正方形的典型例题

正方形的典型例题 正方形?典型例题 能力素质 例1 如图4.6,2，已知正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分?EBC 交DC于F，求证:BE,AE，CF( 解析 证AE，CF,BE，可以把AE与CF相接，证其与BE相等( 证明 延长EA到G，使AG,CF，连结BG( 在正方形ABCD中， BC，?BAG,?C,90?( AB, ??GAB??FCB( ??GBA,?FBC( ?G,?BFC( 又?AB?CD( ??BFC,?ABF,?EBA，?EBF( 又?BF平分?EBC， ??EBF,?FBC( ??GBA,?EBF( ,?BFC,?EBA，?EBF ??G ,?EBA，?GBA ,?EBG( BE,GE,AG，AE,CF，AE( ? 点击思维 例2 如图4.6,3，已知锐角?ABC中，以AB，AC为边向外作正方 形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证:(1)EC,BG;(2)EC ?BG( 解析 易证?EAC??BAG，可得EC,BG，?AEC,?ABG，于是可证 ?EOB,?EAB 证明 (1)在正方形ABDE和正方形ACFG中， AE,AB，AC,AG， ?EAB,?GAC,90?， ??EAB，?BAC,?GAC，?BAC( 即?EAC,?BAG， ??EAC??BAG( ?EC,BG( (2)由(1)知:?EAC??BAG， ??AEC,?ABG( 又??1,?2， ??ABG，?2,?AEC，?1,90?( ??EOB,?EAB,90??EC?BG( 点评 若把例题中，?BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述 两结论仍能成吗,如果成立试证明之( 例3 如图4.6,4，以?ABC的边AB，AC为边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG，AH?BC，交EG于M，垂足为H，求证:EM,MG( 解析 (思路一)过E作AG的平行线交AM延长线于K，连接KG，证 明四边形KEAG是平行四边形行即可( (思路二) 可证E，G到AM的距离相等即可 证法一 如图4.6,4 过E作EK?AG，交AM的延长线于K，连 结GK( ??KEA，?EAG,180?( 在正方形ABDE和正方形ACFG中， AE,AB，?EAB,?GAC,90?( ??EAG，?BAC,180?( ??KEA,?BAC( ?AH?BC( ??BAH，?ABC,90?( 又??EAK，?BAH,90?( ??EAK,?ABC( 又?AB,AE， ??ABC( ??KEA ?EK,AC，又AC,AG( ?EK,AG( ?四边形EAGK是平行四边形( ?EM,MG( 证法二 分别过E，G作AM的垂线，垂足为P、Q， 在正方形GACF中， AG,AC，?GAC,90?( ??GAQ，?CAH,90?( 又AH?BC( ??CAH，?ACH,90?( ??GAQ,?ACH( 又?GQA,?AHC,90?( ??GQA??AHC( ?GQ,AH( 同理可证:EP,AH( ?EP,GQ( 又??PME,?GMQ( ?EPM,?GQM,Rt?( ??EPM??GQM( ?EM,MG( 学科渗透 例4 如图4.6,6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF?AE， CF平分?DCG，求证:AE,EF( 解析 可取AB中点M，连结ME，证?AME??ECF 证明 取AB中点M，连结ME 在正方形ABCD中， AB,BC，?B,?DCB,90?( 又E为BC中点， ?AM,BM,BE,EC( ??BME,45?( ??AME,135?( 又CF平分?DCG( ??ECF,135?( ??AME,?ECF( 又?AE?EF， ??FEC，?AEB,90?( 又??BAE，?AEB,90?( ??FEC,?BAE( ??AME??ECF( ?AE,EF( 中考巡礼 例5 (2001年江苏扬州中考题)如图4.6,7，已知P点是正方形 ?DC，PF?BC，E，FABCD对角线BD上一点，PE 分别是垂足，求证:AP,EF( 证明 连结AC交BD于O，连结PC( 在正方形ABCD中， BD?AC，BD平分AC( ?PA,PC( 又?PE?CD，PF?BC，?DCB,90?( ?四边形PFCE是矩形( ?EF,PC( ?PA,EF( 考点 正方形性质，矩形性质和判定 例6 (2001年江苏泰州中考题)如图4.6,8已 知，正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE?OF， 分别交AB，BC于E，F，若AE,4，CF,3，则EF等于 [ ] A(7 B(5 C(4 D(3 解 易证?AOE??BOF，?EOB??FOC( ?AE,BF，BE,FC( 22222?EF,BE，BF,3，4( ?EF,5( 故选B( 考点 正方形性质，全等的判定和性质，勾股定理(