0
2 2
0
0
tan
2
tan
0
ln
lim
lnlim
cot
lim 2 1
lim ln
lim
lim sin
1lim
x a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x a
x
x
x x
x x
x
x
x
0
0
0
00
1
0
不定型︵式︶不定型︵式︶
0 0
示无穷小;表示无穷小; 表示无穷大:表示无穷大:1 1 表示极限为表示极限为 1 1 的函数.的函数.
第三节第三节 洛必达法则洛必达法则
与 型不定式
型不定式
几点注意
0
0
0 0, 0 , 0 , 1 ,
首先讨论首先讨论 时时 的情形.的情形.x a 0
0
一、 与 型不定式00
(1) (1) 设设 lim 0, lim 0
x a x a
f x g x
(2) (2) 设设ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在某在某 内可导,且内可导,且 ,N a 0g x
求求
limx a
f x
g x
解法:设解法:设 ,x N a
(1) (1) 定义定义 ff ((aa) = ) = gg ((aa) = 0, ) = 0, 则则 ff ((xx) , ) , gg ((xx))在在[[aa, , xx]]或或[[x, ax, a]]上连续.上连续.
(2) (2) ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在在 ((aa, , xx) ) 或或 ((x, ax, a) ) 内可导,且内可导,且 .0g x
由由CauchyCauchy中值定理得:中值定理得: ,使,使 , ,a x or x a
f f x f a f x
g x g a g xg
x a a
lim limx a a
f x f
g x g
lim
lim
x a
f x
g x
x a
f x
g x
存在
洛必达法则:洛必达法则:
若若ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))满足:满足:
(1) (1) lim 0, lim 0
x a x a
f x g x
(2) (2) ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在某在某 内可导,且内可导,且 ,N a 0g x
(3)(3) limx a
f x
A
g x
或
则有则有
lim limx a x a
f x f x
A
g x g x
或
说明 (1)(1) 可以改为可以改为 或或x a x a x a
(2) (2) 时不定型时不定型 也有相应的洛必达法则.也有相应的洛必达法则.x a
(3)(3)洛必达法则对洛必达法则对 时时 或或 x x x 或
0
0
的情形仍成立.的情形仍成立.
【【例例11】】
0
1 1
lim
x
x
x
1
0
0
0 1
lim
1x
x
0, 1 1 ~x x x
【【例例22】】
3
3 21
3 2lim
1x
x x
x x x
2
2
0
0
1
3 3lim
3 2 1x
x
x x
1
0
0 6lim
6 2x
x
x
1
6lim 1
6x
××
3
2
注意
(1)(1)必须是必须是 或或 型不定式才可以考虑用洛必达法则.型不定式才可以考虑用洛必达法则.00
(2)(2)若若 仍属仍属 或或 型,则可继续用洛必达法则.型,则可继续用洛必达法则. lim
f x
g x
0
0
【【例例33】】 lnlim 0
x
x
x
1
1lim
x
x
x
1lim
x x 0
一般一般 lnlim 0 0k
x
x
x
【【例例44】】 lim xnx e nx 自然数自然数
1lim
x
nx
e
nx
2lim 1
x
nx
e
n n x
lim !
x
x
e
n
一般一般 lim x
x
e R
x
洛必达法则是求不定式的一种有效方法,但与其它求极
限方法结合使用,效果更好.
注意
【【例例55】】
arctan
2lim 1sin
x
x
x
1
x
x
x 1
arctan
2lim
0
0
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
【【例例66】】
2
tanlim
tan 3x
x
x
2
sin cos 3lim
sin 3 cosx
x x
x x
2 2
sin cos 3lim lim
sin 3 cosx x
x x
x x
2
3sin 3lim
sinx
x
x
0
0
3
【【例例77】】
2
40
sin sin coslim
ln 1x
x x x x
x
40
sin sin cos
lim
x
x x x x
x
30
sin coslim
x
x x x
x
20
0
0 sin 1lim
3 3x
x x
x
=-=-1 1
【【例例88】】设设 在在 xx == aa连续,且连续,且 ,求,求 f x 0f a
0
2
lim
x
f a x f a x f a
x f a x f a x
【【解解】】
0
2
lim
x
f a x f a x f a
x f a x f a x
0
0
0
lim
x
f a x f a x
f a x f a x x f a x f a x
0
0
0
lim
2x
f a x f a x
f a x f a x x f a x f a x
2
4 2
f a f a
f a f a
若条件改为若条件改为 在在 xx == aa可导,且可导,且 ,则,则 f x 0f a
0
2
lim
x
f a x f a x f a
x f a x f a x
0
0
0
lim
x
f a x f a x
f a x f a x x f a x f a x
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x
f a x f a f a x f a
x x
f a x f a f a x f a f a x f a x
x x
2
4 2
f a f a
f a f a
【例9】已知 ,求f (x). ln( )( ) lim ( 0)
n n
n
e xf x x
n
ln( )lim
y y
y
e x
y
【解法一】
yy
yy
y xe
xxe
lnlim
ex
exx
01
ln =f (x).
【解法二】
ex
ex
xf
0
)(
ln [1 ( ) ]lim
n n
n
e x e
n
ln [( ) 1]lim
n n
n
x e x
n
ln[1 ( ) ]lim 0
ln ln[( ) 1]lim
n
n
n
n
n x e x e
n
n x e x x e
n
=1
=lnx
.lim)( x
nn
nnxf xx
xx
n
解 时,当 0x x
nn
nnxf xx
xx
n
lim)( x
n
n
x
x
n 2
2
1
1lim
,x
时,当 0x x
nn
nnxf xx
xx
n
lim)( x
n
n
x
x
n 1
1lim 2
2
,x
练习:求
【例10】已知 1 1 1lim 1 ln( 1) (0 )
2 3n
n a a
n
1 1 11
2 3lim
lnn
n
n
计算计算
【解】由已知得
1 1 11 ln( 1)
2 3lim 0
lnn
n
n
n
1 1 11
2 3lim
lnn
n
n
ln( 1)lim
lnn
n
n
ln( 1)lim
lnx
x
x
1 1lim 1
1x
x
x
1 原式
3 3lim ( 1 ) , .
x
x ax b a 求试题:试题: b =? b =?
二、其他不定型
0 0, 0 , 0 , 1 ,
关键关键::将它们化为基本不定型将它们化为基本不定型 ..
0,
0
【【例例11】】
1
1lim
1 lnx
x
x x
1
ln 1lim
1 lnx
x x x
x x
0
1
0
ln 1 1lim 1ln
x
x
xx
x
1
lnlim
ln 1x
x x
x x x
1
0
0 ln 1 1lim
ln 2 2x
x
x
1 ,
1 ,
x
x
1
ln 1lim
1 ln 1 1x
x x x
x x
21
1
1
lnlim
x
x x x
x
(( 型型) )
【【例例22】】 2lim 2x x x x 型型
解法一:原式解法一:原式
2
2lim
2x
x
x x x
(( 型型))
2lim 1
21 1
x
x
解法二:原式解法二:原式
1
20
1 2 1lim
x
t
t t t t
令
0
1 2 1lim
t
t
t
0
0
0 1lim 1
1 2t t
1 1 0 0
0 0 0 0
步骤:
【【例例33】】
0
lim ln
x
x x
1 10 , 0 0
0
或
步骤:
0
lnlim
1x
x
x
20
1lim 0
1x
x
x
0
lim ln
x
x x
若化为若化为 型型00
0
lim
1 lnx
x
x
0
2
0
0 1lim 1 1
ln
x
x x
2
0
lim ln
x
x x
无法求出.无法求出.
0 型型( ) ( )
【【例例44】】
0
lim x
x
x
00( ( 型型) )
ln
0
lim x x
x
e 0
lim ln
x
x x
e 0 1e
0 ( ( 型))
【【例例55】】 tan 21lim 2 xx x
1( ( 型型) )
1
l im ta n ln 2
2x
x x
e
1
ln 2
exp lim
cos 2x
x
x
1
1exp lim
cos 2x
x
x
【【例例66】】 sin
0
lim cot x
x
x
0( ( 型型) )
0
l im s in ln c o t
x
x x
e
0
ln cotexp lim
cscx
x
x
2
20 0
tan csc sinexp lim exp lim 1
csc cot cosx x
x x x
x x x
2
1 2sin2
1limexp e
xx
步骤:
0
0
0 0 ln 0
1 ln1 0
0 ln
取对数取对数
说明 0 00 , , , 0 , 0 , 1 ,
0
不定型:不定型:
洛必达法则 型00 ,1,0
型
型0
型
0
0
型
g
fgf
1
fg
fggf
11
11
取对数
令 gfy
(2) (2) 型型0 00 , 1 ,
g xy f x 先确定是否不定型先确定是否不定型
3, 0,
0, 3,
3, 0,
g x
g x
g x
g x f x f x
g x f x f x
g x f x f x
0 0
1 1
肯定型肯定型
再问:再问: 是肯定型还是不定型?是肯定型还是不定型?, 0
(1)(1) 型型
0 ?? 有界量与无穷大之积仍为无穷大有界量与无穷大之积仍为无穷大 ××
0A A AA表示极限存在但不为零的函数表示极限存在但不为零的函数
方法:化为基本不定型方法:化为基本不定型 或或 .有时常作倒代换.有时常作倒代换
0
0
1x
t
例例
0
1lim ln 1 ln 1
x
x
x
, 0
(3)(3) 型型1
可利用重要极限可利用重要极限 计算.计算. 1
0
lim 1 x
x
x e
lim , 1,g xf x f x g x 其中
解法一:解法一:((凑法凑法))
lim g xf x
11
1lim 1 1
g x f x
f xf x
Ae
其中其中 lim 1A g x f x
lim 1lim g x f xg xf x e
解法二解法二::((取对数法取对数法))
lim g xf x lim lng x f xe lim ln 1 1g x f xe
lim 1g x f x
e
【【例例77】】
2 1
1
0
lim 2 1
x
x x
x
x
e
2
1
0
1exp lim 2 1 1
x
x
x
x e
x
2
0
1exp 2lim
1x
x x
x x
2e
2
1
0
1exp 2lim 1
x
x
x
x e
x
【例8】计算极限 .
n
n
n
1
4
tanlim
【解】 先求
x
x
x
1
4
tanlim
1
1
4
tanlim
x
x
xe
1
t
t
te
1
4
tan
lim
0
t
x 1令
)
4
(seclim 2
0
t
te
2e
2)1
4
(tanlim e
n
n
n
三、几点注意
11.首先判定是否为不定型.首先判定是否为不定型
【【例例11】】
2
1
l i m x
x
x e
【【例例22】】
1
ln
l i m a r c t a n
2
x
x
x
ln arctan
2lim
lnx
x
x
2lim arctan 12x
x
x x
21lim
arctan
2
x
x
x
x
2
2
0
0 1lim 1
1x
x
x
00
21 arctan 12
lim
1x
x x
x
取对数取对数
∴∴ 原式=原式=
1e
22.. 不存在不存在( ( 非非 ) ) 不存在.不存在. lim
f x
g x
lim
f x
g x
【【例例33】】
2
20
1sin
lim
sinx
x
x
x x
2 2
2
0 02
1 1 1 1sin 2 sin cos
lim lim
2 cossin
x x
x x x
x x x x
x xx x
0 0
1 12 sin cos
lim 0, lim
2 cos 2 cosx x
x
x x
x x x x
不存在不存在
2
0 2
1sin
lim
sin
x
x
x
x x
不存在,洛必达法则失效不存在,洛必达法则失效
0
sin1lim 0
sinx
x x
x x x
33.洛必达法则的条件一直满足,但.洛必达法则的条件一直满足,但
,
f x f x
g x g x
一直是不定型或越求越复杂,洛必达法则失效.一直是不定型或越求越复杂,洛必达法则失效.
【【例例44】】lim
x x
x xx
e e
e e
【【例例55】】 .
sin11
)tan1ln(lim
3sincos1
0 xx
xee xx
x
xx
xxxee xxx
x sin
)sin11(1lim
33 sincos1sin
0
xx
xxx
x sin
)sincos1(lim2
3
0
x
x
x
x
x
x
xx cos1
3limsincos1lim2
2
02
3
20
4. 4. 利用其它方法或许比用洛必达法则更加有效.或将利用其它方法或许比用洛必达法则更加有效.或将
洛必达法则与其他技巧结合使用.洛必达法则与其他技巧结合使用.
xx
x
x
xxx
x sin
)sincos1(lim2
3
3
3
0
==6 6
【【例例66】】
0
arctan sin 3 arctan 3 sin
lim
4 sin 3 4 3 sinx
x x
x x
【【解解】】 对对 arctan , 4f t t g t t
在在 [ sin3[ sin3xx, 3sin, 3sinxx ]]或或[3sin[3sinxx, sin3, sin3xx ]]上运用上运用 Cauchy Cauchy 中值定理中值定理::
存在介于存在介于sin3sin3xx与与3sin3sinxx之间的点之间的点 ,使,使
2
1
arctan sin 3 arctan 3 sin 1
14 sin 3 4 3 sin
2 4
x x f
x x g
又又 0 0x 所以所以
原式原式 20
2 4
lim 4
1