点到直线的距离公式

点到直线的距离公式 (一)知识教学点 点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用． (二)能力训练点 培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由 特殊到一般的思想方法． (三)知识渗透点 由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律． 1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程． 2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利 用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发 性的图形启发学生逐层深入地思考问题． 3．疑点：点到直线的距离公式是在A?0、B?0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的． 启发、思考，逐步推进，讲练结合． (一)提出问题 已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它 们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离 呢？ (二)构造特殊的点到直线的距离学生解决 思考题1 求点P(2，0)到直线L：x-y=0的距离(图1-33)． 第 1 页 共 8 页 学生可能寻求到下面三种解法： 方法2 设M(x，y)是l：x-y=0上任意一点，则 当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离． 方法3 直线x-y=0的倾角为45?，在Rt?OPQ中，|PQ|=|OP| 进一步放开思路，开阔眼界，还可有下面的解法： 方法4 过P作y轴的平行线交l于S，在Rt?PAS中，|PO|=|PS| 方法5 过P作x轴的垂线交L于S ?|OP|?|PS|=|OS|?|PQ|， 第 2 页 共 8 页 比较前面5种解法，以第3种或4种解法为最佳，那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢？ 思考题2 求点P(2．0)到直线2x-y=0的距离(图1-34)． 思考题 3求点P(2，0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35)． 思考题4 求点P(2，1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36)． 第 3 页 共 8 页 过P作直线的垂线，垂足为Q，过P作x轴的平行线交直线于R， (三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础，我们很快得到 设A?0，B?0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR?Ox， PR与l交于 R(x1，x1)(图1-37)． ?PR?Ox， ?y1=y． 代入直线l的方程可得： 当α＜90?时(如图1-37甲)，α1=α． 当α＞90?时(如图1-37乙)，α1=π-α． 第 4 页 共 8 页 ?α＜90?， ?|PQ|=|PR|sinα1 这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式： 如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以 求出距离． (四)例题 例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离． 解：(1)根据点到直线的距离公式，得 (2)因为直线3x=2平行于y轴，所以 第 5 页 共 8 页 例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离． 解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就 是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)． 例3 正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程． 解：正方形的边心距 设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到 C1=-5(舍去0)或C1=7． 第 6 页 共 8 页 ?与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0． 设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这 解之有C2=-3或C2=9． ?与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0． (五)课后小结 (1)点到直线的距离公式及其证明方法． (2)两平行直线间的距离公式． 1．(1．10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离： 2．(1．10练习第2题)求下列点到直线的距离： 3．(1．10练习第3题)求下列两条平行线的距离： (1)2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0． (2)3x+4y=10， 3x+4y=0． 第 7 页 共 8 页 解：x-y-6=0或x-y+2=0． 5．正方形中心在C(-1，0)，一条边所在直线方程是3x-y二0，求其它三边所在的直线方程． 解：此题是例3交换条件与结论后的题： x+3y-5=0， x+3y+7=0， 3x-y+9=0． 第 8 页 共 8 页