高中数学知识点

PAGEPAGE30第一章集合与函数概念一、集合1、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。2.集合中元素的特征⑴确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。⑵互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，即，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。⑶无序性：不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。4、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q；全体实数组成的集合称为实数集，记R。拓展与提示：⑴无序性常常作为计算时验证的重要依据。⑵注意N与N*的区别。N*为正整数集，而N为非负整数集，即0∈N但0N*。⑶集合的分类按元素个数按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集（），只含有一个元素的集合叫做单元素集。例　已知　解析　①　　②　解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。解②得x=-1或1(舍去)这时y=0∴x=-1，y=06、集合的表示方法⑴列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集，形式：⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：，其中x为元素，p(x)表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么x∈D可以省略，只写其元素x，如可以表示为。(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。例用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：⑴由所有非负奇数组成的集合；⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；⑶方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。解：⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：，无限集。⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：，无限集。⑶方程x2+x+1=0的判别式的Δ<0，故无实数，方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空集。7、集合的基本关系⑴子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B”(或“B包含A”)。可简述为：若，则集合A是集合B的子集。⑵集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。数学表述法可描述为：对于集合A、B，若，且，则集合A、B相等。⑶真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作或说：若集合，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。⑷空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示：(1)。(2)B(其中B为非空集合)(3)对于集合A，B，C，若。(4)对于集合A，B，C，若，C则C(5)对于集合A，B，若。(6)含n元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。(7)不同，前者为包含关系，后者为属于关系。8、集合间的基本运算拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2);(3);(4)。⑴并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”)，即拓展与提示：对于任意集合A、B，有(1)(2)；(3)；(4)；(5)。⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“A交B”)，即。⑶全集与补集①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作。例设集合，若A∩B=，求A∪B。解析由A∩B=得，9∈A。∴x2=9或2x-1=9①由x2=9得，x=±3。当x=3时，，与元素的互异性矛盾。当x=-3时，，此时，②由2x-1=9得x=5.当x=5时，，此时，，与题设矛盾。综上所述，⑷集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。例如：.一般地，对任意两个有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).当时仅当A∩B=时，card(A∪B)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。例学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解：设，，那么，Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示1、函数的概念：一般地，我们说：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。2、函数的三要素⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。提示：⑴函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的。(2)注意区别f(a)和f(x)，f(x)是指函数解析式，f(a)是指自变量为a时的函数值。3、区间：设a，b是两个实数，而且a方案

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