[专题]“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

[专题]“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明( 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1(如图1，BD、CE是?ABC的两条高，M是BC的中点， N是DE的中点(试问:MN与DE有什么关系,你的猜想( 猜想:MN垂直平分DE. 图1 1证明:如图:连接ME、MD，在Rt?BEC中，?点M是斜边BC的中点，?ME=BC，又NE,ND，?2直线MN是线段DE的垂直平分线，?NM?DE(即MN垂直平分DE. 评析:题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解( 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 10A D 例2(如图2，在Rt?ABC中，?C=90，AD?BC，?CBE=?ABE， 2 求证:DE=2AB F 分析:欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等， 图2 E 1B 取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得?AFD， C 2 ?ABF均为等腰三角形，由此结论得证( 1证明:DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，所以?DAF=?ADF，又因为AD?BC，所以?CBE=?ADF，2 1又因为?CBE=?ABE，所以?ABF=?AFB，所以AF=AB，即DE=2AB( 2 评析:本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题( P 三、有中点、无直角，造直角，用性质 D C 例3(如图3，梯形ABCD中，AB?CD，M、N是AB、CD的中点， N K 0?ADC+?BCD=270， 1M A B 求证:MN=(AB-CD)( 图3 2 0证明:延长AD、BC交于P，??ADC+?BCD=270， 0??APB=90，连结PN，连结PM交DC于K，下证N和K重合，则P、N、M三点共线， 11?PN、PM分别是直角三角形?PDC、?PAB斜边上的中线，?PN=CN=DN=CD，PM=BM=DM=AB，22 ??PNC=2?PDN=2?A，?PMB=?PKC=2?A，??PNC=?PKC，?N、K重合， 1?MN=PM-PN=(AB-CD)( 2 评析:本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“? 0ADC+?BCD=270 ”，这样问题就易以解决了 A D 四、逆用性质解题 例4(如图4，延长矩形ABCD的边CB至E，使CE=CA， P P是AE的中点( O 求证:BP?DP( E B C 图4 证明:如图3，连结BD交AC于点O，连结PO， ?四边形ABCD是矩形，?AO=OC=OB=OD， 11?PA=PE，?PO=EC，?EC=AC，?PO=BD， 22 即OP=OB=OD，?BP?DP( 评析:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造?PBD，证BD边的中线等于BD的一半( 请同学们试一试吧～ 1(如图5，?ABC中，AB=AC，?ABD=?CBD，BD?DE于D，DE交BC于E， A 1求证:CD=BE( 2 2(如图6，?ABC中，?B=2?C，AD?BC于D，M是BC的 D 中点，求证:AB=2DM( A E C B 图5 M? C B D 图6 11(提示:结论中的BE是直角三角形的斜边，由BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2 半”，故应取BE的中点F，连结DF，只需证明DC=DF，即证?C=?DFC( 2(提示:取AB的中点N，连结DN、MN即可( 直角三角形斜边上中线性质的应用 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点(它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。 一、直角三角形斜边上中线的性质 90:1、性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图1，在Rt?BAC中，?BAC=，D为 1AD,BC2BC的中点，则。 2、性质的拓展:如图1:因为D为BC中点， 1BD,DC,BC2所以， 1BC2所以AD=BD=DC=， 所以?1=?2，?3=?4， 因此?ADB=2?3=2?4， ?ADC=2?1=2?2。 因而可得如下几个结论:?直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;?分成的 两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰 三角形底角的2倍( 二、性质的应用 1、求值 例1、(2004年江苏省苏州市中考)如图2，CD是Rt?ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ( 1,AB2解析:由性质可知:CD， 所以AB=2CD=8( 例2、(2006年上海市中考)已知:如图3，在?ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中 4sinB,tan，EDC5点，BC=14，AD=12，。求的值。 解析:由性质拓展可知:?EDC=?C。要求tan?EDC的值，可转化为求tan?C的值。 AD4sinB,,AB5在Rt?ADB中，， 所以AB=15。 由勾股定理得: 2222BD,AB,AD,15,12,9， 所以DC=BC,BD=5。 AD12,DC5在Rt?ADC中，tan?C=， 12 5所以tan?EDC=。 2、证明线段相等 1AD,AB2例3、(2004年上海市中考)如图4，在?ABC中，?BAC=90?，延长BA到D点，使， 点E、F分别为边BC、AC的中点。 (1)求证:DF=BE; (2)过点A作AG?BC，交DF于G。求证:AG=DG。 分析:(1)因为E为BC的中点， 1BC2所以BE=。 1DF,BC2要证DF=BE，即为， 1BC2连AE，AE=，只需证DF=AE。 因为EF为?ABC的中位线， 11//,ABAB//22所以EF，而AD=，所以。 EF,AD 故四边形AEFD为平行四边形。 所以DF=AE，从而DF=BE这一命题得证。 (2)由性质拓展可知:?1=?2。 由(1)得AE?DF，所以?2=?D。 因为AG?BC，所以?1=?DAG， 因此?D=?DAG，所以DG=AG。 3、证明角相等及角的倍分关系 例4、已知，如图5，在?ABC中，?BAC>90?，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中 点，求证:?FED=?FDE。 分析:因为BD、CE分别为AC、AB上的高， 所以?BDC=?BEC=90?。 在Rt?BDC中DF为斜边上中线， 1DF,BC2所以。 1EF,BC2同理在Rt?BEC中，， 所以DF=EF， 所以?FED=?FDE。 例5、(2003年上海市中考题)已知:如图6，在?ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG ?CE，G为垂足。 求证:(1)G是CE的中点;(2)?B=2?BCE。 分析:(1)E是Rt?ADB斜边上中点，连DE，则 1DE,AB,BE2， 所以DE=DC。 又因为DG?CE，所以G为CE的中点。 (2)因为DE=DC，所以?1=?2。 因为?EDB=?1+?2， 所以?EDB=2?2。 由性质拓展知:?B=?EDB， 所以?B=2?2，即?B=2?BCE。 4、证明线段的倍分及和差关系 例6、(2007年呼和浩特市中考)如图7，在?ABC中，?C=2?B，D 是BC上的一点，且AD?AB，点E是BD的中点，连AE。求证:(1)?AEC=?C;(2)求证:BD=2AC。 分析:(1)因为AE是Rt?BAD斜边BD上中线，由性质拓展可知: ?AEC=2?B。 又因为?C=2?B， 所以?AEC=?C。 (2)由(1)?AEC=?C，所以AE=AC，AE是Rt?BAD斜边上中线。由性质可得: 11AE,BDAC,BD22，所以， 故BD=2AC。 例7、(第四届“祖冲之杯”初二竞赛)如图8，在梯形ABCD中，AB?CD，?A+?B=90?，E、 1EF,(AB,CD)2F分别是AB、CD的中点。求证:。 分析:延长AD、BC交于G，连GE、GF。 由于?A+?B=90?， 所以?G=90?。 E、F分别为DC、AB中点。 由性质可得: 11GE,CD,GF,AB22。 由性质拓展可得: ?GDE=?AGE，?GAF=?AGF。 因为CD?AB， 所以?GDE=?GAF， 所以?AGE=?AGF， 所以G、E、F三点在同一直线上， 1EF,(AB,CD)2所以。 5、证明线段垂直 例8、如图9，在四边形ABCD中，AC?BC，BD?AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上 的中点。求证:MN?DC。 分析:M是Rt?ADB与Rt?ACB斜边上中点，连DM、CM，由性质可得: 1DM,MC,AB2， 所以?DMC为等腰三角形。 又因为N为CD的中点， 所以MN?DC。 6、证明特殊的几何图形 例9、(2007年新疆维吾尔自治区中考)如图10，将Rt?ACB沿直角边AC所在直线翻折180?得到Rt?ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形(请给予证明( 分析:由于?ACE是?ACB沿直角边AC翻折得到的， 所以AB=AE，?ACE=90?( 因为D、F分别是Rt?ACB和Rt?ACE斜边上中线， 11CD,AB,AD,CF,AE,AF22所以， 所以AD=DC=AF=FC， 所以四边形ADCF为菱形。 三、尝试训练 1、(黑龙江中考)在?ABC中，?ACB=90?，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为 ( 2、(2006年重庆市中考)如图11所示，一张三角形纸片ABC，?ACB=90?，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成?ACD和?BCD两个三角形(如图12所示)，将纸张?ACD沿直112211线DB(AB)方向平移(点A，D，D，B始终在同一条直线上)，当点D与点B重合时，停止平移，2121 在平移过程中，CD与BC交于点E，AC与CD、BC分别交于点F、P。 1121222 (1)当?ACD平移到如图13所示时，猜想图中DE与DF数量关系，并证明猜想:1112 60:3、如图14，等腰梯形ABCD中，AD?BC，AB=CD，AC与BD相 交于O，?BOC=，G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。求证:?GEF为等边三角形。(提示:连AF、BE)