1已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍
测试30 椭圆
一、选择
1(已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于 ( )
3311 A( B( C( D( 3232
222(椭圆5x,ky,5的一个焦点是(0,2),那么k等于 ( )
1 B(1 C(5 D(,5 A(,
22xy,,13(椭圆的一个焦点为F,点P在椭圆上(如果线段PF的中点M在y轴上(那11123
么点M的纵坐标是 ( )
2333,,, A( B( C( D( ,42244(设椭圆的两个焦点分别是F、F,过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若?FPF是12112等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( )
2,12 A( B( C(2,2 D(2,1 22
35(已知以F(,2,0),F(2,0)为焦点的椭圆与直线x,y,4,0有且仅有一个交点,12
则椭圆的长轴长为 ( )
2627 A(32 B( C( D(42
二、填空题
3,236(已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(,0),且离心率为,则该椭圆的
方2程是________(
22xy,,17(已知F、F为椭圆的两个焦点,过F的直线交椭圆于A、B两点,则?ABF1212259
的周长为________(
228(曲线3x,ky,6表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________(
22xy,,19(如图,F、F分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,若?POF是正三12222ab
角形,则椭圆的离心率为________(
,2xy,,110(椭圆的焦点为F、F,点P为其上的动点,?FPF为钝角,则点P横坐121294
标的取值范围是________(
三、解答题
11(已知椭圆C的焦点分别为F(,0)和F(,0),长轴长为6(设直线y,x,2,222212
交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标(
2x2,y,112(设F、F分别是椭圆的左、右焦点(若P是该椭圆上的一个动点,?PFPF12124
的最大值和最小值(
,313(已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(,0),
1且右顶点为D(2,0),设点A的坐标是(1,)( 2
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程(
22xy,,114(如图,椭圆(a,b,0)与过点A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点22ab
3e,T,且椭圆的离心率( 2
(1)求椭圆方程;
12(2)设F、F分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|,|AF|?|AF|( 12122
参考答案
测试30 椭圆 一、选择题
1(D 2(B 3(A 4(D 5(C
二、填空题
2233xy,,x,3,16( 7(20 8(0,k,3 9( 10( ,,116455
三、解答题
22xy11(解:设椭圆C的方程为, ,,122ab
2由题意a,3,c,2,于是b,1(
2x2,y,1?椭圆C的方程为( 9
y,x,2,,22由得10x,36x,27,0, ,x2y,,1,9,
因为该二次方程的判别式Δ,0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,
设A(x,y),B(x,y), 1122
,36,,36,,,x,则,, x,122020
18,所以, x,x,125
91故线段AB的中点坐标为(,,)( 55
12(解法一:易知a,2,b,1,c,3,
3,0),F(3,0),设P(x,y),则 所以F(,12
2x12222PF,PF,(,3,x,,y),(3,x,,y),x,y,3,x,(1,),3,(3x,8)1244
因为x?,,2,2,,故当x,0,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值,2, PF,PF12当x,?2,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1( PF,PF12
333解法二:易知a,2,b,1,c,,所以F(,,0),F(,0),设P(x,y),则 12
PF,PF,|PF|,|PF|,cos,FPF121212
222,,|PF||PF||FF|1212,|PF|,|PF|, 122|PF|,|PF|12
1222222(以下同解法一)( ,[(x,3),y,(x,3),y,12],x,y,32
22xy,,113(解:(1)设椭圆方程为, 22ab
2x23?c,,a,2, ?b,1,椭圆方程为( ,y,14
1y,111x,21y,(2)设P(x,y),PA中点M(x,y),则,,所以x,2x,1,, 2y,y,x,1111222
22(2x,1)1,,,2y,,1代入椭圆方程,得M的轨迹方程:( ,,42,,
114(解:(1)直线AB方程为, y,,x,12
12222222代入椭圆方程,得, (b,a)x,ax,a,ab,04
因为直线与椭圆只有一个公共点,
222222,,ab(a,4b,4),0所以,即, a,4b,4,0
132222又,,解得,, ?a,4ba,2b,?e,22
2x2椭圆方程为( ,2y,12
666(2)由(1)得,,,设T(x,y) c,F(,,0)F(,0)11122221将代入椭圆方程得x,1, y,,x,112
512,, ||?T(1,)AT,42
512||||,( ?AF,AF,?|AT|,|AF|,|AF|121222