时间和位移

第2节  时间和位移 理解领悟 本节介绍了描述质点运动的时刻、时间间隔、路程、位移、矢量等概念，要弄清它们的含义和区别。这些概念和上节的内容都是为下面的速度和加速度的学习奠定基础的。时刻和时间间隔、路程和位移的含义容易混淆，要注意弄清它们的区别。 基础级 1. 时刻和时间间隔的含义 关于时刻和时间间隔，教材是举了如下例子来阐明的：我们说上午8时上课，8时45分下课，这里的“8时”“8时45分”是这节课开始和结束的时刻，而这两个时刻之间的45分钟，则是两个时刻之间的时间间隔。同样，“中国政府于1997年7月1日零时恢复对香港行使主权”，这里的“零时”是时刻。“中子的‘寿命’达15.6min”，这里的“15.6min”是时间间隔。在物理学中，时刻对应着物理状态，时间间隔对应着物理过程。时间间隔又简称为时间。 图1-3 2．用时间轴示时刻和时间 表示时间的数轴称为时间轴。在时间轴上，时刻用点表示，时间用线段表示。如图1－3所示，O 点表示初始时刻，A点表示时刻第1s末（即1s末）或第2s初，D点表示时刻4.5s , OA、OB、OC分别表示从计时开始的时间头1s内、头2s内、头3s内（即1s内、2s内、3s内），OA、AB、BC分别表示时间第1s内、第2s内、第3s内（时间均为1s）等等。                3. 为什么要引入“位移”概念？     教材所举的例子很能说明问题：从北京去重庆，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车到武汉，再乘轮船沿长江而上。然而，尽管路线各不相同，但位置的变动却是相同的，总是从北京到达了西南方向直线距离约1300km的重庆。为了描述物体位置的变化，我们需要引入“位移”概念。 4. 怎样表示位移？ 描述物体位置的变化，需要确切地描述物体位置变化的大小和方向。为此，位移可以用从初始位置指向末位置的有向线段来表示。按照一定的标度，有向线段的长度表示位移的大小，有向线段的方向表示位移的方向。可见，物体的位移仅由初始位置和末位置决定，而与运动过程无关。如图1－4所示。不管物体（质点）自A点经路径1、路径2还是路径3运动到B点，其位移都相同，都可用有向线段AB来表示。 图1－4 5. 路程和位移的区别 位移与初中物理中讲的路程是两个不同的概念。 位移是描述物体位置变化的物理量，而路程则是描述物体运动路径（轨迹）长短的物理量。 位移既有大小又有方向，而路程只有大小没有方向。 位移的大小等于物体初始位置到末位置的直线距离，与运动路径无关；而路程是按运动路径计算的实际长度。由于物体运动的路径可能是直线，也可能是曲线，两点间又以直线距离为最短，所以物体位移的大小只能小于、最多等于路程，不可能大于路程。 图1－5 6. 什么情况下，物体位移的大小等于路程？     对此，也许你会不假思索地说，当物体做直线运动时其位移的大小一定等于路程，因为两点间以直线距离为最短。然而，你忽略了物体沿直线往复运动的情况。如图1－5所示，物体从A沿直线运动到B 再返回到A，又沿同一直线运动到C。在运动的整个过程中，物体位移的大小s=AC，而经过的路程s′=2AB+AC＞s。事实上，只有物体做单向直线运动时，其位移的大小才等于路程。 7. 矢量和标量的区别     与时间、温度、路程等物理量不同，位移既有大小又有方向，而时间、温度、路程等物理量只有大小没有方向。像位移这样的物理量叫做矢量，矢量既有大小又有方向；像时间、温度、路程这样的物理量叫做标量，标量只有大小没有方向。标量相加遵从算术加法的法则，而矢量相加则遵从几何加法的法则（对此，我们将在下面加以探索）。 8．直线运动的位置和位移 既然位移是描述物体位置变化的物理量，而物体的位置可用坐标来确定，那么位移就可用坐标的变化量来表示。当物体做直线运动时，若物体从A运动到B，而A、B的坐标分别为x1、x2，则物体的位移就可用它的坐标变化量△x来表示： △x= x2－x1 发展级 9. 探索矢量相加的法则 图1－6 让我们来研究教材中提供的事例：该同学第一次由A走到C，位移为向北的40m；第二次再由C走到B，位移为向东的30m。那么，该同学位置变化的总的结果是由A走到了B，即合位移为北偏东37°的50m。如图1－6所示。由此你能领悟出矢量相加的一般法则吗？ 由上述例子不难看出，三个位移矢量构成了一个三角形。求两个矢量的合矢量，只要将表示这两个矢量的有向线段首尾相接，那么从第一个矢量的箭尾指向第二个矢量箭头的有向线段就表示这两个矢量的合矢量。 请亲自动手画一下，看看作图时若交换一下两个矢量的先后次序，得到的合矢量是否相同。假如要求多个矢量的合矢量，又该如何作图呢？ 10. 平面曲线运动的位置和位移 当物体做平面曲线运动时，其位置可用平面直角坐标系中的一组坐标来表示。如图1－7所示，设一辆汽车从A点沿曲线运动到B点，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则汽车位移的大小等于A、B两点间的距离，即 图1－7 位移的方向可用位移与x轴正方向夹角的正切值表示 图1－8 tan 11. 运动的位移图象 为了描述物体的位移随时间变化的关系，我们可以任意选择一个平面直角坐标系，用横轴表示时间，用纵轴表示位移，画出位移和时间的关系图线，这种图象叫做位移-时间图象，简称为位移图象。如图1－8所示，就是物体做匀速运动的位移图象。取初位置为坐标原点时，物体的位移等于末位置的坐标，因此这个图象也可以叫做物体的位置-时间图象。 应用位移图象，我们可以求出物体在任意时间内的位移，也可以反过来求出物体通过任一位移所需的时间。位移图象中，两条图线的交点表示两物体处于同一位置，即两物体相遇。 应用链接     本节知识的应用主要是对时刻与时间、路程与位移等概念的辨析，位移的表示以及路程和位移的计算。 基础级 例1  请在如图1－9所示的时间轴上指出下列时刻或时间（填相应的字母）： I （1）第1s末，第3s初，第2个两秒的中间时刻； （2）第2s内，第5s内，第8s内； （3）2s内，头5s内，前9s内； 提示  在时间轴上，时刻用一个点表示，时间用一段线段表示。 解析  与题中相对应的时刻或时间分别是： （1）A，B，C； （2）AB，DE，GH； （3）OB，OE，OI。 点悟 在物理学中，时刻与时间是两个不同的概念。我们平时说的“时间”，有时指的是时刻，有时指的是时间间隔，要根据上下文认清它的含义。 图1－10 例2  物体沿半径分别为r和R的半圆弧由A点经B点到达C点，如图1－10所示，则它的位移和路程分别是（  ） A. 2 (R + r) , π(R + r) B. 2 (R + r) 向东，2πR向东 C. 2π(R + r) 向东，2π(R + r) D. 2 (R + r) 向东，π(R + r) 提示  从位移和路程的概念出发进行分析。 解析  位移是由初位置指向末位置的矢量，其大小等于A、C间的距离，即s=2r + 2R = 2 (R + r)；方向由A指向B，即向东。路程是标量，其大小等于两半圆弧长度之和，即 s′=πr+πR=π(R + r)，没有方向。选项D正确。 点悟  弄清位移和路程的含义以及它们的区别，是正确做出判断的关键。物理概念是研究物理规律、解决物理问题的基础，要正确理解，切不可掉以轻心。 例3  一个皮球从5m高的地方落下，若碰到地面后又反弹起1m高，则皮球通过的路程是多少？皮球的位移又是如何？若皮球经过一系列碰撞后，最终停在地面上，则在整个运动过程中皮球的位移又是多少？ 位移 提示  计算位移时，只需关注物体的初、末两位置；而计算路程时必须关注物体的运动过程。 解析  如图1－11所示，皮球从5m高的地方落下，碰到地面后又反弹起1m高，则皮球通过的路程是5m+1m=6m；皮球运动到了初始位置下方5m－1m=4m处，故皮球位移的大小等于4m，方向竖直向下。若皮球经过一系列碰撞后，最终停在地面上，则皮球运动到了初始位置下方5m处，故皮球位移的大小等于5m，方向仍是竖直向下。 点悟  分析物理问题要有一定的空间想象力，必要时可画草图帮助思考。     例4  一质点在x轴上运动，各个时刻的位置坐标如下表： t/s 0     1     2 3 4     5   x/m     0     5   －4   －1   －7     1 则此质点开始运动后， （1）几秒内位移最大？ （2）几秒内路程最大？ 提示  注意初始时刻质点位于坐标原点，质点位移的起点在坐标原点。 解析  位移最大时，质点距离原点的距离最大。由表中提供的数据可知，此质点开始运动后4s内位移最大，是7m。质点的位置坐标在不断变化，说明它在不断运动，所以此质点开始运动后5s内路程最大。 点悟 有的同学可能会认为该质点在开始运动后1s内位移最大，而7s内位移却是最小，因为1s内位移为5m，4s内位移为－7m，5＞－7。其实，位移的大小要看其绝对值，正负号只能表示它的方向。－7m表示位移大小为7m，负号表示位移方向沿x轴的负方向。 发展级 例5  某学生参加课外体育活动，他在一个半径为R的圆形跑道上跑步，从O点沿圆形跑道逆时针方向跑了圈到达A点，求它通过的位移和路程。 提示  位移是矢量，求解物体在某一过程中通过的位移，一定既要求出其大小，还要标明其方向。初学者往往容易忽略后者，务必引起注意。 图1－12 解析  建立如图1－12所示的直角坐标系，图中有向线段OA即为该学生通过的位移，则其位移的大小为 位移的方向为 ,  =45° 该学生在这段时间内通过的路程为     点悟  描述物体的平面曲线运动，需要建立平面直角坐标系。从本例可以看出，当物体做曲线运动时，其位移的大小与路程是不等的，且路程大于位移的大小。 图1－13 例6  图1－13是做直线运动的甲、乙两个物体的位移—时间图象，由图象可知（  ） A. 乙开始运动时，两物体相距20m B. 在0~10s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大 C. 在10~25s这段时间内，两物体间的距离逐渐变小 D. 两物体在10s时相距最远，在25s时相遇 提示  甲、乙两个物体间的距离等于该时刻两物体。 解析  由图象可知，乙在10s时刚开始运动，此时两物体间的距离已超过20m。在0~10s这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的距离逐渐增大。在10~25s这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐减小，说明两物体间的距离逐渐变小。因此，两物体在10s时相距最远。在25s时，两图线相交，两物体纵坐标相等，说明它们到达同一位置而相遇。选项B、C、D正确。 课本习题解读 [p.16问题与练习] 1．A. 8点42分指时刻，8分钟指一段时间。 　  B. “早”指时刻，“等了很久”指一段时间。 　  C.  “前3秒钟”、“最后3秒钟”、“第3秒钟”指一段时间，“3秒末”指时刻。 本题旨在强调“时刻”和“时间”的区别。 ２.“公里”指的是路程，因为汽车的路线一般不是直线。 ３（１）路程是100m，位移是100m。   （２）路程相同，都是800m。位移不同；对起点和终点相同的运动员，位移大小为 零；其他运动员起跑点各不相同而终点相同，他们的位移、方向大小也不同。 对以上两题的解答除了要分清“路程”和“位移”的含义外，对题述问题还需有常识性的了解。学习物理必须理论联系实际。 ４. 先确定各点的坐标值，再根据公式△x=x2－x1即可求得位移。计算结果如下表： 坐标原点的设置 出发点的坐标 最高点的坐标 落地点的坐标 上升过程的位移 下落过程的位移 全过程的总位移   以地面为原点 3m 8m   0   5m －8m －3m 以抛出点为原点     0   5m －3m   5m －8m －3m 练习巩固（1—2） 基础级 1. 下列说法所指时刻的有（  ） A. 学校每天上午8点钟上课              B. 学校每节课上45min钟 C. 数学考试考了120min钟                D. 考试9︰40结束 2．关于位移和路程，下列说法正确的是（  ） A. 物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程就是位移 B. 物体沿直线向某一方向运动时，通过的路程就等于位移的大小 C. 物体通过的路程不等，但位移可能相同 D. 物体通过一段路程，但位移可能为零 3. 一个质点做半径为R的圆周运动。运动一周回到原地时，它运动过程中路程、位移的最大值分别是（  ） A. 2πR, 2πR          B. 2R, 2R          C. 2πR, 0        D. 2πR, 2R 4. 图1－14表示做直线运动的质点从初位置A经过B运动到C，然后从C返回，运动到末位置B。设AB长7m , BC长５m , 求质点的位移的大小和路程。 图1－16 图1－15 图1－14 5. 在图1－15中，汽车初位置的坐标是－２km，末位置的坐标是１km。求汽车的位移的大小和方向。  6. 中学垒球场的内场是一个边长为16.77m的正方形，在它的四个角分别设本垒和一、二、三垒，如图1－16所示。一位击球员击球后，由本垒经一垒、二垒直跑到三垒。他运动的路程是多大？位移是多大？位移的方向如何？ 7. 在地图上沿北京到上海的铁路线放置一条棉线，两端做上记号，然后把棉线拉直，量出长度，根据地图的比例估算北京到上海的路程。你能估算从北京到上海的位移的大小和方向吗？ 发展级 8. 一个质点沿x轴做直线运动，它的位置坐标随时间变化规律是x=－2t2－3t+1(m), 式中t的单位为“s”。关于质点的运动，下列说法正确的是（  ） A. 质点从坐标原点开始运动 B. 质点一直向x轴的负方向运动 C. 在最初的1s内，质点的位移是－4m，“－”表示位移的方向与x轴的正方向相反 图1－18 D. 在最初的1s内，质点的位移大小是5m，位移的方向与x轴的正方向相反 9.  a、b、c 三个质点都在x轴上做直线运动，它们的位移－时间图象如图1－18所示。下列说法正确的是（  ） A. 在0－t3时间内，三个质点位移相同 B. 在0－t3时间内，质点c的路程比质点b的路程大 C．质点a在时刻t2改变运动方向，质点c在时刻t1改变运动方向 D．在t2－t3这段时间内，三个质点运动方向相同 10. 一支长150m的队伍匀速前进，通讯兵从队尾前进300m赶到队首传达命令后立即返回。当通讯兵回到队尾时，队伍已前进了200m，则整个过程中通讯兵的位移多大？通讯兵走的路程多大？