非线性边界约束下梁的弯曲振动

第 卷 第 期 卯 年 月 固 体 力 学 学 报 】 肠 非线性边界约束下梁的弯曲振动 ’ 朱文哗 许跃敏 ‘浙江大学 叶贵如 关性询 非线性边界约束 , 非线性振动 , 点映射 , 分叉 , 浑沌 引言 从强度或刚度要求出发 ,经常对线性机械结构加上某些在一定变形情况下才起作用的分 预备护性约束 ,这种约束是否起作用 ,取决于结构的变形状态 , 它并不相当于一般的刚度方面 的增强 ,实际上构成了它的强度或刚度取决于系统位移的非线性结构 这样的非线性来 自边 界条件 , 它既不同于 由材料或大变形等原因造成的非线性现象 ,又不同于描述方程 自身的非 线性 多数场合之下 , 它能被一系列分段线性模型来描述 但分段线性模型与线性系统的差 别是很大的 ,它具有本质的非线性特性 桩型和若本分析 在悬臂梁 自由端行程上下两边各放置距中央平衡位置为 △ 和 △ 的制动支座 和 图 ,那么 , 当悬臂梁因外激励而发生强迫振动时 , 自由端的位移向上不能超过 △ , 向下 不能超过 △ , 即使是梁在微振动状态 ,也实际地构成了非线性行为 一 等截面梁的 自由振动位移 , 满足 月 七 分 了 子戈 ’ 本文于 蛆 年 月邓日收到 是自然科学基金项目 固 体 力 学 学 报 年 、,声、声弓、︸矛、了、 其中 , 分别为梁的线密度和抗弯刚度 为分析方便起见 ,设 △ 簇 △ , 那么在 △ , △ 的条件下 , 可以令 , 诚 沁。脚 , 对应的第一阶振型孕 为 中 口 一 口 一 刀 一 刀 且 几 一 。子一 旦川 当 , 一 △ 或 , △ 时 ,我们得到了一端固定一端简支梁 假若该时刻除 二 斑之外的梁其他运动着的微元上速度不都为零 , 因此仍将沿原运动方向继续增长位移 那么 自由振动的解形式仍为 , 中 ,对应的第一阶振型记作中 , 中 口 一 邓 一 吞 一 口 , ‘一 二卜臀, , 和 。 分别为二种不同边界条件下的第一阶固有频率 ,差别甚大 , 。 二 物 , 在图 所示的强迫振动形式下 , , 满足 , 了 一口 仁 口 侣 一 一 , 乙 , , 一 一 , , ‘ 八 八 ‘ 。“ 丁下「 一 一 , ‘下下万尸 了 “‘ 夕 ‘ 夕‘’ 当外激励频率 山 时 ,一般情况下其位移可以用 自由振动的第一阶固有函数近似组成 , , 在考虑到中 , 之后 ,可将 , 写成 , , 中 当 一 △ △ , , △ 中 中 当犷 二 △ , 一 △ 巾 犷 中 当 簇 △ 簇 在上达形式下 , , 与位置无关 , 并在其定义域的连接点处连续 , 为方便计 , 取 中 。 的坐标 。 为观察参考点 ,那么 中 二 “ · 在 和 的定义连接点满足 , △ “ 一 △ “ , , 倘若在定义连接点外的相应定义域中几 和 也维持 式规定的关系那么 , 关于时 间 的连续就得到了保证 为此取 , 中 , 当 一 △ △ , 一 △ , 工 一 △ , , , 当犷 △ , “ 口 二 , 一 达 , 工 △ , , 当 ‘ 一 达 戊 其中 ,原来的 , , 现在已统一用 表达出来 将 式代人方程 得 犷 。子 犷。 下 当 一 △ △ 。圣犷 △ 。圣一 △ , 下 。子十 下 。 当 △ , 。呈 一 △ 。圣 △ 。子 下 刀 。 当 续 一 △ 第 期 其中 朱文黔等 非线性边界约束下梁的弯曲振动 丁二中 , 孙 二 。 丁二中 丫 二 了孟中 中 二 一一 一一一一 如果进行自变量替代 , 以 。 代替 , 函数变换 二 那么得到关于无量纲函数 的 方程 孟户。心 十 石 其中 二 , 。 , 。 , 又 , 占二 又二 下, 占二 佃 一 下, “ 咨 又二 , , 占 一 伽 一 , , 咖 。 一 俘 一 率 ‘ 一 , 。 ‘口 。一 , △ 一 占 占 爪 ‘ 一 占 下 区 —下 若若若卜 介 。界 ‘ 一豁 , ‘ 因为真实系统总具有阻尼 , 因此 又可写成 ,戈 无 二 拼。‘ 占 无论是 式或 叼式 , 形式上都表现成线性特征担是 和 凡占都由 式分段定义 , 因此 ,我们得到了一个分段线性系统 其弹簧刚度的变化情况如图 所示 若 △ 笋 △ , 图 中三条直线的斜率便均不同 ,成为非对称的分段线性系统 倘若移去 减为只有一个制动 支座的悬臂梁湿然 , 式便成为文 所讨论的情况了 因为上述诸式中除了与外激励 频率直接相关的参数 之外汾段定义 式中的 不 占都直接与外激励幅值 。 ,制动块距 离△ 、 △ 有关 所以最后建立起来的是至少带有三个参数的非线性系统 固 体 力 学 学 报 年 求解过程 在 ‘ 。 、的条件下 ,梁可以维持小的非线性振动 ,在初始条件 。 二 。 ,才 。 。之 下 式的解具有形式 一 ‘, 一 ,。· 一叮 卜 , 。卜 · ·穿 卜 , 。 卜 · 一。 , 一 。 , 杀 一 ”‘一 ‘。 一 叮 , 阿 一 。 一 叮 , 一 。 一 , 山 观 其中 一 , , , 。又 , 才 二 无 一 。 , 。气 二 一 又 通 , 一 山 。 一 。 。 一 占 叮 。 。 一 。 观 。 上述诸式中 之 、 占的取值得按 式而定 , 为此 ,必须根据 的所在范围才能确定具体取值 的算式 , 可是没有这些值的确定 , 又得不到由 式所描述的 、 值 因而 式只给出形式 解 , 由于解的适定范围并不是由描述状态 的自变量才给出 , 而要状态本身才来确定 , 为了 解题的方便起见 ,在 , ,力三维空间内观察由 二 幼 决定的 卜 截面叭按一定的运动周 期 ,轨线将穿越这一截面 ,然后一起来考察其交点 ,那么就可在 卜 面上建立点映射 于是就 可用分析其他相平面上的点映射相似的办法来分析此系统的平衡 , 或周期解 ,稳定性以及 浑沌等现象 为阐述方便起见 ,定义 , 于 一 占 一 占 子 一 占 簇 占 于 吞 如 其中 占 是维持梁为小幅振动 ,使 仍为有效的位移无量纲参数 二个很 自然的 截 面为 占, 和 一 占 ,它们分别对应梁的自由端刚接触 或即将离开 制动支座 或 的状态 例如 。时梁的自由端以正向速度刚接触到 那么 。 二 。 , 。 占 它 在上述截面上的座标是 。 , 。 及将有 由于阻尼的缘故 , 式中自由振动项随 衰减 ,因此对 一 , 。 二 的状态 , 这些项 可忽略 · 但是对‘一 ‘。 的状态 ,它们则必须被保留 · 因外激励周期 · ‘一个“然的时 ” 标尺 ,所以 方“的尺寸可“用 · 或一定的比量度 例如登一 二令来“ · 凡是时间‘大 于这种截断值的 ,只取其全数部分而定在 , 截面上 从 。 , 。 , 。 出发经过时间‘又第一次回到了 , , 平面沮 , ,且处于 , 、准置 ‘ 那么就称此为一次映射 这样的一次映射中其内容和具体进程可以是很复杂和多种多样 的 例如 , 可以是才始终维持在 的情况下实现 ,也可以是从 ‘ 变去 又 回到 而 实现等等 而每一种情况里运动仍可以相当复杂 , 比如在 。 的条件里 ,梁可在相对于 二 的一个平衡位置摆动几次之后再进人 , 或 , 尽管要详细地描述关于时间历程的位移 ,速 度情况十分烦复 ,但是究竟应发生那一种具体的运动则完全是确定的简单地说几乎由 。值 所决定 因此当我们丢开这些运动历程的细节 ,而笼统地说 , , , 二 。, 乃 第 期 朱文弊等 非线性边界约束下梁的弯曲振动 · · 时 ,一个抽象的点映射建立起来了 ,从这里出发 ,我们讨论该系统的周期解及其稳定性 ,进而 找出随参数变化而弓起的分叉现象 ,直至浑沌 计算实例与实验结果 根据实验安置的方便 ,取占 占 ,且叮 , 。 ,伪 , 整个实验 框图如图 所示 在悬臂梁固持端附近用电阻片作全桥邻边测量 经过动态应变以后的电信 号由一个低通的贝塞尔滤波器滤去各种可能的高频干扰信号 , 以避免虚假讯号在经过徽分 器之后产生很大的系统失真 位的采样示波器由振动台激励频率下的信号触发 ,并按这一 频率等时地采集应变与应变时变率信号 在第二 、 第三节所阐述的关系下 , 它们与计算描述 点的位移与速度有确定的对应关系梁的位移 , , 与速度公 , 有这样的关系 ￡ 一 “ 一 百 日 到 司二 。 , 一 占 公 , 为测量点 座标 , 为梁厚 示波器除在显示屏中将二个输人信号按 一 作平面显示外 , 又将这些信号数字化而输人计算机 因为采样示波器只有固定的记数内存所以有一个屏幕 显示点数的上限值 , 不能象计算工作中那样可以无止境地追求精度 它送人计算机的数字信 号也只能限制在 位 进码的范围之内 动动态电阻阻阻 一 应应变仪仪仪 计算机机 绘绘绘绘绘绘绘绘绘绘图仪仪电电荷荷荷荷荷荷 放放大器器器器器器器器器器器器器 激激激激振台台台台台台台台台 功功功功功功功功功率率率 信号号数数字字字字字 放大器器器 发生器器 电电压表表表表表表表表 图 我们用改变外激励的 。值 ,观察运动情况 当犷。较小时 ,梁的稳定强迫振动都是周期 ‘ 一 一 一 泥 。 二 , , , , , 一 , 一 、 , 一 , 、‘ 一 刚 即派初周朋勺一一砰 , 田 斗 是头拉册得田箱朱 囚因堆圆相迎寸询早念臂架田汪沮派初盯 固持处应变一应变时率的关系 外侧的形状是由于随着 犷。的增大 , 自由端接触到 和 的 缘故 从简单悬臂梁跃变成悬臂一简支梁 ,使运动速度发生急剧变化湘应漳固定端处应变时 率也将有剧变 数字计算结果与此相符 · · 固 体 力 学 学 报 , 年 一 占 卫 月口了占二对口‘甘一一 主护‘防防防角 二二 妙妙妙叼 第 期 朱文弊等非线性边界约束下梁的弯曲振动 为了较清晰地了解随着 。增大发生的分叉后运动 , 图 与图 分别给出了在上述参数 , ‘ 、‘ 泥 、 , , , 兀 、 、 , 一 一 二 , 、 、 。下对应 犷。 和 犷。 的周期 群 和周期 佯 运动在距固定端 斑描述点 的计算相轨迹 在图 中, 段对应外激励负向加速运动声点对应自由端接触上支座 ,因梁具有很大的正向速度 , 描述点仍作正向运动 ,但由于结构的刚度突增 ,速度急剧下降 , 达 到最大位移点 之后 , 速度改变方向而加速 在 点处 自由端脱离 ,又成为简单悬臂梁 ,所储 存的变形能与这样的结构是不相配合的 , 因此将急剧加速成梁的正向运动速度 , 因此出现 刀召 段 ,运动始终在正方向进行而使 自由端接触到 ,之后又在悬臂简支的条件下到达 , 在 这段期间内外激励已差不多完成了一个周期 对应尸点 ,正是由正向激励转向负向激励的前 夕 ,加速度绝对值很小 ,所以整个图 所示框架与梁有几乎相似的速度 ,二者的相对速度变化 又呈缓慢 ,而梁相对于框架所定中性平衡位置的距离却迅速减小 ,直至 点 之后 ,外激励进 人第二个周期 ,可是悬臂梁正在急速地向下运动 ,终于将使自由端下触到 之后 , 图 左半 部的运动的描述围绕着 进行 外激励的第三周时系统的状态又到了 点 若使自由端的 运动看 ,它是二次接触 ,脱离上支座 ,尔后又二次接触脱离下支座 与图 所描述的与上 下支座各触 、 离一次的周期 运动相比自然要复杂得多 用类似的办法可解释图 所示的 周期 运动 这种周期倍化的现象持续到 犷。 二 , 此时运动相迹图变得复杂 为了较清晰地反映混 沌现象 ,我们观察 一 。, 处 , 截面上运动截点的映射情况 ,并且以 , 一 琴作截断泥 , 娶, “ 一“ 一 , ””“‘“ “ 、 ’ 一 ‘ 、一 ’了 尹 一 一一一 ‘ ”、 少 、 ’“ ‘ ’ , ‘ ’ 一 ’ 一 ” 犷 “ 一 者只取 , 粤的余数部分 便得图 所示的映射下吸引子形状 同一条件下 ,倘若以时间隔△, ” ‘ ’ 一 『一 ’ 一 ’ , ’一 ”一 州 ’ 一 ”一 ’ “ ’ ‘ ” 、 ’ ” ’ “ ‘ 一 ’ 八 、 ” ”’一 ’ 一曰 一 ” ” ’ , ””一 兀 一 一 ‘ 一 , , , , ‘ ‘ , 一 一 , 、 、 , 二 , 一 一二 臀考察 , 均相面上的映射点集的话 , 吸引子就呈图 的形式 与此同时按图 装置测量‘ “ ’ 、一 ’ 一 ‘ ”一一 一 ”’“ , ‘ ’ ’‘一一 ’ ’ ” ’ 一一 一 ’ ‘ 一 一 , 一 , 一 ” ’ 一 , 一一 一 一 ’”一 的应变 应变时率也反映出奇怪吸引子的模式 ,其结果如图 夕所示 , 由于实验中绝对精度与 可取数据数的限制 , 图 上可反映的总点数为 乃 亨才次岸﹄,,’ 洲左荡护铆‘ 、,月厂仁卜 ,,,’关孙酬昏矿 图 · · 固 体 力 学 学 报 年 占 一 叭 ‘ 一 、 , 戈 奋 气 几“ 、 、于’ 护 , 护 夕产 , 二 飞 尸 几犷 、尸七叼︸心 、、,厂︺ , 艺、,‘ ,曰 二 二犷。·· 了曰州饥、 飞 、 、 、 奇 、 讼 ·之卜 扣、护、‘ 、口 一 。 一 占 图 甘 , 执优 丫 图 第 期 朱文弊等 非线性边界约束下梁的弯曲振动 除了用改变 。值来研究系统的周期倍化和奇怪吸引子外 ,维持犷。不变 ,改变外激励频 率 也容易得到分叉与浑沌现象 ,分析计算与实验方法几乎全相同 利用胞映射对本系统进 行计算的结果表明在 犷。 条件下的相当大相空间范围内只有上述奇怪吸引 子 ,其吸引范围内没有交叉吸引的情况 参 考 文 献 川 朱文骆 ,沈建平汾段线性系统强迫振动分板振动与冲击 , 乃, 卜巧 【 , , 一 , , 一 , 一 」 , , , 一 , , , , , , , , 如 ‘和月才 山 阁 , , , ,