巧建模型解数学应用题

巧建模型解应用题 张远贵 (江苏省邗江公道中学 , 225119) 　　数学应用问题是历年高考命题的主要题 型之一. 解答这类问题的关键是深刻理解题 意 ,将文字语言向数学的符号语言翻译转化 , 这就需要建立恰当的数学模型. 在建立模型 的过程中 ,函数、数列、不等式、排列组合是较 为常见的模型 , 而三角、立体几何、解析几何 等模型也应在复习时引起重视. 一、二次函数模型 例 1　随着机构改革工作的深入进行 ,各 单位要减员增效. 有一家公司现有职员 2a人 ( 140 < 2a < 420,且 a为偶数 ) ,每人每年可创 利 b万元. 据评估 ,在经营条件不变的前提下 , 每裁员 1 人 , 则留岗职员每人每年多创利 0. 01b万元 , 但公司需付下岗职员每人每年 0. 4b万元的生活费 , 并且该公司正常运转所 需人数不得小于现有职员的 34 , 为获得最大 的经济效益 ,该公司应裁员多少人 ? 解 　设裁员 x人 ,可获得的经济效益为 y 万元 ,则 y = ( 2a - x) ( b + 0. 01bx) - 0. 4bx = - b 100 [ x 2 - 2 ( a - 70) x ] + 2ab. 依题意 ,有 　　例 9　过点 M ( - 6, 0) 作圆 C: x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0的割线 ,交圆 C于 A、B 两点. ( 1) 求线段 AB 的中点 P的轨迹 ; ( 2) 在线段 AB 上取一点 Q,使三条线段 MA, MQ, MB 的长的倒数成等差数列 ,求 Q 的 轨迹方程. 解 (1) 　设 P ( x, y) ,连结 CM、CP,由题意 可知 M P ⊥ CP,在直角三角形中 , | M P | 2 +| CP | 2 = | CM | 2 , 即 ( x + 6) 2 + y2 + ( x - 2) 2 + ( y - 3) 2 = (2 + 6) 2 + ( 3 - 0) 2. 化简得线段 AB的中点 P的轨 迹方程 x 2 + 4x + y2 - 3y - 12 = 0 (圆的内部 ) . ( 2) 设过点 M ( - 6, 0) 倾斜角为θ的直线 的参数方程为 x = - 6 + tcosθ, y = tsinθ, 其中 t为参数 ,代入圆的方程 ,得 ( - 6 + tcosθ) 2 + ( tsinθ) 2 - 4 ( - 6 + tcosθ) - 6 tsinθ - 3 = 0, 化简 ,得 t2 - ( 16cosθ+ 6 sinθ) t + 57 = 0. 由根与系数的关系得 t1 + t2 = 16cosθ+ 6 sinθ, t1 t2 = 57. 因为 MA, MQ, MB 的长的倒数成等差数 列 ,所以 1 t1 + 1 t2 = 2 tQ , ∴8 tQ cosθ+ 3 tQ sinθ = 57. 又 x = - 6 + tQ cos θ, y = tQ sinθ. 故 Q的轨迹方程为 8x + 3y - 9 = 0. 运算能力的问题 , 是解析几何的主要问 题. 提高运算能力一个很重要的方面 ,就是要 减少运算量 , 除以上介绍的一些常用的减少 运算量的方法之外 , 还有如特殊值法、向量 法、复数法、辅助圆法、焦半径法等等. ·51· 第 6期 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高中数学教与学 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 2a - x ≥ 3 4 ·2a, ∴0 < x ≤ a 2 . 又 140 < 2a < 420,即 70 < a < 210. ( 1) 当 0 < a - 70 ≤ a 2 ,即 70 < a ≤140 时 , x = a - 70, y取到最大值 ; ( 2) 当 a - 70 > a 2 ,即 140 < a < 210时 , x = a 2 , y取到最大值 ; 综上所述 ,当 70 < a ≤140时 ,应裁员 a - 70人 ;当 140 < a < 210时 ,应裁员 a2 人. 二、三角模型 例 2　在一很大的湖岸边 (可视湖岸为直 线 ) 停放着一只小船 , 由于缆绳突然断开 , 小 船被风刮跑 ,其方向与湖岸成 15°角 , 速度为 2. 5 km /h,同时岸边有一人 ,从同一地点开始 追赶小船 ,已知他在岸上跑的速度为 4 km /h, 在水中游的速度为 2 km /h, 问此人能否追上 小船 ?若小船速度改变 ,则小船能被人追上的 最大速度是多少 ? 解 　设船速为 v. 显然 v≥4 km /h时人不 可能追上小船 ,当 0 ≤ v ≤ 2 km /h时 ,人不必 在岸上跑 ,而只要立即从同一地点直接下水 就可以追上小船 ,因此只要考虑 2 < v < 4的 情况. 由于人在水中游的速度小于船的速度 , 人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶 , 当 人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水 中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时 , 人 才能追上小船. 设人追上船所用时间为 t,人在 岸上跑的时间为 k t ( 0 < k < 1) ,则人在水中 游的时间为 (1 - k) t,人要追上小船 ,则人船运 动的路线满足如图所示的三角形. | OA | = 4k t, | AB | = 2 ( 1 - k) t, | OB | vt,由余弦定理得 | AB | 2 = | OA | 2 +| OB | 2 - 2 | OA |· 　　　　 | OB | cos 15°, 即 4 ( 1 - k) 2 t2 = ( 4k t) 2 + ( vt) 2 - 2·4k t 　·vt· 6 + 24 . 整理得 12k2 - [ 2 ( 6 + 2) v - 8 ] k + v2 - 4 = 0. 要使上式在 ( 0, 1) 范围内有实数解 ,应有 0 < v 2 - 4 12 < 1且Δ = [ 2 ( 6 + 2) v - 8 ] 2 - 4·12· ( v2 - 4) ≥ 0. 解得 2 < v ≤ 2 2,即 vmax = 2 2 km /h. 故当船速在 (2, 2 2 ] 内时 , 人能追上小 船 ,船能使人追上的最大速度为 2 2km /h,由 此可见当船速度为 2. 5 km /h时 ,人可以追上 小船. 三、不等式模型 例 3　某学校为了教职工的住房问题 ,计 划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A (m2 ) 的宿舍楼. 已知土地的征用费为 2 388元 /m2 , 且每层的建筑面积相同 , 土地的征用面积为 第一层的 2. 5倍. 经技术人员核算 ,第一、 二层的建筑费用相同都为 445元 /m2 ,以后每 增高一层 ,其建筑费用就增加 30元 /m2. 试设 计这幢宿舍楼的楼高层数 ,使总费用最少 ,并 求出其最少费用. (总费用为建筑费用和征地 费用之和 ) . 解 　设楼高为 n层 ,总费用为 y元 ,则征 地面积为 2. 5A n m 2 ,征地费用为 5 970A n 元 ,楼层 建筑费用为 [ 445 +445 + ( 445 +30) + ( 445 +30 ×2) + ⋯ + 445 + 30 × ( n - 2) ] · A n = 15n + 30 n + 400 A元 ,从而 y = 5 970A n + 15nA + 30A n + 400A = 15n + 6 000 n + 400 A ≥1 000A (元 ). ·61· 高中数学教与学 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 当且仅当 15n = 6 000 n ,即 n = 20 (层 ) 时 , 总费用 y最少. 故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20层时 , 总费用最少 ,为 1 000A元. 四、数列模型 例 4　 (2002年全国高考题 ) 某城市 2001 年末汽车保有量为 30万辆 ,预计此后每年报 废上一年末汽车保有量的 6% ,并且每年新增 汽车数量相同. 为保护城市环境 ,要求该城市 汽车保有量不超过 60万辆 ,那么每年新增汽 车数量不应超过多少万辆 ? 解 　设 2001年末汽车保有量为 b1万辆 , 以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆 , b3 万 辆 , ⋯⋯,每年新增汽车 x万辆 ,则 b1 = 30, bn +1 = 0. 94bn + x, bn = 0. 94bn - 1 + x, 两式相减得 bn +1 - bn = 0. 94 ( bn - bn - 1 ) . ( 1) 若 b2 - b1 = 0,则 bn +1 - bn = bn - bn - 1 = ⋯ = 0,即 bn = ⋯ = b1 = 30,此时 x = 30 - 30 ×0. 94 = 1. 8. ( 2) 若 b2 - b1 ≠ 0,则数列 { bn +1 - bn } 为 以 b2 - b1 = x - 0. 06b1 = x - 1. 8为首项 ,以 0. 94为公比的等比数列 ,所以 , bn +1 - bn = 0. 94 n - 1 · ( x - 1. 8) . ( i) 若 b2 - b1 < 0,则对于任意正整数 n, 均有 bn +1 - bn < 0,所以 , bn +1 < bn < ⋯ < b1 = 30,此时 , x < 30 - 30 ×1. 94 = 1. 8. ( ii) 当 x > 1. 8万时 , b2 - b1 > 0,则对于 任意正整数 n,均有 bn +1 - bn > 0,所以 , bn +1 > bn > ⋯ > b1 = 30,由 bn +1 - bn = 0. 94n - 1 ·( x - 1. 8) ,得 bn = ( bn - bn - 1 ) + ( bn - 1 - bn - 2 ) + ⋯ 　　　 + ( b2 - b1 ) + b1 　　 = ( b2 - b1 ) (1 - 0. 94n - 1 ) 1 - 0. 94 + 30 　　 = ( x - 1. 8) ( 1 - 0. 94 n - 1 ) 0. 06 + 30. 要使对于任意正整数 n,均有 bn ≤60恒成 立 ,即 ( x - 1. 8) ( 1 - 0. 94n - 1 ) 0. 06 + 30 ≤ 60 对于任意正整数 n恒成立. 解这个关于 x的一 元一次不等式 ,得 x ≤ 1. 8 1 - 0. 94n - 1 + 1. 8. 上式恒成立的条件为 x 小于或等于 1. 8 1 - 0. 94n - 1 + 1. 8的最小值. 由于关于 n的函 数 f ( n) = 1. 8 1 - 0. 94n - 1 + 1. 8单调递减 ,所以 , x ≤ 3. 6. 五、线性规划模型 例 5　已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B含量及成本如下 ,若用甲、乙、丙三种食 物各 x千克 , y千克 , z千克配成 100千克混合 食物 ,并使混合食物内至少含有 56 000单位维 生素 A和 63 000单位维生素 B. 甲 乙 丙 维生素 A (单位 /千克 ) 600 700 400 维生素 B (单位 /千克 ) 800 400 500 成本 (元 /千克 ) 11 9 4 　　 ( 1) 用 x, y表示混合食物成本 c元 ; ( 2) 确定 x, y, z的值 ,使成本最低. 解 　 ( 1) 依题意得 c = 11x + 9y + 4z,又 x + y + z = 100, ∴c = 400 + 7x + 5y. ( 2) 由 600x + 700y + 400z ≥ 56 000, 800x + 400y + 500z ≥ 63 000, 及 z = 100 - x - y,得 4x + 6y ≥ 320, 3x - y ≥ 130. ∴7x + 5y ≥ 450, ∴c = 400 + 7x + 5y ≥ 400 + 450 = 850, 当且仅当 4x + 6y = 320, 3x - y ≥ 130, 即 x = 50, y = 20时等号成立. ∴当 x = 50千克 , y = 20千克 , z = 30千 克时 ,混合物成本最低为 850元. ·71· 第 6期 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高中数学教与学 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net