利，故不如整体式T形梁用料经济。施工中应注意加强结合面处的连接，以保证肋与板能共同工作。 （6）预应力混凝土箱形梁［图13-16f）］。箱形梁的截面为闭口截面，其抗扭刚度和横向刚度比一般开口截面（如T形截面梁）大得多，可使梁的荷载分布比较均匀，箱壁一般做得较薄，材料利用合理，自重较轻，跨越能力大。箱形截面梁更多的是用于连续梁，T型刚构等大跨度桥梁中。 13.8.3 截面尺寸和预应力钢筋数量的选定 1）截面尺寸 截面尺寸的选择，一般是参考已有设计资料、方法及桥梁设计中的具体要求事先拟定的，然后根据有关的要求进行配筋验算，如计算结果表明预估的截面尺寸不符合要求时，则须再作必要的修改。 2）预应力钢筋截面积的估算 预应力混凝土梁应进行承载能力极限状态计算和正常使用极限状态计算，并满足《公路桥规》中对不同受力状态下规定的设计要求（如承载力、应力、抗裂性和变形等），预应力钢筋截面积估计就是根据这些限值条件进行的。预应力混凝土梁一般以抗裂性(全预应力混凝土或A类部分预应力混凝土)控制设计。在截面尺寸确定以后，结构的抗裂性主要与预加力的大小有关。因此，预应力混凝土梁钢筋数量估算的一般方法是，首先根据结构正截面抗裂性确定预应力钢筋的数量（A类部分预应力混凝土），然后再由构件承载能力极限状态要求确定非预应力钢筋数量。预应力钢筋数量估算时截面特性可取全截面特性。 （1）按构件正截面抗裂性要求估算预应力钢筋数量 全预应力混凝土梁按作用（或荷载）短期效应组合进行正截面抗裂性验算，计算所得的正截面混凝土法向拉应力应满足式（13-106）的要求，由式（13-106）可得到 ≤0                （13-121） 上式稍作变化，即可得全预应力混凝土梁满足作用（或荷载）短期效应组合抗裂验算所需的有效预加力为 （13-122） 式中 ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值； ——使用阶段预应力钢筋永存应力的合力； ——构件混凝土全截面面积； ——构件全截面对抗裂验算边缘弹性抵抗矩； ——预应力钢筋的合力作用点至截面重心轴的距离； 对于A类部分预应力混凝土构件，根据式（13-107）可以得到类似的计算式，即 （13-123） 求得的 的值后，再确定适当的张拉控制应力 并扣除相应的应力损失 （对于配高强钢丝或钢铰线的后张法构件 约为0.2 ），就可以估算出所需要的预应力钢筋的总面积 。 确定之后，则可按一束预应力钢筋的面积 算出所需的预应力钢筋束数 为 （13-124） 式中的 为一束预应力钢筋的截面面积。 （2）按构件承载能力极限状态要求估算非预应力钢筋数量 在确定预应力钢筋的数量后，非预应力钢筋根据正截面承载能力极限状态的要求来确定。对仅在受拉区配置预应力钢筋和非预应力钢筋的预应力混凝土梁（以T形截面梁为例），由第13.2.1节可知对两类T形截面，其正截面承载能力极限状态计算式分别为 第一类T形截面 （13-125） （13-126） 第二类T形截面 （13-127） （13-128） 估算时，先假定为第一类T形截面按式（13-126）计算受压区高度x，若计算所得x满足 ，则由式（13-125）可得受拉区非预应力钢筋截面积为 （13-129） 若按式（13-126）计算所得的受压区高度为 ，则为第二类T形截面，须按式（13-128）重新计算受压区高度x，若所得 且满足 的限值条件，则由式（13-127）可得受拉区非预应力钢筋截面积为 （13-130） 若按式（13-128）计算所得的受压区高度为 且满足 ，则须修改截面尺寸，增大梁高。 矩形截面梁按正截面承载能力极限状态估算非预应力钢筋的方法与第一类T形截面梁方法相同，只需将式（13-125）和式（13-126）中的 改为 。 以上式中符号意义详见第13.2.1节。 （3）最小配筋率的要求 按上述方法估算所得的钢筋数量，还必须满足最小配筋率的要求。《公路桥规》规定，预应力混凝土受弯构件的最小配筋率应满足条件： （13-131） 式中 ——受弯构件正截面抗弯承载力设计值；按式（13-126）或式（13-128）中不等号右边的式子计算； ——受弯构件正截面开裂弯矩值； 的计算式为 式中的 为扣除全部预应力损失预应力钢筋和普通钢筋合力 在构件抗裂边缘产生的混凝土预压应力； 为换算截面抗裂边缘的弹性抵抗矩； 为计算参数，按式 计算，其中 为全截面换算截面重心轴以上（或以下）部分面积对重心轴的面积矩。 13.8.4 预应力钢筋的布置 1）束界 合理确定预加力作用点（一般近似地取为预应力钢筋截面重心）的位置对预应力混凝土梁是很重要的。以全预应力混凝土简支梁为例，在弯矩最大的跨中截面处，应尽可能使预应力钢筋的重心降低（即尽量增大偏心距 值），使其产生较大的预应力负弯矩 来平衡外荷载引起的正弯矩。如令 沿梁近似不变，则对于弯矩较小的其他截面，应相应地减小偏心距 值，以免由于过大的预应力负弯矩 而引起构件上缘的混凝土出现拉应力。 根据全预应力混凝土构件截面上、下缘混凝土不出现拉应力的原则，可以按照在最小外荷载（即构件一期恒载G1）作用下和最不利荷载（即一期恒载G1、二期恒载G2和可变荷载）作用下的两种情况，分别确定 在各个截面上偏心距的极限。由此可以绘出如图13-17所示的两条 的限值线 和 。只要 作用点（也即近似为预应力钢筋的截面重心）的位置，落在由 及 所围成的区域内，就能保证构件在最小外荷载和最不利荷载作用下，其上、下缘混凝土均不会出现拉应力。因此，把由 和 两条曲线所围成的布置预应力钢筋时的钢筋重心界限，称为束界（或索界）。 根据上述原则，可以容易地按下列方法绘制全预应力混凝土等截面简支梁的束界。为使计算方便，近似地略去孔道削弱和灌浆后粘结力的影响，一律按混凝土全截面特性计算，并设压应力为正，拉应力为负。 在预加应力阶段，保证梁的上缘混凝土不出现拉应力的条件为 ≥0                （13-132） 由此求得到 ≤                 （13-133） 式中 ——预加力合力的偏心距；合力点位于截面重心轴以下时 取正值，反之取负值； ——混凝土截面下核心距： ； ——构件全截面对截面上缘的弹性抵抗矩； ——传力锚固时预加力的合力。 同理，在作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值作用下，根据构件下缘不出现拉应力的条件，同样可以求得预加力合力偏心距 为 ≥                       （13-134） 式中 ——按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值； ——使用阶段的永存预加力 与传力锚固时的有效预加力 之比值，可近似地取 =0.8； ——混凝土截面上核心距： ； ——构件全截面对截面下缘的弹性抵抗矩。    由式（13-133）、（13-134）可以看出： 、 分别具有与弯矩 和弯矩 相似的变化规律，都可视为沿跨径而变化的抛物线，其上下限值 、 之间的区域就是束筋配置范围。由此可知，预应力钢筋重心位置（即 ）所应遵循的条件为 ≤ ≤               （13-135） 图13-17  全预应力混凝土简支梁的束界图 只要预应力钢筋重心线的偏心距 ，满足式（13-135）的要求，就可以保证构件在预加力阶段和使用荷载阶段，其上、下缘混凝土都不会出现拉应力。这对于检验预应力钢筋配置是否得当，无疑是一个简便而直观的方法。 显然，对于允许出现拉应力或允许出现裂缝的部分预应力混凝土构件，只要根据构件上、下缘混凝土拉应力（包括名义拉应力）的不同限制值作相应的演算，则其束界也同样不难确定。 2）预应力钢筋的布置原则 （1）预应力钢筋的布置，应使其重心线不超出束界范围。因此，大部分预应力钢筋在靠近支点时，均须逐步弯起。只有这样，才能保证构件无论是在施工阶段，还是在使用阶段，其任意截面上、下缘混凝土的法向应力都不致超过规定的限制值。同时，构件端部逐步弯起的预应力钢筋将产生预剪力，这对抵消支点附近较大的外荷载剪力也是非常有利的；而且从构造上来说，预应力钢筋的弯起，可使锚固点分散，有利于锚具的布置。锚具的分散，使梁端部承受的集中力也相应地分散，这对改善锚固区的局部承压也是在利的。 （2）预应力钢筋弯起的角度，应与所承受的剪力变化规律相配合。根据受力要求，预应力钢筋弯起后所产生的预剪力 应能抵消作用（或荷载）产生的剪力组合设计值 的一部分。抵消后所剩余的外剪力，通常称为减余剪力，将其绘制成图，则称为减余剪力图，它是配置抗剪钢筋的依据。 （3）预应力钢筋的布置应符合构造要求。许多构造规定，一般虽未经详细计算，但却是根据长期设计、施工和使用的实践经验而确定的。这对保证构件的耐久性和满足设计、施工的具体要求，都是必不可少的。 3）预应力钢筋弯起点的确定 预应力钢筋的弯起点，应从兼顾剪力与弯矩两方面的受力要求来考虑。 （1）从受剪考虑，理论上应从 ≥ 的截面开始起弯，以提供一部分预剪力 来抵抗作用产生的剪力。但实际上，受弯构件跨中部分的梁腹混凝土已足够承受荷载作用的剪力，因此一般是根据经验，在跨径的三分点到四分点之间开始弯起。 （2）从受弯考虑，由于预应力钢筋弯起后，其重心线将往上移，使偏心距 变小，即预加力弯矩 将变小。因此，应注意预应力钢筋弯起后的正截面抗弯承载力的要求。 （3）预应力钢筋的起弯点尚应考虑满足斜截面抗弯承载力的要求，即保证预应力钢筋弯起后斜截面上的抗弯承载力不低于斜截面顶端所在的正截面的抗弯承载力。 4）预应力钢筋弯起角度 从减小曲线预应力钢筋预拉时摩阻应力损失出发，弯起角度 不宜大于20°，一般在梁端锚固时都不会达到此值，而对于弯出梁顶锚固的钢筋，则往往超过20°， 常在25°～30°之间。 角较大的预应力钢筋，应注意采取减小摩擦系数值的措施，以减小由此而引起的摩擦应力损失。 从理论上讲，预应力钢筋弯起的最佳设计是考虑预剪力作用后，只有恒载作用和恒活载共同作用的合成剪力绝对值相等，即 。也即通过 的条件来控制预应力钢筋的弯起角度 ，但对于恒载较大（跨径较大）的梁，按此确定的 值显然过大。为此，只能在条件允许的情况下选择较大的 值，对于邻近支点的梁段，则可在满足抗弯承载力要求的条件下，预应力钢筋弯起的数量应尽可能多些。 5）预应力钢筋弯起的曲线形状 预应力钢筋弯起的曲线可采用圆弧线、抛物线或悬链线三种形式。公路桥梁中多采用圆弧线。《公路桥规》规定，后张法构件预应力构件的曲线形预应力钢筋，其曲率半径应符合下列规定： （1）钢丝束、钢绞线束的钢丝直径 ≤5mm时，不宜小于4m；钢丝直径 >5mm时，不宜小于6m； （2）精轧螺纹钢筋直径 ≤25mm时，不宜小于12m；直径 >25mm时，不宜小于15m； 对于具有特殊用途的预应力钢筋（如斜拉桥桥塔中围箍用的半圆形预应力钢筋，其半接在1.5m左右），因采取特殊的措施，可以不受此限。 6）预应力钢筋布置的具体要求 （1）后张法构件 对于后张法构件，预应力钢筋预留孔道之间的水平净距，应保证混凝土中最大骨料在浇筑混凝土时能顺利通过，同时也要保证预留孔道间不致串孔（金属预埋波纹管除外）和锚具布置的要求等。后张法构件预应力钢筋管道的设置应符合下列规定： ①直线管道之间的水平净距不应小于40mm，且不宜小于管道直径的0.6倍；对于预埋的金属或塑料波纹管和铁皮管，在竖直方向可将两管道叠置； ②曲线形预应力钢筋管道在曲线平面内相邻管道间的最小距离（图13-18）计算式为                     （13-136） 式中 ——相邻两曲线管道外缘在曲线平面内净距(mm)； ——管道外缘直径（mm）； ——相邻两管道曲线半径较大的一根预应力钢筋的张拉力设计值（N）；张拉力可取扣除锚圈口摩擦、钢筋回缩及计算截面处管道摩擦损失后的张拉力乘以1.2； ——相邻两管道曲线半径较大的一根预应力钢筋的曲线半径(mm)； 的计算式为                     （13-137） l ——曲线弦长（mm）； ——曲线矢高f与弦长l之比； ——预应力钢筋张拉时，边长为150mm立方体混凝土抗压强度（MPa）； 图13-18  曲线形预应力钢筋弯曲平面内净距 当按上述计算的净距小于相应直线管道净距时，应取用直线管道最小净距。 ③曲线形预应力钢筋管道在曲线平面外相邻管道间的最小距离 计算式为 （13-138） 式中的 为相邻两曲线管道外缘在曲线平面外净距（mm）； 、 、 意义同上。 ④管道内径的截面面积不应小于预应力钢筋截面面积的两倍； ⑤按计算需要设置预拱度时，预留管道也应同时起拱； ⑥后张法预应力混凝土构件，其预应力管道的混凝土保护层厚度，应符合《公路桥规》的下列要求： 普通钢筋和预应力直线形钢筋的最小混凝土保护层厚度（钢筋外缘或管道外缘至混凝土表面的距离）不应小于钢筋公称直径，后张法构件预应力直线形钢筋不应小于管道直径的1/2且应符合附表1-8的规定。 对外形呈曲线形且布置有曲线预应力钢筋的构件（图13-19），其曲线平面内的管道的最小混凝土保护层厚度，应根据施加预应力时曲线预应力钢筋的张拉力，按式（13-136）计算，其中 为管道外边缘至曲线平面内混凝土表层的距离（mm）；当按式（13-136）计算的保护层厚度过多的超过上述规定的直线管道保护层厚度时，也可按直线管道设置最小保护层厚度，但应在管道曲线段弯曲平面内设置箍筋（图13-19），箍筋单肢的截面面积计算式为 （13-139） 式中 ——箍筋单肢截面面积（mm2）； ——箍筋间距（mm）； ——箍筋抗拉强度设计值（MPa）。 曲线平面外的管道最小混凝土保护层厚度按式（13-138）计算，其中 为管道外边缘至曲线平面外混凝土表面的距离（mm）。 按上述公式计算的保护层厚度，如小于各类环境的直线管道的保护层厚度，应取相应环境条件的直线管道的保护层厚度。 图13-19  预应力钢筋曲线管道保护层示意图    （2）先张法构件 先张法预应力混凝土构件宜采用钢绞线、螺旋肋钢丝或刻痕钢丝用作预应力钢筋，当采用光面钢丝作预应力筋时，应采取适当措施（如钢丝刻痕、提高混凝土标号及施工中采用缓慢放张的工艺等），保证钢丝在混凝土中可靠地锚固，防止因钢丝与混凝土间粘结力不足而使钢丝滑动，丧失预应力。 在先张法预应力混凝土构件中，预应力钢绞线之间的净距不应小于其直径的1.5倍，且对二股、三股钢绞线不应小于20mm，对七股钢绞线不应小于25mm。预应力钢丝间净距不应小于15mm。 在先张法预应力混凝土构件中，对于单根预应力钢筋，其端部应设置长度不小于150mm的螺旋筋；对于多根预应力钢筋，在构件端部10倍预应力钢筋直径范围内，应设置3～5片钢筋网。 普通钢筋和预应力直线形钢筋的最小混凝土保护层厚度（钢筋外缘至混凝土表面的距离）不应小于钢筋公称直径，且应符合附表1-8的规定。 13.8.5 非预应力钢筋的布置 在预应力混凝土受弯构件中，除了预应力钢筋外，还需要配置各种型式的非预应力钢筋。 1）箍筋 箍筋与弯起预应力钢筋同为预应力混凝土梁的腹筋，与混凝土一起共同承担着荷载剪力，故应按抗剪要求来确定箍筋数量（包括直径和间距的大小）。在剪力较小的梁段，按计算要求的箍筋数量很少，但为了防止混凝土受剪时的意外脆性破坏，《公路桥规》仍要求按下列规定配置构造箍筋： （1）预应力混凝土T形、I形截面梁和箱形截面梁腹板内应分别设置直径不小于10mm和12mm的箍筋，且应采用带肋钢筋，间距不应大于250mm；自支座中心起长度不小于一倍梁高范围内，应采用闭合式箍筋，间距不应大于100mm。 （2）在T形、I形截面梁下部的“马蹄”内，应另设直径不小于8mm的闭合式箍筋，间距不应大于200mm。另外，“马蹄”内还应设直径不小于12mm的定位钢筋。这是因为“马蹄”在预加应力阶段承受着很大的预压应力，为防止混凝土横向变形过大和沿梁轴方向发生纵向水平裂缝，而予以局部加强。 2）水平纵向辅助钢筋 T形截面预应力混凝土梁，截面上边缘有翼缘、下边缘有“马蹄”，它们在梁横向的尺寸，都比腹板厚度大，在混凝土硬化或温度骤降时，腹板将受到翼缘与“马蹄”的钳制作用（因翼缘和“马蹄”部分尺寸较大，温度下降引起的混凝土收缩较慢），而不能自由地收缩变形，因而有可能产生裂缝。经验指出，对于未设水平纵向辅助钢筋的薄腹板梁，其下缘因有密布的纵向钢筋，出现的裂缝细而密，而过下缘（即“马蹄”）与腹板的交界处进入腹板后，其裂缝就常显得粗而稀。梁的截面越高，这种现象越明显。例如采用蒸汽养护的预应力混凝土T形梁，由于施工未注意到梁体温度较高、大气温度较低的情况，结束蒸汽养护就使梁体暴露在空气中而导致在梁体的三分点处出现这种裂缝，且裂缝宽度较大。为了缩小裂缝间距，防止腹板裂缝较宽，一般需要在腹板两侧设置水平纵向辅助钢筋，通常称为防裂钢筋。对于预应力混凝土梁，这种钢筋宜采用小直径的钢筋网，紧贴箍筋布置于腹板两侧，以增加与混凝土的粘结力，使裂缝的间距和宽度均减小。从这个意义上讲，将这种构造钢筋称为裂缝分散钢筋似更为合适。 3）局部加强钢筋 对于局部受力较大的部位，应设置加强钢筋，如“马蹄”中的闭合式箍筋，和梁端锚固区的加强钢筋等，除此之外，梁底支座处亦设置钢筋网加强。 4）架立钢筋与定位钢筋 架立钢筋是用于支撑箍筋的，一般采用直径为（12~20）mm的圆钢筋；定位钢筋系指用于固定预留孔道制孔器位置的钢筋，常做成网。 13.8.6 锚具的防护 对于埋入梁体的锚具，在预加应力完成后，其周围应设置构造钢筋与梁体连接，然后浇筑封锚混凝土。封锚混凝土强度等级不应低于构件本身混凝土强度等级的80%，且不低于C30。 13.9  预应力混凝土简支梁计算示例 13.9.1 设计资料 （1）简支梁跨径：跨径30m；计算跨径L=28.66m ； （2）设计荷载：汽车荷载按公路—I级；人群荷载为3.0kN/m2；结构重要性系数取 ； （3）环境：桥址位于野外一般地区，I类环境条件，年平均相对湿度为75％； （4）材料：预应力钢筋采用ASTM A416－97a标准的低松弛钢绞线(1×7标准型)，抗拉强度标准值 ，抗拉强度设计值 ，公称直径15.24mm，公称面积140mm2，弹性模量 ；锚具采用夹片式群锚。 非预应力钢筋：HRB400级钢筋，抗拉强度标准值 ，抗拉强度设计值 。直径 ＜12mm者，一律采用HRB335级钢筋，抗拉强度标准值 ，抗拉强度设计值 。钢筋弹性模量均为 =2.0×105MPa。 混凝土：主梁采用C50， =3.45×104MPa，抗压强度标准值 ＝32.4MPa，抗压强度设计值 ＝22.4MPa；抗拉强度标准值 ＝2.65MPa，抗拉强度设计值 ＝1.83MPa。 （5）设计要求：根据《公路钢筋混凝土及预应混凝土桥涵设计规范（JTG D62—2004）》要求，按A类预应力混凝土构件设计此梁。 （6）施工方法：采用后张法施工，预制主梁时，预留孔道采用预埋金属波纹管成型，钢绞线采用TD双作用千斤顶两端同时张拉；主梁安装就位后现浇40mm宽的湿接缝。最后施工80mm厚的沥青桥面铺装层。 13.9.2 主梁尺寸 主梁各部分尺寸如图13-20所示。 图13-20  主梁各部分尺寸图 （尺寸单位：mm） 13.9.3 主梁全截面几何特性 1）受压翼缘有效宽度 的计算 按《公路桥规》规定，T形截面梁受压翼缘有效宽度 ，取下列三者中的最小值： （1）简支梁计算跨径的1/3，即 mm； （2）相邻两梁的平均间距，对于中梁为2200mm； （3） ，式中b为梁腹板宽度， 为承托长度，这里 ＝0， 为受压区翼缘悬出板的厚度，这里 可取跨中截面翼板厚度的平均值，为 （1000×180＋800×120/2）/1000＝228mm。所以有 ＝200＋6×0＋12×228＝2936mm； 所以，受压翼缘的有效宽度为 ＝2200mm。 2）全截面几何特性的计算 在工程设计中，主梁几何特性多采用分块数值求和法进行，其计算式为 全截面面积： 全截面重心至梁顶的距离： 式中 ——分块面积； ——分块面积的重心至梁顶边的距离。 主梁跨中（I—I）截面的全截面几何特性如表13-5所示。根据图13-20可知变化点处的截面几何尺寸与跨中截面相同，故几何特性也相同，为 式中 ——分块面积 对其自身重心轴的惯性矩； —— 对x-x（重心）轴的惯性矩。 13.9.4 主梁内力计算 公路简支梁桥主梁的内力，由永久作用（如结构重力、结构附加重力等）与可变作用（包括汽车荷载、人群荷载等）所产生。主梁各截面的最大内力，是考虑了车道荷载对计算主梁的最不利荷载位置，并通过各主梁间的内力横向分配而求得。具体计算方法，将在《桥梁工程》课程中介绍，这里仅列出中梁的计算结果，如表13-6所示。 I—I截面（跨中与L/4截面）全截面几何特性                                                 表13-5 分块号 分块面积 截面分块示意图 ① 2×1000×180＝360000 90 32400×103 454 尺寸单位：mm ② 800×120＝96000 220 21120×103 324 ③ 1600×200＝320000 800 256000×103 －256 ④ 100×200＝20000 1533 30660×103 －989 ⑤ 200×400＝80000 1700 136000×103 －1156 合计                   主梁作用效应组合值                                                                  表13-6   跨中截面（I—I） L/4截面 变化点截面（II—II） 支点截面（III—III） 相应 相应 相应 相应 一期恒载标准值 ① 2261.3 0 0 2261.3 1695.9 150.8 150.8 1695.9 1119.2 214.3 301.5 二期恒载标准值 现浇湿接缝 ② 209.3 0.0 0.0 209.3 156.9 14.0 14.0 156.9 103.6 19.8 27.9 桥面及栏杆 ③ 488.2 0.0 0.0 488.2 366.2 32.5 32.5 366.2 241.6 46.3 65.1 人群荷载标准值 ④ 65.8 0 2.2 32.9 45.2 4.6 4.9 37.0 26.0 6.4 8.2 公路—I级汽车荷载标准值 （不计冲击系数） ⑤ 1523.7 64.4 101.6 1143.1 1175.1 287.3 287.3 1175.1 874.0 220.3 326.3 公路—I级汽车荷载标准值 （计冲击系数、冲击系数μ＝0.083） ⑥ 1650.2 69.7 110.0 1238.0 1272.6 311.1 311.1 1272.6 946.5 238.6 353.4 持久状态的应力计算的可变作用标准值组合（汽＋人） ⑦ 1716.0 69.7 112.2 1270.9 1317.8 315.7 316.0 1309.6 972.5 245.0 361.6 承载能力极限状态计算的基本组合 1.0×（1.2恒＋1.4汽＋0.80×1.4×人） ⑧ 5934.5 97.6 156.5 5320.6 4495.1 677.5 677.8 4485.9 3111.5 677.7 977.3 正常使用极限状态按作用短期效应组合计算的可变荷载设计值（0.7×汽＋1.0人） ⑨ 1132.4 45.1 73.3 833.1 867.8 205.7 206.0 859.6 637.8 160.6 236.6 正常使用极限状态按作用长期效应组合计算的可变荷载设计值（0.4×汽＋0.4人） ⑩ 635.8 25.8 41.5 470.4 488.1 116.8 116.9 484.8 360.0 90.7 133.8                             注：（1）表中单位：M(kN·m)；V(kN)； （2）表内数值：⑦⑧栏中汽车荷载考虑冲击系数；⑨⑩栏中汽车荷载不计冲击系数。 13.9.5 钢筋面积的估算及钢束布置 1）预应力钢筋截面积估算 （1）按构件正截面抗裂性要求估算预应力钢筋数量 对于A类部分预应力混凝土构件，根据跨中截面抗裂要求，由式（13-123）可得跨中截面所需的有效预加力为 式中的 为正常使用极限状态按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值；由表13-6有： kN·m 设预应力钢筋截面重心距截面下缘为 ＝100mm，则预应力钢筋的合力作用点至截面重心轴的距离为 ＝ － ＝1156mm；钢筋估算时，截面性质近似取用全截面的性质来计算，由表13-5可得跨中截面全截面面积A＝876000mm2，全截面对抗裂验算边缘的弹性抵抗矩为 mm3；所以有效预加力合力为 预应力钢筋的张拉控制应力为 ＝0.75 ＝0.75×1860＝1395MPa，预应力损失按张拉控制应力的20％估算，则可得需要预应力钢筋的面积为 mm2 采用3束6 15.24钢绞线，预应力钢筋的截面积为 mm2。采用夹片式群锚， 70金属波纹管成孔。 2）预应力钢筋布置 （1）跨中截面预应力钢筋的布置 后张法预应力混凝土受弯构件的预应力管道布置应符合《公路桥规》中的有关构造要求（详见13.8.4节）。参考已有的设计图纸并按《公路桥规》中的构造要求，对跨中截面的预应力钢筋进行初步布置（图13-21）。 （2）锚固面钢束布置 为使施工方便，全部3束预应力钢筋均锚于梁端[图13-21a）、b）]。这样布置符合均匀分散的原则，不仅能满足张拉的要求，而且N1、N2在梁端均弯起较高，可以提供较大的预剪力。 图13-21  端部及跨中预应力钢筋布置图（尺寸单位：mm） a)预制梁端部 b)钢束在端部的锚固位置 c)跨中截面钢束位置 （3）其它截面钢束位置及倾角计算 ①钢束弯起形状、弯起角 及其弯曲半径 采用直线段中接圆弧曲线段的方式弯曲；为使预应力钢筋的预加力垂直作用于锚垫板，N1、N2和N3弯起角 均取 ＝8°；各钢束的弯曲半径为： =45000mm； =30000mm； =15000mm。 ②钢束各控制点位置的确定 以N3号束为例，其弯起布置如图13-22所示。 图13-22  曲线预应力钢筋计算图（尺寸单位：mm） 由 确定导线点距锚固点的水平距离 mm 由 确定弯起点至导线点的水平距离 mm 所以弯起点至锚固点的水平距离为 mm 则弯起点至跨中截面的水平距离为 mm 根据圆弧切线的性质，图中弯止点沿切线方向至导线点的距离与弯起点至导线点的水平距离相等，所以弯止点至导线点的水平距离为 mm 故弯止点至跨中截面的水平距离为 mm 同理可以计算N1、N2的控制点位置，将各钢束的控制参数汇总于表13-7中 各钢束弯曲控制要素表                            表13-7 钢束号 升高值c （mm） 弯起角 （o） 弯起半径R （mm） 支点至锚固点的水平距离d（mm） 弯起点距跨中截面水平距离 （mm） 弯止点距跨中截面水平距离（mm） N1 1610 8 45000 156 595 6858 N2 900 8 30000 256 6796 10972 N3 500 8 15000 312 10747 12835               ③各截面钢束位置及其倾角计算 仍以N3号束为例（图13-22），计算钢束上任一点 离梁底距离 及该点处钢束的倾角 ，式中 为钢束弯起前其重心至梁底的距离， =100mm； 为 点所在计算截面处钢束位置的升高值。 计算时，首先应判断出 点所在处的区段，然后计算 及 当 ≤0时， 点位于直线段还未弯起， ＝0，故 ＝100mm； ＝0 当0< ≤ 时， 点位于圆弧弯曲段，按下式计算 及 当 > 时， 点位于靠近锚固端的直线段，此时 ＝ ＝8°，按下式计算 各截面钢束位置 及其倾角 计算值详见表13-8。 各截面钢束位置（ ）及其倾角（ ）计算表                    表13-8 计算截面 钢束编号 (mm) (mm) (mm) (度) （mm） （mm） 跨中截面 （I－I） N1 595 6263 为负值,钢束尚未弯起 0 0 100 N2 6796 4176 N3 10747 2088 L/4截面 N1 595 6263 8 481 581 N2 6796 4176 0.705 2 102 N3 10747 2088 为负值钢束尚未弯起 0 0 100 变化点截面 （II－II） N1 595 6263 8 968 1068 N2 6796 4176 7.342 246 346 N3 10747 2088 为负值钢束尚未弯起 0 0 100 支点截面 N1 595 6263 8 1488 1588 N2 6796 4176 8 764 864 N3 10747 2088 8 356 456                 ④钢束平弯段的位置及平弯角 N1、N2、N3三束预应力钢绞线在跨中截面布置在同一水平面上，而在锚固端三束钢绞线则都在肋板中心线上，为实现钢束的这种布筋方式，N2、N3在主梁肋板中必须从两侧平弯到肋板中心线上，为了便于施工中布置预应力管道，N2、N3在梁中的平弯采用相同的形式，其平弯位置如图13-23所示。平弯段有两段曲线弧，每段曲线弧的弯曲角为 ＝4.569°。 图13-23  钢束平弯示意图（尺寸单位：mm） 3）非预应力钢筋截面积估算及布置 （1）按构件承载能力极限状态要求估算非预应力钢筋数量 在确定预应力钢筋数量后，非预应力钢筋根据正截面承载能力极限状态的要求来确定。 设预应力钢筋和非预应力钢筋的合力点到截面底边的距离为a＝80mm，则有 mm 先假定为第一类T形截面，由公式 计算受压区高度x： 1.0×5934.5×106＝22.4×2200x（1720－x/2） 求得              x＝71.5mm < =228mm 则根据正截面承载力计算需要的非预应力钢筋截面积为 mm2 采用5根直径为18mm的HRB400钢筋，提供的钢筋截面面积为 ＝1272.5mm2。在梁底布置成一排（图13-24），其间距为75mm，钢筋重心到底边的距离为 ＝45mm。 图13-24  非预应力钢筋布置图（尺寸单位：mm） 13.9.6 主梁截面几何特性计算 后张法预应力混凝土梁主梁截面几何特性应根据不同的受力阶段分别计算。本示例中的T形梁从施工到运营经历了如下三个阶段。 （1）主梁预制并张拉预应力钢筋 主梁混凝土达到设计强度的90％后，进行预应力的张拉，此时管道尚未压浆，所以其截面特性为计入非预应力钢筋影响（将非预应力钢筋换算为混凝土）的净截面，该截面的截面特性计算中应扣除预应力管道的影响，T梁翼板宽度为1800mm。 （2）灌浆封锚，主梁吊装就位并现浇400mm湿接缝 预应力钢筋张拉完成并进行管道压浆、封锚后，预应力钢筋能够参与截面受力。主梁吊装就位后现浇400mm湿接缝，但湿接缝还没有参与截面受力，所以此时的截面特性计算采用计入非预应力钢筋和预应力钢筋影响的换算截面，T梁翼板宽度仍为1800mm。 （3）桥面、栏杆及人行道施工和运营阶段 桥面湿接缝结硬后，主梁即为全截面参与工作，此时截面特性计算采用计入非预应力钢筋和预应力钢筋影响的换算截面，T梁翼板有效宽度为2200mm。 截面几何特性的计算可以列表进行，以第一阶段跨中截面为例列表于13-9中。同理，可求得其它受力阶段控制截面几何特性如表13-10所示。 第一阶段跨中截面几何特性计算表                        表13-9 分块 名称 分块面积 对梁顶边的面积矩 （mm3） 自身惯性矩 截面惯性矩 混凝土 全截面 804×103 584.2 469.697×106 285.024×109 577.0－584.2 ＝－7.2 0.042×109   非预应力钢筋换算面积 1755 10.713×106 577.0－1755 ＝－1178.0 8.470×109   预留管 道面积 1700 －19.627×106 577.0－1700 ＝－1123.0 －14.560×109   净截面 面积 An＝798.559×103 ＝460.783×106 285.024×109   －6.048×109 278.976×109                 注：， ； 值查附表2-2， 值查附表1-2。 各控制截面不同阶段的截面几何特性汇总表                        表13-10 受力阶段 计算截面 A （mm2） yu （mm） yb （mm） ep= yb-ap （mm） I（mm4） （mm3） 阶段1：孔道压浆前 跨中截面 798.559×103 577.0 1223.0 1123.0 278.976×109 4.835×108 2.281×108 2.484×108 L/4截面 798.559×103 579.3 1220.7 959.7 282.847×109 4.883×108 2.317×108 2.947×108 变化点截面 798.559×103 582.9 1217.1 712.4 287.552×109 4.933×108 2.363×108 4.036×108 支点截面 1050.559×103 657.1 1142.9 173.6 341.730×109 5.201×108 2.990×108 19.685×108 阶段2：管道结硬后至湿接缝结硬前 跨中截面 821.827×103 608.8 1191.2 1091.2 307.489×109 5.051×108 2.581×108 2.817×108 L/4截面 821.827×103 606.5 1193.5 932.5 303.669×109 5.010×108 2.544×108 3.257×108 变化点截面 821.827×103 603.0 1197.0 692.3 299.028×109 4.959×108 2.498×108 4.319×108 支点截面 1073.827×103 660.8 1139.2 169.9 342.417×109 5.182×108 3.006×108 20.154×108 阶段3：湿接缝结硬后 跨中截面 893.827×103 567.4 1232.6 1132.6 325.475×109 5.736×108 2.641×108 2.874×108 L/4截面 893.827×103 565.3 1234.7 973.7 321.500×109 5.687×108 2.604×108 3.302×108 变化点截面 893.827×103 562.1 1237.9 733.2 316.623×109 5.633×108 2.558×108 4.318×108 支点截面 1145.827×103 625.0 1175.0 205.7 364.403×109 5.830×108 3.101×108 17.715×108                     13.9.7 持久状况截面承载能力极限状态计算 1）正截面承载力计算 一般取弯矩最大的跨中截面进行正截面承载力计算。 （1）求受压区高度x 先按第一类T形截面梁，略去构造钢筋影响，由式（13-125）计算混凝土受压区高度x mm＜ mm 受压区全部位于翼缘板内，说明确实是第一类T形截面梁。 （2）正截面承载力计算 跨中截面的预应力钢筋和非预应力钢筋的布置见图13-21和图13-24，预应力钢筋和非预应力钢筋的合力作用点到截面底边距离 为 mm 所以      mm 从表13-6的序号⑧知，梁跨中截面弯矩组合设计值 。截面抗弯承载力由式（13-126）有 跨中截面正截面承载力满足要求。 2）斜截面承载力计算 （1）斜截面抗剪承载力计算 预应力混凝土简支梁应对按规定需要验算的各个截面进行斜截面抗剪承载力计算，以下以变化点截面（II—II）处的斜截面为例进行斜截面抗剪承载力计算。 首先，根据公式进行截面抗剪强度上、下限复核，即 ≤ ≤ 式中的 为验算截面处剪力组合设计值，这里 ＝677.7kN； 为混凝土强度等级，这里 ＝50MPa； ＝200mm（腹板厚度）； 为相应于剪力组合设计值处的截面有效高度，即自纵向受拉钢筋合力点（包括预应力钢筋和非预应力钢筋）至混凝土受压边缘的距离，这里纵向受拉钢筋合力点距截面下缘的距离为 mm 所以 ＝1800－451.0＝1349mm； 为预应力提高系数， ＝1.25；代入上式得 ＝1.0×677.7＝677.7kN kN≤ kN≥ 计算表明，截面尺寸满足要求，但需配置抗剪钢筋。 斜截面抗剪承载力按式（13-18）计算，即 ≤ 其中 式中 ——异号弯矩影响系数， =1.0； ——预应力提高系数， =1.25； ——受压翼缘的影响系数， =1.1； 箍筋选用双肢直径为10mm的HRB335钢筋， ＝280MPa，间距 ＝200mm，则 ＝2×78.54＝157.08mm2，故 采用全部3束预应力钢筋的平均值，即 =0.0890（表13-8）。所以 ＞ 变化点截面处斜截面抗剪满足要求。非预应力构造钢筋作为承载力储备，未予考虑。 （2）斜截面抗弯承载力 由于钢束均锚固于梁端，钢束数量沿跨长方向没有变化，且弯起角度缓和，其斜截面抗弯强度一般不控制设计，故不另行验算。 13.9.8 钢束预应力损失估算 1）预应力钢筋张拉（锚下）控制应力 按《公路桥规》规定采用 ＝0.75×1860＝1395MPa 2）钢束应力损失 （1）预应力钢筋与管道间摩擦引起的预应力损失 由式（13-41）有： 对于跨中截面：x＝l/2+d；d为锚固点到支点中线的水平距离（图13-22）； 、 分别为预应力钢筋与管道壁的摩擦系数及管道每米局部偏差对摩擦的影响系数，采用预埋金属波纹管成型时，由附表2-5查得 =0.25， =0.0015； 为从张拉端到跨中截面间，管道平面转过的角度，这里N1只有竖弯，其角度为 ＝8°，N2和N3不仅有竖弯还有平弯（图13-23），其角度应为管道转过的空间角度，其中竖弯角度为 ＝8°，平弯角度为 ＝2×4.569＝9.138°，所以空间转角为 ＝ ＝12.145° 跨中截面（I—I）各钢束摩擦应力损失值 见表13-11。 跨中（I—I）截面摩擦应力损失 计算                     表13-11 钢束编号 x （m） kx （MPa） （MPa） 度 弧度 N1 8 0.1396 0.0349 14.486 0.0217 0.0550 1395 76.73 N2 12.145 0.2120 0.0530 14.586 0.0219 0.0722 1395 100.72 N3 12.145 0.2120 0.0530 14.642 0.0220 0.0723 1395 100.86 平 均 值 92.77                   同理，可算出其它控制截面处的 值。各截面摩擦应力损失值 的平均值的计算结果，列于表13-12。 各设计控制截面 平均值                             表13-12 截面 跨中（I—I） L/4 变化点（II—II） 支点 平均值（MPa） 92.77 54.06 25.04 0.50           （2）锚具变形、钢丝回缩引起的应力损失（ ） 计算锚具变形、钢筋回缩引起的应力损失，后张法曲线布筋的构件应考虑锚固后反摩阻的影响。首先根据式（13-49）计算反摩阻影响长度 ： 式中的 为张拉端锚具变形值，由附表2-6查得夹片式锚具顶压张拉时 为4mm； 为单位长度由管道摩阻引起的预应力损失， ； 为张拉端锚下张拉控制应力， 为扣除沿途管道摩擦损失后锚固端预拉应力， ； 为张拉端至锚固端的距离，这里的锚固端为跨中截面。将各束预应力钢筋的反摩阻影响长度列表计算于表13-13中。 反摩阻影响长度计算表                          表13-13 钢束编号 （MPa） （MPa） （MPa） (mm) （MPa/mm） （mm） N1 1395 76.73 1318.27 14486 0.005297 12135 N2 1395 100.72 1294.82 14586 0.006905 10628 N3 1395 100.86 1294.14 14642 0.006888 10641               求得 后可知三束预应力钢绞线均满足 ≤ ，所以距张拉端为x处的截面由锚具变形和钢筋回缩引起的考虑反摩阻后的预应力损失 按式（13-50）计算，即 式中的 为张拉端由锚具变形引起的考虑反摩阻后的预应力损失， 。若 则表示该截面不受反摩阻影响。将各控制截面 的计算列于表13-14中。 锚具变形引起的预应力损失计算表                            表13-14 截 面 钢束 编号 （mm） （mm） （MPa） （MPa） 各控制截面 平均值 （MPa） 跨中截面 N1 14486 12135 128.56 截面不受反摩阻影响 0 N2 14586 10628 146.77 N3 14642 10641 146.59 L/4截面 N1 7321 12135 128.56 51.00 46.29 N2 7421 10628 146.77 44.29 N3 7477 10641 146.59 43.59 变化点截面 N1 3856 12135 128.56 87.71 90.39 N2 3956 10628 146.77 92.14 N3 4012 10641 146.59 91.32 支点截面 N1 156 12135 128.56 126.91 137.48 N2 256 10628 146.77 143.24 N3 312 10641 146.59 142.29               （3）预应力钢筋分批张拉时混凝土弹性压缩引起的应力损失（ ） 混凝土弹性压缩引起的应力损失取按应力计算需要控制的截面进行计算。对于简支梁可取l/4截面按式（13-56）进行计算，并以其计算结果作为全梁各截面预应力钢筋应力损失的平均值。也可直接按简化公式（13-61）进行计算，即 式中 ——张拉批数， =3； ——预应力钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值，按张拉时混凝土的实际强度等级 计算； 假定为设计强度的90%，即 =0.9×C50=C45，查附表1-2得： ＝3.35×104MPa，故 ——全部预应力钢筋（m批）的合力 在其作用点（全部预应力钢筋重心点）处所产生的混凝土正应力， ，截面特性按表13-10中第一阶段取用。 其中  ＝（1395－54.06－46.29）×2520＝3262.518kN 所以  （4）钢筋松弛引起的预应力损失（ ） 对于采用超张拉工艺的低松弛级钢绞线，由钢筋松弛引起的预应力损失按式（13-64）计算，即 式中 ——张拉系数，采用超张拉，取 =0.9； ——钢筋松弛系数，对于低松弛钢绞线，取 =0.3； ——传力锚固时的钢筋应力， ，这里仍采用l/4截面的应力值作为全梁的平均值计算，故有 =1395－54.06－46.29－28.56=1266.09MPa 所以      （5）混凝土收缩、徐变引起的损失（ ） 混凝土收缩、徐变终极值引起的受拉区预应力钢筋的应力损失可按式（13-65）计算，即 式中 、 ——加载龄期为 时混凝土收缩应变终极值和徐变系数终极值； ——加载龄期，即达到设计强度为90%的龄期，近似按标准养护条件计算则有： ，则可得 20d；对于二期恒载 的加载龄期 ，假定为 =90d； 该梁所属的桥位于野外一般地区，相对湿度为75%，其构件理论厚度由图（13-20）中I－I截面可得 ，由此可查表12-4并插值得相应的徐变系数终极值为 、 ；混凝土收缩应变终极值为 。 为传力锚固时在跨中和l/4截面的全部受力钢筋（包括预应力钢筋和纵向非预应力受力钢筋，为简化计算不计构造钢筋影响）截面重心处，由 、 、 所引起的混凝土正应力的平均值。考虑到加载龄期不同， 按徐变系数变小乘以折减系数 。计算 和 引起的应力时采用第一阶段截面特性，计算 引起的应力时采用第三阶段截面特性。 跨中截面 ＝（1395－92.77－0－28.56）×2520＝3209.65 kN l/4截面  ＝（1395－54.06－46.29－28.56）×2520＝3190.55kN 所以  （未计构造钢筋影响） ，取跨中与l/4截面的平均值计算，则有 跨中截面 ＝1232.6－93.6＝1139.0mm L/4截面 ＝1234.7－235.8＝998.9mm 所以  ； 将以上各项代入即得 现将各截面钢束应力损失平均值及有效预应力汇总于表13-15中。 各截面钢束预应力损失平均值及有效预应力汇总表                    表13-15 应 应 损 失 力 计 算 截 面 目 项 失 损 力 段 阶 作 工 预加应力阶段 （MPa） 使用阶段 （MPa） 钢束有效预应力 （MPa） 预加力阶段 使用阶段 跨中截面（I—I） 92.77 0 28.56 121.33 32.12 71.01 103.13 1273.67 1170.54 l/4截面 54.06 46.29 28.56 128.91 32.12 71.01 103.13 1266.09 1162.96 变化点截面（II—II） 25.04 90.39 28.56 143.99 32.12 71.01 103.13 1251.01 1147.88 支点截面 0.50 137.48 28.56 166.54 32.12 71.01 103.13 1228.46 1125.33                     13.9.9 应力验算 1）短暂状况的正应力验算 （1）构件在制作、运输及安装等施工阶段，混凝土强度等级为C45。在预加力和自重作用下的截面边缘混凝土的法向压应力应符合式(13-77)要求。 （2）短暂状况下(预加力阶段)梁跨中截面上、下缘的正应力 上缘： 下缘： 其中 ＝1273.67×2520＝3209.65×103 N， ＝2261.3kN·m。截面特性取用表13-10中的第一阶段的截面特性。代入上式得 预加力阶段混凝土的压应力满足应力限制值的要求；混凝土的拉应力通过规定的预拉区配筋率来防止出现裂缝，预拉区混凝土没有出现拉应力，故预拉区只需配置配筋率不小于0.2％的纵向钢筋即可。    （3）支点截面或运输、安装阶段的吊点截面的应力验算，其方法与此相同，但应注意计算图式、预加应力和截面几何特征等的变化情况。 3）持久状况的正应力验算 （1）截面混凝土的正应力验算 对于预应力混凝土简支梁的正应力，由于配设曲线筋束的关系，应取跨中、L/4、L/8、支点及钢束突然变化处（截断或弯出梁顶等）分别进行验算。应力计算的作用（或荷载）取标准值，汽车荷载计入冲击系数。在此仅以跨中截面（I－I）为例，按式（13-82）进行验算。 此时有 ， ， ＝488.2＋65.8＋1650.2＝2204.2kN·m， ＝1171.64×2520－71.01×1272.5＝2859.40×103 N，跨中截面混凝土上边缘压应力计算值为 持久状况下跨中截面混凝土正应力验算满足要求。 （2）持久状况下预应力钢筋的应力验算 由二期恒载及活载作用产生的预应力钢筋截面重心处的混凝土应力为 所以钢束应力为 计算表明预应力钢筋拉应力超过了规范规定值。但其比值（1218.07/1209－1）＝0.75％<5%，可以认为钢筋应力满足要求。 4）持久状况下的混凝土主应力验算 本例取剪力和弯矩都有较大的变化点（II—II）（图13-20）截面为例进行计算。实际设计中，应根据需要增加验算截面。 （1）截面面积矩计算 按图13-25进行计算。其中计算点分别取上梗肋a-a处、第三阶段截面重心轴 处及下梗肋b-b处。 图13-25  变化点截面（尺寸单位：mm） 现以第一阶段截面梗肋a-a以上面积对净截面重心轴 的面积矩 计算为例： 同理可得，不同计算点处的面积矩，现汇总于表13-16 面积矩计算表                                                            表13-16  截面类型 第一阶段净截面对其重心轴 （重心轴位置xn＝582.9mm） 第二阶段换算截面对其重心轴 （重心轴位置 mm） 第三阶段换算截面对其重心轴 （重心轴位置x0＝562.1mm） 计算点位置 面积矩符号 面积矩（mm3） 2.028×108 2.107×108 1.440×108 2.117×108 2.207×108 1.574×108 2.275×108 2.344×108 1.642×108                     （2）主应力计算 以上梗肋处（ ）的主应力计算为例： ①剪应力 剪应力的计算按式（13-91）进行，其中 为可变作用引起的剪力标准值组合， ＝ ＋ ＝238.6＋6.4＝245.0kN，所以有 ②正应力 ③主应力 同理，可得 及下梗肋 的主应力如表13-17。 变化点截面（II—II）主应力计算表                  表13-17 计算 纤维 面积矩（mm3） 剪应力 （MPa） 正应力 （MPa） 主应力（MPa） 第一阶段净截面 第二阶段换算截面 第三阶段换算截面 2.028×108 2.117×108 2.275×108 0.96 3.79 －0.23 4.02 2.107×108 2.207×108 2.344×108 0.99 3.44 －0.27 3.71 1.440×108 1.574×108 1.642×108 0.70 2.34 －0.19 2.53                 （3）主压应力的限制值 混凝土的主压应力限值为 ，与表13-17的计算结果比较，可见混凝土主压应力计算值均小于限值，满足要求。 （4）主应力验算 将表（13-17）中的主压应力值与主压应力限制进行比较，均小于相应的限制值。最大主拉应力为 ＜ ，按《公路桥规》的要求，仅需按构造布置箍筋。 13.9.10 抗裂性验算 1）作用短期效应组合作用下的正截面抗裂验算 正截面抗裂验算取跨中截面进行。 （1）预加力产生的构件抗裂验算边缘的混凝土预压应力的计算 跨中截面 ＝1170.54×2520－71.01×1272.5＝2859.40kN·m 由式（13-99）得 （2）由荷载产生的构件抗裂验算边缘混凝土的法向拉应力的计算 由式（13-101）得 = 16.86MPa （3）正截面混凝土抗裂验算 对于A类部分预应力混凝土构件，作用荷载短期效应组合作用下的混凝土拉应力应满足下列要求： 由以上计算知 （压），说明截面在作用（或荷载）短期效应组合作用下没有消压，计算结果满足《公路桥规》中A类部分预应力构件按作用短期效应组合计算的抗裂要求。同时，A类部分预应力混凝土构件还必须满足作用长期效应组合的抗裂要求。 由式（13-104）得 ＝14.98MPa 所以构件满足《公路桥规》中A类部分预应力混凝土构件的作用长期效应组合的抗裂要求。 2）作用短期效应组合作用下的斜截面抗裂验算 斜截面抗裂验算应取剪力和弯矩均较大的最不利区段截面进行，这里仍取剪力和弯矩都较大的变化点（II—II）（图13-20）截面为例进行计算。实际设计中，应根据需要增加验算截面。该截面的面积矩见表（13-16）。 （1）主应力计算 以上梗肋处（ ）的主应力计算为例。 ①剪应力 剪应力的计算按式（13-91）进行，其中 为可变作用引起的剪力短期效应组合值， ＝160.6kN，所以有 ②正应力 ③主拉应力 同理，可得 及下梗肋 的主应力如表13-18。  变化点截面（II—II）抗裂验算主拉应力计算表                表13-18 计算 纤维 面积矩（mm3） 剪应力 （MPa） 正应力 （MPa） 主拉应力 （MPa） 第一阶段净截面 第二阶段换算截面 第三阶段换算截面 2.028×108 2.117×108 2.275×108 0.66 3.51 －0.12 2.107×108 2.207×108 2.344×108 0.68 3.44 －0.13 1.440×108 1.574×108 1.642×108 0.48 3.22 －0.07               （2）主拉应力的限制值 作用短期效应组合下抗裂验算的混凝土的主拉应力限值为 从表13-18中可以看出，以上主拉应力均符合要求。所以变化点截面满足作用短期效应组合作用下的斜截面抗裂验算要求。 13.9.11 主梁变形（挠度）计算 根据主梁截面在各阶段混凝土正应力验算结果，可知主梁在使用荷载作用下截面不开裂。 1）荷载短期效应作用下主梁挠度验算 主梁计算跨径L=28.660m，C50混凝土的弹性模量 。 由表13-10可见，主梁在各控制截面的换算截面惯性矩各不相同，本算例为简化，取梁L/4处截面的换算截面惯性矩 ＝321.500×109mm4作为全梁的平均值来计算。 由式（13-115）可得到简支梁挠度验算式为 （1）可变荷载作用引起的挠度 现将可变荷载作为均布荷载作用在主梁上，则主梁跨中挠度系数 （查表13-3），荷载短期效应的可变荷载值为 （查表13-6）。 由可变荷载引起的简支梁跨中截面的挠度为 考虑长期效应的可变荷载引起的挠度值为  ＜ 满足要求。 （2）考虑长期效应的一期恒载、二期恒载引起的挠度 2）预加力引起的上拱度计算 采用L/4截面处的使用阶段永存预加力矩作用为全梁平均预加力矩计算值，即 截面惯矩应采用预加力阶段（第一阶段）的截面惯矩，为简化这里仍以梁L/4处截面的截面惯性矩 ＝282.847×109mm4作为全梁的平均值来计算。 则主梁上拱度（跨中截面）为 考虑长期效应的预加力引起的上拱值为 3）预拱度的设置 梁在预加力和荷载短期效应组合共同作用下并考虑长期效应的挠度值为 预加力产生的长期反拱值大于按荷载短期效应组合计算的长期挠度值，所以不需要设置预拱度。 13.9.12 锚固区局部承压计算 根据对三束预应力钢筋锚固点的分析，N2钢束的锚固端局部承压条件最不利，现对N2锚固端进行局部承压验算。图13-26为N2钢束梁端锚具及间接钢筋的构造布置图。 图13-26  锚固区局部承压计算图（尺寸单位：mm） 1）局部受压区尺寸要求 配置间接钢筋的混凝土构件，其局部受压区的尺寸应满足下列锚下混凝土抗裂计算的要求： ≤ 式中 ——结构重要性系数，这里 ＝1.0； ——局部受压面积上的局部压力设计值，后张法锚头局压区应取1.2倍张拉时的最大压力，所以局部压力设计值为 ——混凝土局部承压修正系数， =1.0； ——张拉锚固时混凝土轴心抗压强度设计值，混凝土强度达到设计强度的90％时张拉，此时混凝土强度等级相当于0.9×C50＝C45，由附表1-1查得 ＝20.5MPa； ——混凝土局部承压承载力提高系数， ； 、 ——混凝土局部受压面积， 为扣除孔洞后面积， 为不扣除孔洞面积；对于具有喇叭管并与垫板连成整体的锚具， 可取垫板面积扣除喇叭管尾端内孔面积；本示例中采用的即为此类锚具，喇叭管尾端内孔直径为70mm，所以 ＝180×180＝32400mm2 ＝ mm2 ——局部受压计算底面积；局部受压面为边长为180mm的正方形，根据《公路桥规》中的计算方法（图13-26），局部承压计算底面积为 ＝400×400＝160000mm2 所以 计算表明，局部承压区尺寸满足要求。 2）局部抗压承载力计算 配置间接钢筋的局部受压构件，其局部抗压承载力计算公式为 ≤ 且须满足              ≥1 式中 ——局部受压面积上的局部压力设计值， ； ——混凝土核心面积，可取局部受压计算底面积范围以内的间接钢筋所包罗的面积，这里配置螺旋钢筋（图13-26）得 mm2 ——间接钢筋影响系数；混凝土强度等级为C50及以下时，取 ＝2.0； ——间接钢筋体积配筋率；局部承压区配置直径为10mm的HRB335钢筋，单根钢筋截面积为78.54 mm2，所以 C45混凝土 。将上述各计算值代入局部抗压承载力计算公式，可得到 故局部抗压承载力计算通过。 所以N2钢束锚下局部承压计算满足要求。同理可对N1、N3号钢束进行局部承压计算。 复习思与习题 13.1 预应力混凝土受弯构件在施工阶段和使用阶段的受力有何特点？ 13.2 预应力混凝土梁的优越性是什么？决定预应力混凝土梁破坏弯矩的主要因素是什么？ 13.3 何谓预应力损失？何谓张拉控制应力？张拉控制应力的高低对构件有何影响？ 13.4《公路桥规》中考虑的预应力损失主要有哪些？引起各项预应力损失的主要原因是什么？如何减小各项预应力损失？ 13.5 何谓预应力钢筋的松弛？钢筋松弛有何特点？ 13.6 何谓预应力钢筋的有效预应力？对先张法、后张法构件，其各阶段的预应力损失应如何组合？ 13.7 在构件的受压区配置预应力钢筋对构件的受力特性有何影响？ 13.8 为什么要进行构件的应力计算？应力计算包括哪些计算项目？如何选择应力计算的截面？ 13.9 为什么要进行构件的抗裂计算？构件的抗裂主要通过什么来控制？斜截面抗裂计算中如何选择计算截面？抗裂计算与应力计算有何异同点？ 13.10 预应力混凝土构件的挠度有哪些组成部分？何谓上拱度？何谓预拱度？何谓倒拱度？《公路桥规》中如何考虑荷载长期作用的影响？《公路桥规》中如何设置预拱度？ 13.11何谓端块？端块受力有何特点？何谓预应力钢筋的传递长度？何谓预应力钢筋的锚固长度？ 13.12 什么是截面抗弯效率指标？何谓束界？预应力钢筋的布置原则是什么？如何确定预应力钢筋的弯起点？如何确定预应力钢筋的弯起角度？预应力钢筋弯起的曲线形状主要有哪些？ 13.13 计算图13-27所示后张法预应力混凝土梁截面的净截面及换算截面几何特性。 已知预留孔道直径为50mm，每束高强钢丝束为24 5，混凝土强度等级为C50。高强钢丝和混凝土的弹性模量分别为 ＝2.05×105 MPa和 ＝3.45×104 MPa。 图13-27  习题13.13图（尺寸单位：mm） 13.14 后张法预应力混凝土等截面简支T形截面梁如图13-28所示，主梁预制长度为L＝14.60m。主梁采用C45混凝土，配置了3束预应力钢筋（每束6根7股 15.2钢绞线），夹片式锚具，有顶压张拉，预埋金属波纹管成孔，孔洞直径d＝67mm。主梁各计算控制截面的几何特性如表13-19所示，全部预应力钢筋截面积 ＝2919mm2。当混凝土达到设计强度后，分批张拉各预应力钢绞线，两端张拉。先张拉预应力钢绞线束N1，再同时张拉N2、N3。张拉控制应力为 ＝0.75×1860＝1395MPa。主梁所处桥位的环境年平均相对湿度为80％。主梁的自重集度为G1＝7.85kN/m。 试计算预应力损失。 截面几何特征表                            表13-19 跨中截面 L/4截面 距支座h/2截面 支点处截面 N1钢束曲线与x轴夹角 值（弧度） 0 0.087 0.175 0.192 净截面面积 304173 304173 304173 304173 净截面对自身重心轴的惯性矩 29.822326×109 29.936277×109 29.786814×109   净截面重心轴距主梁上边缘距离 352 354 357   预应力钢束重心轴距净截面重心的距离 418 362 264             图13-28  习题13.14图（尺寸单位：mm） 13.15 先张法预应力混凝土简支空心板，跨中截面尺寸与配筋如图13-29所示。已知条件为：C40混凝土， ＝18.4MPa；预应力钢筋为精轧螺纹钢筋， ＝650MPa， ＝1781mm2， ＝45mm；换算截面面积 ＝314344mm2，惯性距 ＝1.4657×109 mm4，换算截面重心轴距截面上边缘距离 ＝308mm2。 的张拉控制应力为 ＝705MPa，总预应力损失为 ＝276MPa，其中由于混凝土弹性压缩引起的应力损失为 ＝72.3MPa，作用截面上最大计算弯矩为M＝453.8MPa。 试进行该梁的正截面承载力计算。                  图13-29  习题13.15图（尺寸单位：mm） 13.16 后张法预应力混凝土简支T梁跨中截面如图13-30所示。梁计算跨径L＝29.14m；混凝土为C40，弹性模量 ＝3.25×104MPa；预应力钢筋采用钢绞线，截面面积为 ＝3836mm2，张拉控制应力为 ＝1395MPa，跨中截面处钢束的平均应力损失，第一批损失为 ＝245.7MPa，第二批损失为 ＝229.6MPa。 梁跨中截面的预应力钢筋重心距截面重心轴的距离分别为 ＝1200mm（净截面）、 ＝1134mm（换算截面），换算截面惯性矩 ＝350.59×109 mm4。 梁跨中截面处一期恒载弯矩为 ＝1928.6kN?m，二期恒载弯矩为 ＝1203.5kN?m，汽车荷载作用（不计冲击）产生的弯矩值为 ＝1358.6kN?m，人群荷载作用产生的弯矩值为 ＝338.7kN?m。 由梁在使用阶段的混凝土正应力验算结果知该梁为A类部分预应力混凝土构件。 试计算该梁在使用阶段的挠度，并说明是否需要设置预拱度。 图13-30  习题13.16图（尺寸单位：mm）