2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试题及答案解析

绝密★启用前2020-2021学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N＝（　　）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|﹣1＜x＜3}2．“sinα＝”是“α＝”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝lnx+x2﹣8的零点所在区间是（　　）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）4．已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（　　）A．16cm2B．18cm2C．20cm2D．22cm25．设a＝log0.30.2，b＝ln0.2，C＝0.30.2，则（　　）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）A．B．C．D．7．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）+f（2022）+f（2023）＝（　　）A．2B．1C．0D．﹣18．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），则函数g（t）＝M（t）﹣N（t）的最小值为（　　）A．B．1C．D．二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（　　）A．y＝10x﹣10﹣xB．C．y＝x3D．y＝|sinx|10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）B．函数f（x）的值域是RC．函数f（x）的图象关于x＝1对称D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）11．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）的初相为B．若函数f（x）在上单调递增，则ω∈（0，2]C．若函数f（x）关于点对称，则ω可以为D．将函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为202312．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列结论正确的是（　　）A．1＜m≤2B．sinx1﹣cosx1＞0C．4x3+x4＞﹣1D．x12+x22+的最小值为10三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，则实数m＝　　．14．＝　　．15．已知α，β满足，，，，则sin（α﹣β）＝　　．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为　　．四、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字、演算步骤或推理过程）.17．已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，姚娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．19．函数f（x）＝sin2ωx+sinωx•cosωx（ω＞0）且满足________①函数f（x）的最小正周期为π；②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，且|x1﹣x2|的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题．（1）确定ω的值并求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的值域．20．已知函数．（1）当m＝0时，解不等式：f（x）＞2；（2）若函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝18，求实数m的值．21．先将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β满足，且，设，求函数g（x）在上的最大值．22．已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）已知函数，且不等式1≤g（x）≤3，对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题8个小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.1．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则M∩N＝（　　）A．{x|1≤x＜3}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|﹣1＜x＜3}解：∵集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|x≥1}，∴M∩N＝{x|1≤x＜3}．故选：A．2．“sinα＝”是“α＝”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为“sinα＝”可推出“α＝2kπ±，k∈Z”，推不出“α＝”，所以不是充分条件；“α＝”可以推出“sinα＝”，所以“sinα＝”是“α＝”必要条件；所以“sinα＝”是“α＝”的必要不充分条件．故选：B．3．函数f（x）＝lnx+x2﹣8的零点所在区间是（　　）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：∵函数f（x）＝lnx+x2﹣8，在（0，+∞）上是增函数，则又f（2）＝ln2﹣4＜0，f（3）＝ln3+1＞0，∴f（2）f（3）＜0．由零点判断定理可知函数的零点在（2，3）．故选：B．4．已知扇形的周长为16cm，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为（　　）A．16cm2B．18cm2C．20cm2D．22cm2解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是α，则α＝2，弧长为αr，则周长16＝2r+αr＝2r+2r＝4r，所以r＝4，所以扇形的面积为s＝αr2＝×2×16＝16（cm2），故选：A．5．设a＝log0.30.2，b＝ln0.2，C＝0.30.2，则（　　）A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．a＞c＞bD．c＞b＞a解：∵log0.30.2＞log0.30.3＝1，ln0.2＜ln1＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴a＞c＞b．故选：C．6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）A．B．C．D．解：由图象知A＝2，＝﹣（﹣）＝，即T＝π，即＝π，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ＝π，得φ＝，即f（x）＝2sin（2x+），故选：D．7．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），且x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）+f（2022）+f（2023）＝（　　）A．2B．1C．0D．﹣1解：根据题意，奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x），则f（x+1）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），f（2022）＝f（2+2020）＝f（2），f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1），又由f（x）为周期为4的奇函数，则f（﹣2）＝f（2）且f（﹣2）＝﹣f（2），则有f（2）＝0，且f（1）+f（﹣1）＝0，故f（2021）+f（2022）+f（2023）＝f（1）+f（2）+f（﹣1）＝f（2）＝0，故选：C．8．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），则函数g（t）＝M（t）﹣N（t）的最小值为（　　）A．B．1C．D．解：函数f（x）＝cos4x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，所以函数f（x）的周期为，区间的区间长度刚好是函数f（x）的四分之一个周期，因为f（x）在区间上的最大值为M（t），最小值为N（t），由函数y＝cos2x的对称性可知，当区间关于y＝cos2x的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数g（t）＝M（t）﹣N（t）取最小值，区间的中点为，此时f（t）取得最值±1，不妨f（t）取得最大值M（t）＝1，则有，解得，所以，所以N（t）＝＝，故g（t）＝M（t）﹣N（t）取最小值为．故选：D．二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（　　）A．y＝10x﹣10﹣xB．C．y＝x3D．y＝|sinx|解：对于A，f（x）＝10x﹣10﹣x，f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且在R上为增函数，符合题意；对于B，为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3为奇函数，且在R上为增函数，符合题意；对于D，y＝|sinx|为偶函数，不符合题意．故选：AC．10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）的单调递增区间是[1，+∞）B．函数f（x）的值域是RC．函数f（x）的图象关于x＝1对称D．不等式f（x）＜1的解集是（﹣2，﹣1）∪（3，4）解：由于函数＝log5（x+1）（x﹣3），故函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），故A错误；由于真数能取遍所有的正数，故它的值域为R，故B正确；由于真数为二次函数，且图象关于x＝1对称，故函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确；不等式f（x）＜1，即log5（x+1）（x﹣3）＜1，∴0＜x2﹣2x﹣3＜5，求得﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4，故D正确，故选：BCD．11．已知函数，则下列结论正确的是（　　）A．函数f（x）的初相为B．若函数f（x）在上单调递增，则ω∈（0，2]C．若函数f（x）关于点对称，则ω可以为D．将函数f（x）的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023解：对于A，由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的初相定义可知，A对；对于B，⇒，，，当k＝0时，递减区间为[，]⇒≤，≤⇒0＜ω≤2，则B对；对于C，函数f（x）关于点对称，则2sin（ω﹣）＝0⇒，ω﹣＝kπ⇒ω＝，k∈Z，所以ω不可能为，则C错；对于D，，当x＝0时，2sin（ω﹣）＝0⇒ω﹣＝⇒ω═，k∈Z，所以ω不可能为2023，则D错；故选：AB．12．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列结论正确的是（　　）A．1＜m≤2B．sinx1﹣cosx1＞0C．4x3+x4＞﹣1D．x12+x22+的最小值为10解：作出f（x）的图像如下：若x＞﹣1时，f（x）＝|log2（x+1）|，令f（x）＝2，得|log2（x+1）|＝2，即log2（x+1）＝2或log2（x+1）＝﹣2，所以x+1＝22或x+1＝2﹣2，解得x＝3或x＝﹣，令f（x）＝1，得|log2（x+1）|＝1，即log2（x+1）＝1或log2（x+1）＝﹣1，所以x+1＝2或x+1＝2﹣1，解得x＝1或x＝﹣若x≤﹣1时，f（x）＝2，令f（x）＝2，得2＝2，解得x＝﹣1或﹣3，令f（x）＝1，得2＝1，即（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，当1＜m≤2时，f（x）＝m有四个实数根，故A正确，由图可知﹣3≤x1＜﹣2，﹣2＜x2≤﹣1，﹣≤x3＜﹣，1＜x4≤3，对于选项A：1＜m≤2，f（x）＝m有4个根，故A正确．对于选项B：因为﹣3≤x1＜﹣2，所以当﹣3≤x1≤﹣，sinx1≥cosx1，即sinx1﹣cosx1≥0，当﹣＜x1＜﹣2，sinx1＜cosx1，即sinx1﹣cosx1＜0，故B错误，对于选项C：因为﹣≤x3＜﹣，所以﹣3≤4x3＜﹣2，所以﹣2＜4x3+x4＜1，故C错误，对于选项D：令y＝x12+x22+logm由于2＝m，2＝m，则x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，所以y＝x12+x22+logm＝（﹣﹣2）2+（﹣2）2+logm＝2log2m+8+logm＝2log2m++8＝2log2m++8，因为1＜m≤2，所以log2m＞0，所以y＝2log2m++8≥2+8＝10，当且仅当2log2m＝，即m＝时，取等号，所以x12+x22+logm的最小值为10，故D正确．故选：AD．三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，则实数m＝　0　．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m+1）x3m+2为定义在R上的偶函数，∴m2﹣m+1＝1，且3m﹣2为偶数，∴m＝0，故答案为：0．14．＝　5　．解：原式＝＝4+lg2+lg5＝4+1＝5．故答案为：5．15．已知α，β满足，，，，则sin（α﹣β）＝　　．解：∵，∴＜α+＜π，则sin（α+）＝，∵，∴＜β+＜，则cos（β+）＝，∴sin（α﹣β）＝sin[（α+）﹣（+β）]＝sin（α+）cos（+β）﹣cos（α+）sin（+β）＝×﹣（﹣）×＝，故答案为：．16．已知函数，x∈R，若使关于θ的不等式f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2成立，则实数m的范围为　m＞2　．解：令g（x）＝，则g（﹣x）＝，而g（x）+g（﹣x）＝＝0，所以g（x）是奇函数，而在R上单调递增，在R上单调递增，所以g（x）是在R上的单调递增函数且为奇函数，而f（2sinθ⋅cosθ）+f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＜2可变形成f（2sinθ⋅cosθ）﹣1＜1﹣f（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m），即g（2sinθ⋅cosθ）＜﹣g（4﹣2sinθ﹣2cosθ﹣m）＝g（2sinθ+2cosθ+m﹣4），由g（x）是在R上的单调递增函数，则使关于θ的不等式2sinθ⋅cosθ＜2sinθ+2cosθ+m﹣4成立，即﹣m＜2（sinθ+cosθ）﹣2sinθ⋅cosθ﹣4，设t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），，则t∈，2sinθ⋅cosθ＝t2﹣1，令h（t）＝2t﹣（t2﹣1）﹣4＝﹣t2+2t﹣3＝﹣（t﹣1）2﹣2，t∈，则h（t）的最大值为﹣2，所以﹣m＜﹣2即m＞2．综上所述：实数m的范围为m＞2．故答案为：m＞2．四、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．已知，且tan2α﹣tanα﹣2＝0．（1）求tanα的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以tanα＞0，因为tan2α﹣tanα﹣2＝0，解得tanα＝2，或﹣1（舍去）．（2）＝＝＝＝．18．2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，姚娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，Mkg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为1000m/s．（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718＜e＜2.719．解：（1）当总质比为200时，v＝1000•ln200，由参考数据得v≈1000×5.3＝5300m/s，∴当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为5300m/s；（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1500m/s，总质比变为，要使火箭的最大速度至少增加500m/s，则需1500•ln﹣1000•ln≥500，化简，得3ln﹣2ln≥1，∴ln﹣ln≥1，整理得ln≥1，∴，则≥27×e，由参考数据，知2.718＜e＜2.719，∴73.386＜27×e＜73.413，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74．19．函数f（x）＝sin2ωx+sinωx•cosωx（ω＞0）且满足________①函数f（x）的最小正周期为π；②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，且|x1﹣x2|的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题．（1）确定ω的值并求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的值域．解：f（x）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx+＝sin（2ωx﹣）+，若①函数f（x）的最小正周期为π，则T＝＝π，即ω＝1；若②已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝，由sin（2ωx﹣）+＝，得sin（2ωx﹣）＝0，若|x1﹣x2|的最小值为，即＝，即T＝π，由T＝＝π，即ω＝1；综上ω＝1，即f（x）＝sin（2x﹣）+．（1）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤2x≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的，单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤2x≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]则sin（2x﹣）∈[sin（﹣），sin]，即sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则sin（2x﹣）+∈[0，]，即y∈[0，]，即函数的值域为∈[0，]．20．已知函数．（1）当m＝0时，解不等式：f（x）＞2；（2）若函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝18，求实数m的值．解：（1）当m＝0时，，则f（x）＞2即，所以log2x（log2x+1）＜0，解得﹣1＜log2x＜0，所以，故，所以不等式f（x）＞2的解集为；（2）联立方程组，则有y＝，所以有，整理可得y2﹣my+m﹣2＝0，因为函数f（x）的图象和函数的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝m，y1+y2＝m﹣2，因为y1＝log2x1，y2＝log2x2，故，所以x1x2+y1y2＝，则2m+m＝20，故m＝4，因为函数y＝2x+x在R上是单调递增函数，所以方程只有一个解，即m＝4．21．先将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β满足，且，设，求函数g（x）在上的最大值．解：（1）函数＝2（sin2x+cos2x）﹣sin2x＝cos2x，函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得y＝2cos2x的图象，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍，得y＝2cosx的图象；所以函数f（x）＝2cosx．（2）因为，所以2cosα•2cosβ＝，即cosαcosβ＝，又，则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣sinαsinβ＝，得sinαsinβ＝﹣，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣＝，＝＝＝＝＝＝2tan2x+3tanx﹣1，设t＝tanx，当时，﹣1≤t≤1，则函数g（x）等价为y＝2t2+3t﹣1，对称轴为t＝﹣＝﹣，则当t＝1时，函数取得最大值，此时最大值为y＝2+3﹣1＝4，即函数g（x）在上的最大值为4．22．已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）已知函数，且不等式1≤g（x）≤3，对∀x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）在[1，2]上任取两个数x1，x2，且1≤x1＜x2≤2，因为函数f（x）在x∈[1，2]上为单调递增函数，所以满足f（x1）＜f（x2），所以f（x1）﹣f（x2）＝＝恒成立，因为1≤x1＜x2≤2，所以，则恒成立，所以恒成立，因为1≤x1＜x2≤2，所以x1+x2∈（2，4），即，所以a2+1≤4，解得：；（2）当x＜0时，g（x）＝（2x）2﹣a•2x+a2+1，当x＞0时，g（x）＝，所以g（﹣x）∈，所以g（x）∈对于任意x＜0恒成立，令t＝2x，所以h（t）＝对任意x∈（0，1）上恒成立，而h（t）的对称轴为t＝，①即a≤0，所以，解得，②即a≥2，所以，无解，舍去，③即0＜a＜2，所以，解得．综上所述：实数a的取值范围时．PAGE