经济类学生用简明实变函数（测度论）讲义－上海财经大学

示无理数集，据 25P 例 1.19 知， ℵ=== RQS US ． 结果： 0)n ( 0 0 >ℵ<ℵ<< n ． Open 问：是否存在介于 0ℵ 与ℵ之间的势？ 实数列全体可表示为 } x ) , x x,{( nn 21 RxR ∈=∞ LL，， ． ∞⊂××××××∈= R }0{}0{} x ) x x,{( in 21 L4434421 LL n n RRRRxR ～，， ． 例 2. ℵ=∞R ． 从而， ℵ===== ∞RRRR nL21 ． 证：令 } 1) (0, x ) , x, , x,{( nn21 ∈= LLxA ． 由映射 ) ,)5.0( ,)5.0( ,)5.0(()) , x x,(( 321n 21 LLL πππϕ −−−= xtgxtgxtgx ，， 知 ， ∞RA～ ． 仅 需 证 ℵ=A ． 若把 )1 ,0(∈x 与 A 中点 ), x x,( LL，，xx = 对应，知 )1 ,0( 对等于 A 的一个子集．故 A≤=ℵ )1 ,0( ． 另一方面， Axx ∈=∀ ), x x,( n 21 LL，， ，可用十进制小数表示为： .0 11312111 LL nxxxxx = ， .0 22322212 LL nxxxxx = ， .0 33332313 LL nxxxxx = ， LLLLLLLLLLL x, 0. 321 LL nnnnnn xxxx = ， LLLLLLLLLLL ．利用对角线法则，映射 0. : 132231122111 Lxxxxxxx →ψ 是 A 到 )1 ,0( 中的单射，从而 ℵ≤A ． ∞=ℵ= RA ． p 进制小数：设 ) 3, 2, 1,k ( }, 1p , ,2 ,1 ,0{ }, 4, 3, ,2{ LLL =−∈∈ ktp ． 称级数 2 LL ++++= kkp t p t p tx 2 21 为 p 进制小数． 也记为 LL ktttx 21 .0= ． p 进制有限小数全体是可列集，p 进制小数全体的势为ℵ． 例 3. 可列集的子集全体的势为ℵ，即 ℵ=ℵ02 ． 证：记可列集 ),a a ,( n 21 LL，，aA = ，构造 A 的幂集 A2 到二进制小数全体 ]1 ,0[=B 的映射 f． A2C ∈∀ ，即 AC ⊂ ，定义 LL ntttCf 21 .0)( = ， 其中 ⎩⎨ ⎧ ∉ ∈= C C tn n n a ,0 a ,1 若 若 ． 映射 Bf A →2: 是一一映射． ]1 ,0[22 0 =ℵ=== ℵ BA ． 例 4. 用 ] ,[ baC 表示 ] ,[ ba 上一切连续函数所成之集， y y=f(x) 试证 ℵ=] ,[ baC ． 证：记 +∞= 1}{] ,[ nrbaQ I ． 首先，常值函数 ] ,[ baC∈ ，故 ℵ=≥ RbaC ] ,[ ． o a rn b x 其次，作映射 ∞→ RbaC ] ,[ :ϕ 为 )}({)( 1+∞→ nrfxf ． 由于 )(xf 连续，若 +∞+∞ == 11 }0{)}({)( nrffϕ ，则 ) b] [a,(x 0)( ∈=xf ． 故ϕ 是单射， ℵ=≤ ∞RbaC ] ,[ ． 这样， ℵ=] ,[ baC ． 1.4. 实直线上的开集和闭集 1. 直线上的开集和闭集 开集： x E, x, ∃∈⊂ 若RE 的邻域 ExU ⊂) ,( δ ，称 x 为 E 的一个内点． ( ( ． ) ) E 的内点全体记为 0E ，称为内部．若 0EE = ，称 E 为开集． 0 E x E x 定理 1.17. （开集性质） (1) R ,φ 是开集；(2) 任意个开集的并集是开集；(3) 有限个开集的交集是开集． 证：(1)显然． (2) 略． (3) 设 nGG , ,1 L 是开集．记 I n k kGG 1 = = ．若 G x , ∈∀≠φG ，则 )n , 2, 1,k ( , L=∈ kGx (开)．存 在 x 的邻域 )n k1 ( ,) ,( ≤≤⊂ kk GxU δ ． 取 } , ,min{ n1 δδδ L= ，则 GxU ⊂) ,( δ ，x 是内点， G 是开集． 定义 1.9. (i) E 的聚点全体 E′称为 E 的导集； EE ′\ 中的点称为 E 的孤立点； EEE ′= U 称为 E 的闭 包． (ii) 若 EE ′= ，即 E 是无孤立点的闭集，称 E 为完全集（完备集）． （ 29P 错） (iii) 若 cE 是开集，称 E 为闭集． (iv) −σF 型集 A： U +∞ = = 1 nF n A ， nF( 是闭集)； −δG 型集 B： I +∞ = = 1 nG n B ， nG( 是开集)． 显然，φ和 R 既是开集，又是闭集，也是完全集， −σF 型集， −δG 型集． 定理 1.18．（闭集性质） (1) R ,φ 是闭集； (2) 任意多个闭集之交是闭集． (3) 有限个闭集之并是闭集． 定理 1.19．E 是闭集 EE ⊂′⇔ ． 3 证：若 E 是闭集，则 cE 为开集，且 φ=cEE I ．由聚点定义， cc ) E( ,) E( x ′⊂′∈⇒∈ cc EEx 即 ， EE ⊂′ ． 反之，设 EE ⊂′ ，则 x ,) E( x c ∃′∈⇒∈ 故cEx 的一邻域G，满足 φ=ExG I}){\( ．而 cEx∈ ， φ=∴ EG I ，即 cEGx ⊂∈ ．说明 x 为 cE 之内点，， cE 为开集，E 为闭集． 例 1. 1] [0,E );1 ,0(E ,)1 ,0[ 0 =′== 则ZE U ； ZEEE UU ]1 ,0[=′= ． 由于 EE ⊂′ 不成立，E 不是闭集． 例 2. 证明 E 的导集E′是闭集． 证：需要证 c) E( ′ 是开集． x,) E( x c′∈∀ 不是 E 的聚点，存在 x 的邻域 ) ,( δxU ， ) ,( δxU 中不存在异于 x 的 E 中的点，故 ) ,( δxU 中的每个点均不是 E 的聚点．于是 cExU ) () ,( ′⊂δ ， c) E( ′ 是开集． （书 30P 错） 2. 开集及完全集的构造 开区间 ) ,( ba 是 R 中开集 ( +∞≤<≤∞− ba )． 任意多个开区间之并是开集．另一方面，设开集 RG⊂ ． 则 Gr) xr,(x 0,r G, x ⊂+−>∃∈∀ 使 ． 记 }G x),( , inf{ ⊂<= ααα 且xa ， }G ) ,( , sup{ ⊂>= βββ xxb 且 ． 开区间 ) ,( ba 具有性质： Gb G,a ,) ,( ∉∉⊂Gba ．称 ) ,( ba 为开集 G 的一个构成区间．于是，G 中 每一点必在 G 的一个构成区间．此外，G 的任何两个不同的构成区间必不相交．而 R 中两两不交的开区 间至多有可列个． 定理 1.21. (开集构造定理) 每个非空开集 RG⊂ 可表示为至多可列个两两不交的开区间之并： U In G nn )b ,(a ∈ = ， （I 至多为可列集）． 由于完全集是为无孤立点的闭集，故有如下定理． 定理 1.22. (R 中完全集的构造) 集 RE ⊂ 是完全集 cE ⇔ 是两两不交且无公共端点的开区间之并． 3. Cantor 集 0P ． [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 用 0P 表示 Cantor 集， 0 23 1 23 2 3 1 3 2 9 7 9 8 1 称 00 \]1 ,0[ PG = 为 Cantor 补集． 构造过程： 第一步：将 ]1 ,0[ 三等分，挖去 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 3 2 , 3 1 1G （称为 0G 的一阶区间），留下闭区间 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 3 1 ,0 ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 , 3 2 ． 第二步：对 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 3 1 ,0 ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 , 3 2 分别三等分，挖去中间的开区间： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2221 3 2 , 3 1G 与 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2222 3 8 , 3 7G （称为 0G 的二阶区间），留下 4 个闭区间 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 9 1 ,0 ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 3 1 , 9 2 ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 9 7 , 3 2 ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 , 9 8 ． LLLL 第 n 步：对上一步留下的 12 −n 个闭区间施行同样过程，挖去 12 −n 个开区间： ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n3 2 , 3 1 n ， ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ nn 3 8 , 3 7 ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− n n n n 3 13 , 3 23 ,L （称为 0G 的 n 阶区间）． 记 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= n k n k 3 13 , 3 23G kn ， ) 2 , 2, 1,k ( 1n−= L ， U 1n2 1 nG − = = k knG ． 得 U UU +∞ = = Δ+∞ = − == 1 n 2 1 1 n0 1n GG k kn n G ， 0G 为开集， knknG , }{ 为构成区间．称 00 \]1 ,0[ GP = 为 Cantor 集． 4 由于 ) ,1()0 ,( P 1 n 2 1 c 0 1n ∞+−∞⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= +∞ = = − UUU U k knG 是一列互不相交且无公共端点的开区间之并， 0P 是闭集、完全集． 下面讨论 0P 的势．采用三进制小数表示 ]1 ,0[ 中数．则 0G 中数可表示为： 一阶区间： )0.2 ,1.0( 3 2 , 3 1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ； 二阶区间： )0.02 ,01.0( 3 2 , 3 1 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ， )0.22 ,21.0( 3 8 , 3 7 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ； 三阶区间： )0.002 ,001.0( 3 2 , 3 1 33 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ， )0.0221 ,021.0( 3 8 , 3 7 33 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ， )0.202 ,201.0( 3 20 , 3 19 33 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ， )0.222 ,221.0( 3 26 , 3 25 33 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ． 可以看出， x GGx 1 n0 ⇔=∈ +∞ = U n 中至少有一位数是 1，亦即： x Px 0 ⇔∈ 可表示为由 0 或 2 作为位数构 成的无穷小数 }2 ,0{a ,a .0 nn21 ∈= LLaax ． 再用二进制小数表示 ]1 ,0[ 中数，其小数全体记为 B． 作映射 B→0P :ϕ 为： Bttaax ∈→= LLLL n21n21 t .0 a .0 ， 其中 0P x), 1n ( ,2 ∈≥= n n at ． B P 0 到是ϕ 上的一一映射，故 ℵ=== ]1 ,0[P0 B ． 1] [0, P0 ～ ． 习题一. 34P 6. 证明整系数多项式全体 } )( )({ 为整系数多项式xPxPA = 是可列的． 证：记 }n , 1, ,0i ,a { i2210 LL =∈++++= ZxaxaxaaA nnn ， ) 3, 2, 1, ,0 ( L=n ． 则 U +∞ = = 0 nA n A ． 先 考 虑 nA ． 作 映 射 1n Z: +→nn Aϕ 为 ),,,,( 2102210 nnn aaaaxaxaxaa LL →++++ ， 1n Z +到是 nn Aϕ 上的一一映射， 01nZ ℵ== +nA ． 再由 23P Th1.13 知， 0ℵ=A ． 17. 设 )(xf 是定义于 1R 上只取整数值的函数．试证它的连续点集为开集，不连续点集为闭集． 证：用 C 表示连续点集． 00 x f(x) , x 在C∈∀ 处连续， f(x) 对于 ) ,U(x x 0, ,05.0 0 δδε ∈>∃>= 当 时， 5.0)()(5.0)( 00 +<<− xfxfxf ． 而 )( ),( 0 xfxf 都是整数，故 )()( 0xfxf = ． 0 0x x 这样， )(xf 在每个 ) ,U(xx 0 δ∈ 处连续， 00 xC,) ,U(x ⊂δ 为 C 之内点．C 为开集． 不连续点集 cCD = 为闭集． 21. 设点集列 +∞1}{ nE 是有限区间 ] ,[ ba 中的渐缩序列，且每个 nE 均为非空闭集，试证 I +∞ =1 nE n 非空． 5 证： φ≠nE ，可取 nn Ex ∈ ．得有界数列 ] ,[}{ baxn ⊂ ．它有收敛子列 0xx kn → ， ) k ( +∞→ ． ll ≥∈∀ kn N, 当 时，有 ln EE k ⊂∈knx ． 而 lE 为闭集， lnk Ex k ∈=∴ +∞→lim x0 ． 从而， I +∞ = ∈ 1 0 E l lx ． 5 第 2 章 Lebesgue 测 度 2.1. 引 言 先研究 Riemann 积分． 有界函数 )(xfy = 定义于 ] ,[ ba ．划分 ] ,[ ba ： bxxxa n =<<<= L10 ， 记 1i x −−=Δ ii xx ， }x{ max in 1 Δ= ≤≤ iλ ， 取点 ] x,[ i1−∈ ii xξ ， )n , 2, 1,i ( L= ． f(x) 作积分和 ∑ = Δ= n i iin xfS 1 )(ξ ． 取极限： n b a SdxxfR 0 lim)()( →=∫ λ ． Riemann 积分的基本思想就是用小矩行代替小曲边 梯形．∫ba dxxf )( 表示整个曲边梯形的面积之和． 0 0xa = 1x 1−ix ix 1−nx bxn = x 记 } x)(inf{} x)(sup{ 1i1i iii xxxfxxxf ≤≤−≤≤= −−ω （振幅），则 )(xf 在 ] ,[ ba 上 R 可积 0 lim n 1 i0 =Δ⇔ ∑ =→ i ixωλ ． 微积分于十八世纪由 Newton—Leibniz 开创，后经 Cauchy、Riemann 等人的改进，十九世纪后期已经 成熟． R 积分的两大局限： (1) R 积分基本上只适用于连续函数． Dirichlet 函数 ⎩⎨ ⎧ ∈ ∈= S1] [0, x,0 Q1] [0, x,1 )( I I xD ． 1)(0)( 1 0 1 0 =<= ∫∫ － dxxDdxxD ， 非 R 可积． (2) R 积分中极限交换及累次积分交换的条件太强（大多要求一致收敛、绝对收敛等条件）． 新积分应运而生，（法）Lebesgue 积分诞生于 20 世纪初．它克服了两大局限．L 积分对象是可测函数．应 用广泛．测度积分形成后，建立了泛函分析理论． 数硬币试验．改分割定义域为值域． y yn=d yi iξ yi-1 y0=c 0 a b x iE 现设 df(x)c ] ,[ <≤∈ 时，bax ．划分 ] ,[ dc ： dyyyc n =<<<= L10 ， 记 ,y 1i−−=Δ ii yy }y{ max in 1 Δ= ≤≤ iμ ， 取点 ]y ,[ i1−∈ ii yξ ， )n , 2, 1,i ( L= ． 作积分和 ∑= ⋅= n i iin mET 1 ξ ． 取极限： ∫∑ Δ =→ =⋅ b] [a, 1 0 dm f (L) lim n i ii mEξμ ． 6 其中 imE 为可测集 iE 的长度（测度） ， )( 1 iii yfyEE <≤= − ))( { 1 ii yxfyEx <≤∈= − ， ] ,[ baE = ． 可测集 iE 可能不规则．例如， SDE I]1 ,0[)3.00( =<≤ ； QDE I]1 ,0[) 1.18.0( =<≤ ，（ )(xD 是 Dirichlet 函数）． 要定义 L 积分，应先定义测度 imE ．它是区间长度概念的推广．应当满足： (1) 非负性： 0m ,0 =≥ φimE ．(2) jijiji EEEEEE \ , , UI 是可测集． (3) 可列可加性：若 +∞1}{ iE 是一列互不相交的可测集，则 U +∞ =1 iE i 也是可测集，且 ∑+∞ = +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 1 i 1 i mEE ii m U ． 2.2. 有界集的测度，可测集 本节讨论有界点集的内、外测度． 定义 2.1. (开集、闭集的测度) (1) abb) m(a, ;0 −==φm ． (2) 若非空有界开集 G 的构造为 U Ii iiG ) ,( ∈ = βα ，定义 G 的测度为 ∑ ∈ −= I )( i iimG αβ ． (3) 定义闭集 b) (a,F⊂ 的测度为 F]\b) (a,[mF mab −−= ． 结论： (1) +∞∀ 使开和 ． 由于 U +∞ = ⊂ 1 kG k E （有界开），于是 ε+<≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤ ∑∑ +∞ = +∞ = +∞ = 1 k * 1 k 1 k * EmmGG kkk mEm U ． 令 0→ε ，可得结论． (4) 0, >∀ε 及正整数 nk ≤ ，存在闭集 kk EF ⊂ ，使 nEm k ε−> *kmF ． }{ kE 互不相交，故 }{ kF 互不相交． 由于 UU n kk E 1 k 1 k EE = +∞ = ⊃= ， 从而 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≥ == UU n k n k mmEm 1 k 1 k * * FF ε−>= ∑∑ == n 1 k * n 1 k EmmF kk ． 令 0→ε ， 得： EmEm kk * 1 k ** n 1 k * Em Em ≤⇒+∞<≤ ∑∑ +∞ == ． 定义 2.3. 有界集 RE ⊂ ，若 EmE **m = ，称 E 为 Lebesgue 可测集，记 E*mmE = ．若 0mE = ，称 E 为零 测集． 例 2. 若 BmBAA *** )(m ,0m == U则 ． 证：由外测度单调性， BmBA ** )(m ≥U ． 再由次可加性， BmBmAmBA **** )(m =+≤U ． 于是 BmBA ** )(m =U ． 例 3. 闭区间 ] ,[ ba 是可测集． 证：取闭集 ] ,[ baF = 得： abmFbam −==] ,[ * ． 另取开集 ] ,[)1 ,1( ba n b n aGn ⊃+−= ，得： ) n ( , 2] ,[* +∞→−→+−=≤ ab n abmGbam n ． 所以 b] ,[] ,[] ,[ * * amabbambam =−== ，可测． 同理，每个区间 I 是可测集， =mI 区间测度． 单点集是可测集， 0}{ =am ． 例 4. 开集 1mG ),1 ,0( =⊂ 且G ．问 )1 ,0(=G 是否成立？ 解：不成立．如 1mG ).1 ,0()1 ,5.0()0.5 ,0( =⊂= UG ． 2.3. 可测集的性质 本节讨论可测集的性质． 定理 2.2. 有界集 E 可测 0, >∀ε 存在有界开集 FEG ⊃⊃ (闭集)，使 ε<)\( FGm ． 证：“⇐”. 假设 0, >∀ε 存在开集 FEG ⊃⊃ (闭)，使 ε<−= mFmGFGm )\( ，即 ε+< mFmG ． 故 εε +≤+<≤≤ EmFmGEE ** * mmm ，令 0→ε ， 得： EE * * mm = ． “⇒”. 假设 E 可测，则 mEEE == ** mm ． 据内、外测度定义， ∃>∀ 0, ε 开 FEG ⊃⊃ (闭)， 使 22mmF ,22mmG * * εεεε −=−>+=+< mEEmEE ． 故 ε<−= mFmGFGm )\( ． 定理 2.3. 基本集 ) ,( baX = ，那么： (1) E 可测 cE ⇒ 可测． (2) 21 EE， 可测 212121 E\E ,EE E IU ，E⇒ 可测． (3) 21 EE， 可测， 21 EE ⊂ 21mE mE≤⇒ ． (4) nEE , ,E , 21 L 可测，互不相交，则 ∑ == =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ n k n k mm 1 k 1 k )(EEU ． 证：(1) 设 E 可测，由 Th2.2， 0, >∀ε ∃开 FEG ⊃⊃ (闭)， 9 使 2)\( ε∀ε ∃开 iii FEG ⊃⊃ (闭)，使 ) 2 1,i ( ,2)\( =< εii FGm ． 记 21 GGG U= （开）， 21 FFF I= （闭）．则 )\()\(\ ,)( 221121 FGFGFGFEEG UU ⊂⊃⊃ 且 ， 故 ε<+≤ )\()\()\( 2211 FGmFGmFGm ， 21 EE U 是可测集． ccc EEEE )( 2121 UI = 可测； cEEEE 2121 \ I= 可测． (3) 若 21 EE ⊂ ，根据外测度单调性有 22*1*1 EmmE mEEm =≤= ． (4) 根据内、外测度性质得： ∑∑ === ≥≥⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ n k n k n k mmm 1 k 1 k * 1 k* EEEU ； ∑∑ === =≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ n k n k n k mmm 1 k 1 k * 1 k * EEEU ． 而 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ == UU n k n k mm 1 k * 1 k * EE ，结论成立． 定理 2.4. 基本集 ) ,( baX = ， +∞1}{ nE 为可测集列，则 IU +∞ = +∞ = 1 n n 1 n E ,E n 都是可测集，且 ∑+∞ = +∞ = ≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 1 n 1 n EE nn mm U ．若 +∞1}{ nE 互不相交，则 ∑+∞ = +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 1 n 1 n EE nn mm U ． 证：先设 +∞1}{ nE 互不相交，则 ∑∑ +∞ = +∞ = +∞ = +∞ = ≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛≤ 1 n 1 n * 1 n * 1 n EEEE nnnn mmmm UU ， 得 ∑+∞ = +∞ = +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 1 n 1 n * 1 n * EEE nnn mmm UU ， U+∞ =1 nE n 可测． 若 +∞1}{ nE 为一般可测集列，令 ) 2n ( ,E\F , n 1 kn11 ≥⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛== = U k nEEF ，则 UU LUULUU +∞ = +∞ = == 1 n21 1 n FE n n n FFF ， +∞ 1n}{F 互不相交，每个 nF 可测， nn EF ⊂ ，故 ∑∑ +∞= +∞ = +∞ = +∞ = ≤=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ 1 n 1 n 1 n 1 n mEmFFE nnnn mm UU ． c nn ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ∞+ = ∞+ = UI 1 c n 1 n EE ，可测． 例 1. 设 +∞1n}{E 是可测集列，且 U +∞ =1 nE n 有界，那么： I U +∞ = +∞ =+∞→ = 1 kn E E lim n nk n ， U I +∞ = +∞ =+∞→ = 1 n k kE lim n n n E 都是可测 集． 例 2. 设 ) ,( ba 为基本集． (1) (下半连续性) 若 +∞1}{ nE 是单增可测集列，则 n n 1 n n Elim E mm ∞+→ +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛U ． 10 (2) (上半连续性) 若 +∞1}{ nE 是单减可测集列，则 nn 1 n n Elim E mm +∞→ +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛I ． 证：(1) 若 +∞1}{ nE 单增，则 ) (E ),E \(EE 01n 1 n n 1 n n φ== − +∞ = +∞ = UU ． +∞− 11}\{ nn EE 可测，互不相交，从而 n 1 1kk 1 1nn 1 n n mElim)E\m(E lim)E\m(EE +∞→= −+∞→ +∞ = − +∞ = ===⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∑∑ n n knn m U ． (2) 若 +∞1}{ nE 单减，则 +∞ 1}{ c nE 单增， 故 nncn 1 n c n mElimab)mEa(blimmElimE +∞→+∞→+∞→ +∞ = −−=−−==⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ nnn m U ． 而 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛−−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∞+ = ∞+ = ∞+ = IIU 1 n n 1 n n 1 n c n EEmE mabm c ， 所以 nn 1 n n Elim E mm +∞→ +∞ = =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛I ． 例 3. 设 ) ,( ba 为基本集， +∞1}{ nE 是可测集列，证明： n n n n mEEm +∞→+∞→ ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ lim lim ， ( ) nnnn mEEm +∞→+∞→ ≥ lim lim ． 证： U I +∞ = +∞ =+∞→ = 1 n k kE lim n n n E ，记 I +∞ = = n k kEnF ， +∞1}{ nF 单增可测， nn EF ⊂ ，据例 2 得： n n nn n n n mEmFmEm +∞→+∞→ +∞ =+∞→ ≤=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ limlimFlim 1 nU ． I U +∞ = +∞ =+∞→ = 1 kn E E lim n nk n ，记 U +∞ = = nk B kn E ， +∞1}{ nB 单减可测， nn EB ⊃ ，据例 2 得： ( ) n 1 nn mE limlimBE lim +∞→+∞→ +∞ =+∞→ ≥=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= nnn n n Bmm I ． 设 ) ,( ba 是基本集，对可测集 ) ,( baE ⊂ 有 abEEmmEmE cc −==+ )( U ． 对一般子集 E，有如下结论． 定理 2.5. 设 ) ,( ba 是基本集，则 ) ,( baE ⊂∀ 有 abEmEm c −=+ * * ． （书 52P 错） 证： ∃>∀ 0, ε 闭 EF ⊂ ，使 EmmF *>+ε ． (a) 由于 开 cc EF ⊃ ，于是 mFabmFEm cc −−=≤* ． (b) 由 (a) 与(b)得 ε+−≤+ abEmEm c* * ． 令 +→ 0ε 得 abEmEm c −≤+ * * ． (c) 另一方面，取 ) ,( ba 中开集 cEG ⊃ ，使 cEmmG *<−ε ． 但 EGba ⊂]\) ,[( ，故 EmGbamGbam * * ]\) ,[(]\) ,[( ≤= ． 从 而 εε −−=−+>+ abGbammGEmEm c ]\) ,[(* * ． 令 +→ 0ε 得 abEmEm c −≥+ * * ． (d) 等式成立． 定理 2.6. (希腊 Caratheodory 条件) 有界集 E 是可测集 ∀⇔ 有界集 A，成立 )()( *** cEAmEAmAm II += ． (1) 证：“⇐”. 设 ) ,( baE ⊂ ，取 ) ,( baA = ，(1)式成为 cEmEmab ** +=− ． (2) 由 Th2.5， cEmEmab * * +=− ． (3) 由(2)、(3)得 EmEm ** = ，E 为可测集． “ ⇒ ” . 设 E 是 可 测 的 ， A 是 有 界 集 ． 0, >∀ε ∃ 开 )()(m * cEGmEGmmGAAG II +=≥+⊃ ε使， 11 )()(m ** cEAmEA II +≥ ．（外测度单调性） 令 +→ 0ε 得 )()( *** cEAmEAmAm II +≥ ． (4) 另一方面， )()( cEAEAA IUI= ，由外测度的次可加性得 )()( *** cEAmEAmAm II +≤ ． (5) 根据(4)和(5)，(1)成立． 说明：设 ) ,( ba 是基本集．据运算性质，可测集关于并、交、差、可列并、可列交运算封闭，都是可测集．全 体开集、闭集都是可测集．因此，一般遇到的集合都可测．但确实有大量的不可测集存在． 定理. 对于 RE ⊂ ，若 0* >Em ，则存在 EF ⊂ ，使得 F 不可测． （利用 Lebesgue 外测度的平移不变性可构造上述 F）． 2.4. 无界可测集 定义 2.4. 设 RE ⊂ ，若 )n ,(E , n nENn −=∈∀ I集 是可测集，则称 E 为可测集．测度为 nn EmE +∞→= lim ． （以上mE必存在，可能为 ∞+ ）． 例 1. Z 是无界可测集， 00lim)]n ,([mlim ==−= +∞→+∞→ nn nZmZ I ． +∞= 1}{ nrQ 也是可测集， 00}{m 1 1 === ∑∑ +∞ = +∞ = nn nrmQ ． QRS \= ， 是 可 测 集 ， +∞=−=−−=−= +∞→+∞→+∞→ )02(lim)]}n ,([\n) n,m{(lim)]n ,([mlim nnQnSmS nnn II ． 例 2. 设 FE、 是可测集， )]n ,([)]n ,([)n ,(F)E ( , nFnEnNn −−=−∈∀ IUIIU有 ，可测； )]n ,([)]n ,([)n ,(F)E ( nFnEn −−=− IIIII ，可测； )]n ,()[)]n ,([)n ,()()n ,(F)\E ( nFnEnFEn cc −−=−=− IIIIII ，可测． 所以， FEFEFE \ , , IU 都是可测集． 例 3. （可列可加性）设 +∞1}{ kA 是互不相交的可测集列，则 I +∞ = = 1 kA k E 也可测，且 ∑+∞ = = 1 k kmAmE ． 证： +∞=−∈∀ 1 )}n ,({ , kk nANn I 是互不相交的有界可测集列，且 ])n ,([)n ,( 1 U II +∞ = Δ −=−= k kn nAnEE 是可测集，根据有界集测度的可列可加性得 ∑∑ +∞ = +∞ = ≤−= 1 1 n)] ,([ k k k kn mAnAmmE I ． 令 +∞→n 得 ∑+∞ =+∞→ ≤= 1 lim k knn mAmEmE ． 另一方面，∀正整数 N，有 ∑∑ = +∞ = −≥−= N k k k kn nAmnAmmE 1 1 n)] ,([n)] ,([ II ， 由于 nE ↗ E ，令 +∞→n 得 ∑ = ≥ N k kmAmE 1 ． 从而， ∑+∞ = ≥ 1 k kmAmE ． 等式成立． 补充内容：测度的平移不变性及不可测集 定义 1．设 RE ⊂ ， Ry∈ ．称 ExExyxEy +=∈+= } { 为 E 关于 y 的平移． 引理 1．设 RFE ⊂ , ，则 Ry ∈∀ 成立： (1) yyy FEFE )( II −= ； (2) cyyc EE )()( = ； (3) )(** yEmEm = ． 定理 1. (测度的平移不变性) 若 E 可测，则 yE 也可测，且 mEEm y =)