函数最值问题

函数最值问题 姓名:吴雨阳 高中数学 函数最值的一些求法 22xy,(x,4)例1、已知函数，探讨出求这个函数最值的各种方法。 x,3 解法一: 22x99 y,,2[(x,3)，，6],2[2(x,3)，，6],24x,3x,3x,3 当且仅当，即x=6时(舍去x=0),但无最大值。 y,24min 【这种方法叫配凑法，同时用到了基本不等式，应注意什么,】(等号是否能取到)。 解法二: 令x-3=t，则?x?4，?t?1。 22(t，3)99。余同解一。 y,,2(t，，6),2(2t，，6),24ttt 【此为换元法。】解题时应注意什么(1、注意新变量t的变化范围;2、在利用基本不等式时什么时候取到等号。) 评:此法虽与解法一的实质是一样的，但它优于解法一。 解法三: 22?x?4，x-3?0,?转化为方程2x-yx+3y=0.利用判别式法得 Δ=y-24y?0，则y?24或y?0。?x?4，?y>0,?y?24，即，但无最大值。 y,24min 此解法对吗,Δ?0能保证根x?4吗,如何改正, 2,,,y,24y,0,,y,,,4,24,y,32我们利用实根分布法得(1) ,2，2,fyy,(4),32,4，3,0, 2实践检验，取y=40代入，得，解得或(舍)，x,10，210,4x,10,210,4x,20x，60,0 可见存在，使y=40>32，可见上述解法还存在问题，怎样修正, x,10，210 ,，,，4,，,4,，,上述不等式组仅仅给出在上有两个实根的情形，还应补上在上有一实根的情形:(2)、f(4)?0，即y?32。综上(1)、(2)，得y?24。?，但无最大值。 y,24min 评:此法叫做实根分布法，有时简称判别式法。判别式法用到的是必要条件，并不充要，因此应慎用。 解法四: 2x222y,,,,? 11111x,32,，,,，33()2xx612x ?当x=6时。 y,24min 1 教师寄语:天才都是培养出来的 话:0838- 8239589 地 址:小广场豪亨二楼 电 姓名:吴雨阳 高中数学 11111111223()0,,3()又?x?4，?，当时，但，?y无最大值。,,,,,,y,，,x4612612xx【此为配方法。】 解法五(求导法): 2222x4x(x,3),2x2x,12x2x(x,6),,y,y,0.由得，即x=0(舍)或x=6时，列y,,,,0,222x,3，，，，，，x,3x,3x,3 如下: x 4 (4，6) 6 (6，+?) ,y -1— 0 + 6 y 32 24 由上表可得，当x=6时，但无最大值。 y,24min 此法即为导数法。那么用导数法求最值的思路是:?、先通过求导求出各个极值和 函数端点值;?、经比较，取其中最小的就是函数的最小值，其中最大的就是函数的最 大值。上例中当x ?(6，+?)时y递增，所以函数取不到最大值。 小结:配凑法、基本不等式法、换元法、判别式法(或实根分布法)、配方法、求导 法等等。 变式一:将例1中的“x?4”改为“x?8”，其余条件不变。 请用换元法和配方法的同学来回答。 解法一:(换元法) 令x-3=t，则?x?8，?t?5。 22(t，3)99。 y,,2(t，，6),2(2t，，6),24ttt y,24?。 min 2?等号成立当且仅当t=9，此时t=?3，而t?5，?等号取不到。” 9y,x，下面函数的单调性。 x 2,9x,9,?时，x=?3，又x?0，故可列表得: y,1，,,022xx x (-?，-(-3，0 (0，3) 3 (3，+?) -3) 3 0) ,y + 0 - - 0 + y - 6 6 9y,x，根据上表，易得函数的大致图像(如右下图所示)。 y x 96 y,x，由上表和右图可以清楚地看到函数的单调性为: x -3 (,,,,3],[3,，,)[,3,0),分别在上函数是单调递增的，而分别在 O x 3 -6 2 教师寄语:天才都是培养出来的 话:0838- 8239589 地 址:小广场豪亨二楼 电 姓名:吴雨阳 高中数学 9(0,3]上函数是单调递减的。因此函数在区间 y,2(t，，6)t 93(5)2(56)25[5,，,)上是增函数，故，而无 y,f,，，,min55 最大值。 (用到了函数的单调性法) 【当用基本不等式法因等号取不到而失效时，往往利用函数的性质(单调性法)去求函数的最值。可见利用不等式法时必须考虑自变量的取值范围是否能保证等号取到，这是一个陷阱】～ 解法二:配方法 211x22y,,,0,,,x,8,，,，因为其中x ? ,故,所以在这里我们遇到了自111x,3x82,,，3()x612 1y,24变量有界的二次函数求最值问题，必须考虑到x?，也就是说。为此观察式中min6 分母. 111?对称轴与x轴的交点坐标为(，0)，而<，且抛物线开口向下 686 111111,，20,3()?在上时,,，为增函数，当x=时取到最大值， ,,8x6128x,， 325?当x=8时y,，但无最大值。 min5 点评:用配方法求最值时，特别应注意抛物线的对称轴与自变量取值区间之间的相对位置关系，当对称轴不落在区间内时，最小值是区间端点值，而并不是顶点函数值～若区间两端时开的，则无最值。 变式二:将例1中的“x?4”改为“x?a(a>3)”，其余条件不变。 解法一:(换元法) 令x-3=t，则 22(t，3)99。这显然不对。 y,,2(t，，6),2(2t，，6),24ttt 22ay,?x?a，?t?a –3，?当a>6时等号取不到。此时利用函数单调性可得。 mina,3 而当36时，?x?a，??。 ,min,a,36x,， 11当33”改为“a> -1”，是否还存在最小值呢,请同学们去思考。 2例2、在函数y=3x(-1?x?1)的图像上取A，B两点使ABx轴且A的横坐标为t(03)是ΔABC的边BC的中点，求ΔABC的面积取得最大值时C的坐标。 y C 请回答下列问题: (1)、B的坐标( ， )，C的坐标( ， ); M m (2)、?AB?= ，AB边上的高?CH?= ; (3)、S=S(t)= 。ΔABC 22A B 解:?S=2t?m-3t?=2t(m-3t) ΔABC2(?m>3, 00) O 22x -1 1 626t,m,t3()42223 ? 2(3)2S,tm,t,,mm,ABC69 m226t,m,3tt,当且仅当，即时取到等号。 3 【想一想:当m>3, 03,即39时取不到等号。3 2这就要由S(t)= 2t(m-3t)在09, 0