直线的方向向量和向量方程学案
A(垂直 B(重合 C(平行 D(平行或重合 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 111,且均在平面, 内,直线l的方向向量,则2(已知,(,0,1)a,(1,,3)b,(,1,1)ab,学习目标 ,,222理解直线的方向向量,掌握直线的
方程, ( ) 掌握利用向量的
证明直线与直线平行、垂直, A(l, B(l与, 相交 ,证明直线与平面平行,证明平面与平面平行, C(l?, D(l, 或l?, ,求解直线与直线所成的角(
ABCD,ABCDABAD111111113.正方体中中,M,N,E,F分别是棱,, 自主预习(预习抄写) ,
BCCD1、直线的方向向量与向量参数方程: 1111,的中点。则平面AMN__________平面EFDB。
All空间任一直线的位置可以由上一个定点以及一个方向确定。 6、两直线垂直的条件:
Pll 向量
示上的方向向量,则对直线上的任一点,有______________,这里是实数。tavv, 设直线的方向向量分别为,则有_________________________. ll,ll,,,121212l那么该方程通常称作直线为以为参数的直线向量参数方程。 t
2、直线的向量参数方程的其他两种形式: ab,,(1(8),-3,-1),2,2的方向向量分别是,则与的位置关系是练习:直线ll,ll1212 (1)___________________________. (2)______________________________.
1_________。 练习(已知直线的向量参数方程为(x,y,z),(5,0,3),t(0,3,0),当时,则对t,7、两条直线所成的角: 2
应直线上的点的坐标是( ) vv,coscos,,,,,,vv 设直线的方向向量分别为,则有_____________ ll,12121253A((5,0,3) B( (,0,)练习:长方体中,,则异面直线与所成角ACABCDABCD,ABBCAA,,,13,BC22111111
353C( D( (5,,3)(,,3)的 222余弦值为______________。 3、直线与直线平行的条件: vv, 设直线的方向向量分别为,则由向量的共线条件,可得或与重合ll,ll//ll12121212
典例
_______________. ,
4、直线与平面平行的条件:
ABA(2,4,0)B(1,3,3)例1:已知点,,以的方向为正向,vv,l (1)已知两个不共线的向量与平面共面,一条直线的一个方向向量为,则由共,v12
l//,l面向量的定理,可得或在平面内_________________________________. ,,PQ,AB在直线上建立一条数轴,为轴上的两点,且分别满足条件: MABC (2)如果三点不共线,则点在平面内________________________. ,ABC,,
5、平面与平面平行的条件: AQQB:=2,QPAPPB::=12 (1);(2)。求点和点的坐标.
vv, 已知两个不共线的向量与平面共面,则由两平面平行的判定与性质得,或,,,//12
与重合_______________. ,,,
13练习(1(若直线l,l的方向向量分别为v,(1,2,3),v,(,,,1,,),则l,l的位置121212 22 关系是( )
今天谁把学习当第一, 未来就一定可以争第一~
例4:已知三棱锥, OABC,OAOBOC,,,453,,,,点分别是面对角线例2:已知正方体AB'ABCDABCD,''''MN,
与面对角线的中点。求证:?侧面AD';?AD',并AC''MNMNoo,,,,,AOBBOCCOA60=90,,分别是棱MN,1且. MNAD,'的中点。 求:直线与所成的角余弦值. OABC,MNAC2
o,ABC=60【变式训练】如图,四棱锥的高,底面是边长为2,的菱形,SABCD,SO,3O
BB'BFDE例3 :已知正方体中,点分别是棱与对角线的中点。 为底面的中心,分别为和的中点,求异面直线与所成的角。 ABCDABCD,''''MN,CA'EF,SASC
MNBBMNAC,,'';求证:.
当堂检测
ax,(2),4,by,(2),,2||6a,1.直线的方向向量,的方向向量为若,且ab,,则ll12BB'BD''【变式训练】已知正方体ABCDABCD,''''中,点EF,分别是棱与面对角线的
EF,AD'中点。求证:直线直线. xy,,( )
A.—3或1 B.3或—1 C.—3 D.1
ab,,,(1)(2),2,-2,,3,22.若直线、的方向向量分别为,则( ) ll12
A.? B. C. 、相交但不垂直 D.不能确定 ll,llll121212
AC3.长方体中,,则异面直线与所成角的 ABCDABCD,ABBCAA,,,13,BC111111
余弦值为______________。
今天谁把学习当第一, 未来就一定可以争第一~
oPABCD,ABCD中,底面是一直角梯形, 9、如图所示,在四棱锥,,BAD90课后延伸
olltan2,1、直线的方向向量为,直线的倾斜角为,则等于 ( ) (1,2),,PA,PDABCD,且底面,与底面成角. ADBCABBCaADa//,,2,,,30
BEPD,.(1)若为垂足,求证 AEPDE,,3344,A. B. C. D. ,AECD(2)求异面直线与所成角的大小(用反三角
表示) 4433
o2、直三棱柱中,,点分别是的中点, ABCABC,DF,ABAC,,,BCA90111111111
,则与所成的角的余弦值是 ( ) BCCACC,,BDAF111
1303015A. B. C. D.
2101015
v,(1,2,3)v,(,4,6),,、的方向向量,的方向向量,若//,则等于( ) 3llll121212 1243A. B. C. D.
MO4、如图所示,在正方体中,是棱的中点,是平面 ACDD11 PAMABCDOP的中心,是上的任意一点,则直线与所AB11
成的角是( )
,,,, A. B. C. D.
4263
5、若两条直线的方向向量分别为和,则这两直(2,1,1),,(1,2,1)AB10、如图所示,已知在直三棱柱中,为的中点, ABCABC,ACBCD,,111
线所成的角为_________. ACBCBB,,. 1DABCD6、已知点,且四边形是平行四边形,则顶点的ABC(3,4,0),(2,5,5),(0,3,5)(1)求证; BCAB,11坐标为_____________________.
(2)求证平面. BC//CAD1117OABC7、已知三点不共线,为平面外一点,若由向量+ ABC,,OPOAOB,,
53
P,确定的点与四点共面,则的值为_________________. (),,R,OCABC,,
ABCDABCD,''''8、如图所示,已知正方体中,点
BB'AC'分别是棱与对角线的中点,求证MN,
. MNACMNBB,,','
今天谁把学习当第一, 未来就一定可以争第一~