初中几何证明题库：矩形

例8.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点 O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC 的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 【】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。 （2）连接ON， ∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点， △AED的外接圆与BC相切于点N， ∴ON⊥BC。 ∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。 ∴点N是线段BC的中点。 （3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。 在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。 在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴ 。∴FG= 。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。 （2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求 出FO，从而可得出FG的长度。 8.依次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC= 米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为  ▲  。 10.如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q． （1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； （2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）； （3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围． 1.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为  ▲  ． 例2.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【    】 A．2    B．4            C．     D． 【答案】D。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案： 过点N作NG⊥BC于G， ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。 由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。 ∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。 ∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。 设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在Rt△CGN中， ， 在Rt△MNG中， ， ∴ 。故选D。 例1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为    ▲    。 例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下： 如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。 ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。 又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． ∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即 。 ∴ 。 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等， ∴ 。 ∵ ，∴当x=2时，S有最小值6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。 （2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。 4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_  ▲    cm2． 例2.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=  ▲  　． 【答案】 。 【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；． 【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。 ∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。 ∴△AOE∽△COF。∴ 。 ∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。 在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE= 。 ∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC= ，∴CO= 。 ∵在Rt△CEO中，CO= ，CE= ，由勾股定理得：EO= 。∴EF=2EO= 。 例3.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1= ，t2=－ （舍去）． ∴点P的坐标为（ ，6）。 （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。 ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴ 。 由题意设BP=t，AQ=m，BC =11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 。∴ （0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）。 【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP， △QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。 （Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与 ，即可求得t的值： 过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。 ∴∠PC′E+∠EPC′=90°。 ∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴ 。 ∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m， ∴ 。 ∴ 。 ∵ ，即 ，∴ ，即 。 将 代入，并化简，得 。解得： 。 ∴点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）。 5.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为    ▲    . 例1.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【    】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC， ∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM， 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。 ∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。 ∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。 ∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM= CF= 。∴NG= 。 ∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣ 。∴BF=2BN=5 ∴ 。故选B。 例2. 如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果 ，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【    】 A.             B.               C.             D. 【答案】D。 【考点】平行四边形的判定和性质。 【分析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE。 ∵AP BE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PE AB。， ∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF BD。 ∴EF∥AB。∴P，E，F共线。 设BD=a， ∵ ，∴PE=AB=4a。∴PF =PE﹣EF=3a。 ∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC。 ∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=3a。 ∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故选D。 例3.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4              ② S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2      ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是    ▲    （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。 【考点】矩形的性质，相似 【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高， ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB， ∴S1+S3= S矩形ABCD； 同理可得出S2+S4= S矩形ABCD。 ∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。 若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。 如图，若S1=S2，则 ×PF×AD= ×PE×AB， ∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形， ∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。 ∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC， 即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。 故结论④正确。 综上所述，结论②和④正确。 例6.如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN. （1）求证：△AND≌△CBM. （2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。 四边形MFNE不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900， ∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。 （3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得 3 x＋5 x=12，解得x= ，即DN=BM= 。 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。 在△NHM中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得NM= 。 ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM= 。 又∵PQ=CQ，∴CQ= 。 在△CBQ中，CQ= ，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。 ∴NP=MQ= 。∴PC=4－ － =2。 【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM= 。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM= ，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ= 。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。 例2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为    ▲    cm． 【答案】15。 【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离，且AP=BP。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在Rt△BCD中，由勾股定理得 。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。 例2.如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【    】 A．    a户最长    B．    b户最长    C．    c户最长    D．    三户一样长 【答案】D。 【考点】生活中的平移现象，平移的性质。 【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a  b  c三线长度相等。故选D。 例3.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为  ▲  ． 【答案】28。 【考点】平移的性质，勾股定理。 【分析】由勾股定理，得AB= ，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD， ∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。 1.如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【    】 A、14    B、16    C、20    D、28 如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，[来源:学科网]点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。 （1）求证：AG＝C′G； （2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。 如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE， （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式． 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（  ） A、         B、     C、         D、6 已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为　． 1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，求重叠部分△AEF的面积。