克罗内克符号(来自周法哲)

克罗内克尔符号δ（Kronecker δ）在现代和计算机科学中神通广大，不可不识。本文初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔符号。 一、克罗内克尔符号的来由 在笛卡儿坐标系中，坐标基矢不仅均为单位矢量，而且两两相互正交（即夹角90度），这样的一组坐标基矢叫做正交基。如下图所示： 图1 三维笛卡儿坐标系 以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系： (1) 即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于0，表明坐标基矢两两相互正交。 为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式： (2) 称之为克罗内克符号，或克罗内克δ（Kronecker δ）。 上述的关系式（1）就可以简洁地记为 (3) 这就是同一组正交标准基内部的点积关系。 二、克罗内克符号的矩阵形式 由定义式（2）不难构想，以克罗内克符号的分量为元素，可以构成一个矩阵 (4) 显然是一个单位矩阵。即 (5) 这可以看作是克罗内克符号定义的矩阵形式。当然也是个对称矩阵，即有 (6) 克罗内克符号可以推广到n维的笛卡儿坐标系去使用，只要牢记它的两个指标均遍历其取值范围即可。即式（2）、（4）、（5）、（6）都不言而喻地隐含 (7) 在n维笛卡儿坐标系中，克罗内克尔符号的矩阵形式可以是n×n阶单位矩阵。 三、克罗内克尔符号的基本性质及用途 有了克罗内克尔符号，在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为： (8) 和 (9) 注意：这里使用了爱因斯坦求和约定。一对哑标（如i）可以同时用其它小写字母（如j）替换。替换哑标字母是为了作矢量乘法时避免指标混乱。 则这两个矢量的点积就可以表示为 (10) 根据克罗内克尔符号的定义式（2）或（5）可知，指标i不等于j的求和项全为0，只有i＝j的几项参加求和（这几项δ的数值为1），所以上式的求和结果还可以写成 (11) 这与我们过去熟悉的矢量点积的如下算式殊途同归。 (12) 注意：比较式（10）和（11）的结果，可以发现克罗内克符号的一个重要性质： (13) 即：如果求和项中的哑标是克罗内克尔符号的指标之一，则结果是消去克罗内克尔符号，且另一个哑标因子的指标改换为原克罗内克尔符号的另一个指标（非哑标）。一般地，克罗内克尔符号的这个性质可表示为 (14) 综上所述，在n维笛卡儿坐标系中，任意两个矢量的点积运算过程可简洁地描述为 (15) 克罗内克尔符号还有许多性质和更多的用途，请注意周法哲今后的相关博文。不过克罗内克尔符号可以描述矢量乃至张量的点积运算，那么，矢量的叉积有没有简洁的符号表示呢？且听下回分解。