北京高考立体几何汇编

Fourshortwordssumupwhathasliftedmostsuccessfulindividualsabovethecrowd:alittlebitmore.------------------------------------------author------------------------------------------date北京高考立体几何汇编北京高考立体几何汇编北京高考立体几何汇编----------------------------------------------------------------------------------------------------北京高考立体几何汇编--------------------------------------------------北京近年高考立体几何试题汇编1．(2009北京理科卷16)如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由。方法提示:方法一：几何法(利用线线关系，线面关系，面面关系)。（Ⅰ）判定线面垂直的主要方法：　（１）线面垂直的定义；　（２）线面垂直的判定定理；　（３）作定理用的正确命题：　　如果两条平行直线中的一条垂直于另一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；　（４）面面垂直的性质定理；　（５）作定理用的正确命题：　　如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（Ⅱ）求线面角的基本步骤：　（１）找角；　（２）求角。（Ⅲ）求面面角的基本步骤：　（１）找角；　（２）求角（或说明原因）。方法二：向量法。　（１）建立适当的直角坐标系，并示有关点的坐标；　（２）表示有关线段所对应的向量；　（３）利用向量的平行或垂直来判断直线的平行或垂直，从而判定线线、线面、面面的位置关系；或者利用向量的运算求夹角或距离。2．(2009北京文科卷16)如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。（Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。3.（2008北京理科卷16文科无第三问）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.4.（2007北京理科卷16,文科无第三问）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求与平面所成角的最大值．5.（2006年北京理科卷17,）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.1.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）同解法1.2【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∵，∴，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.3.解法一：取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC,∴CD⊥AB.∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD.∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥BC.∴PC⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC.取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD.过C作CH⊥PD，垂足为H.∵平面APB∩平面PCD＝PD，∴CH⊥平面APB.∴CH的长即为点C到平面APB的距离，由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A.∴PC⊥平面ABC.CD平面ABC.∴PC⊥CD.在Rt△PCD中，CD＝∴PC＝∴CH=∴点C到平面APB的距离为解法二：（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，1）.∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，∴t＝2，P（0，0，2）.取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,∴CE⊥AP，BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E（0，1，1），∴cos∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为arecos（Ⅲ）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如（Ⅱ）建立空间直角坐标第C-xyZ.∵∴点H的坐标为（）.∴∴点C到平面APB的距离为4.解法一：（=1\*ROMANI）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（=2\*ROMANII）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（=3\*ROMANIII）由（=1\*ROMANI）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．解法二：（=1\*ROMANI）同解法一．（=2\*ROMANII）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．（=3\*ROMANIII）同解法一5.解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD∴AB是PB在平面ABCD上的射影又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。∵ABCD是平等四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC。（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为又∴∴OE⊥AC，OG⊥AC∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。∵∴∴二面角的大小为