若随机变量X和Y相互独立,那么

若随机变量X和Y相互独立,那么 第三节 协方差及相关系数 一、协方差的概念与性质 二、相关系数的意义与性质 回 回 三、协方差矩阵 停 停 下 下 一、协方差的概念与性质 1. 问的提出 若随机 变量X和Y相互独立 那么 D X ? Y D X DY 若随机变量X和Y不相互独立 D X ? Y D X ? Y E X ? Y E X ? Y 2 E X E X ? Y E Y 2 D X DY ? 2 E X E X Y E Y 协方差2. 协方差与相关系数的定义定义3.7XY是二维 随机变量 量E X E X Y E Y 称为随机变量X与Y的协方差 记为covXY 即 cov X Y E X E X Y E Y .而 cov X Y ρXY D X DY 称为随机变量X与Y的相关 系数(注1? X和Y的相关系数是化的随机变量 X E X Y E Y 与 D X DY 的协方差. 又称为标准协方差 是个无量纲的量. 2? 若随机变量X与Y相互独立 cov X Y E X E X Y E Y EXEXEY EY 0. 3? covXX DX.3、协方差的计算公式 1 covXY EXY EXEY 2 DX ? Y DX DY ? 2covXY.证 1 covXY EX EXY EY EXY XEY YEX EXEY EXY 2EXEY EXEY EXY EXEY.2 DX ? Y E X ? Y E X ? Y 2 E X EX ? Y EY 2 E X E X 2 EY E Y 2 ? 2 E X E X Y E Y D X DY ? 2 cov X Y .4、协方差的性质性质3.11 covXY covY X.性质3.12 covXY EXY EXEY.性质3.13 covaX bY abcovXY a b为常数(性质3.14 covX1X2Y covX1Y covX2Y.性质3.15 若X与Y独立 则covXY 0.性质3.16 DX ? Y DX DY ? 2covXY. n n 推广 D ? X i ? D X i 2 ?? cov X i X j . i 1 i 1 i j例1 设随机变量X与Y的相关系数为0.5E X E Y 0 E X 2 E Y 2 2求 EX Y . 2解 E X Y 2 E X 2 2 E XY E Y 2 4 2cov X Y E X E Y 4 2 ρXY D X DY 4 2 × 0 .5 × 2 6 .例2 设 X Y N 1 σ12 2 σ 2 ρ 求X与Y的 2相关系数. 1解 由 p x y 2 exp 2 πσ1σ 2 1 ρ 1 x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 2 2ρ 21 ρ σ1 2 σ1σ 2 σ1 2 x 1 2 1 2 2 σ1 pX x e ? x ? 2πσ1 x 2 2 1 2 2σ 2 pY y e ? y ? . 2 πσ 2 2 2 E X 1 E Y 2 D X σ1 DY σ 2 . ? ?c ov X Y ? ? ? x 1 y 2 p x y d x d y ? 1 ? ? 2 πσ1σ 2 1 ρ 2 ? ? ? ? x 1 y 2 2 x 1 2 1 y 2 ρ x 1 e 2 2 σ1 e 2 1 ρ 2 σ2 σ1 dydx y 2 1 x 1 x 1令t ρ u 2 1 ρ σ2 σ1 σ1c ov X Y t 2 u2 1 ? ? 2 π ? ? ? ? 2 σ1σ 2 1 ρ2 tu ρσ1σ 2 u e 2 dtdu u2 t2 ρσ1σ 2 ? 2 2 ? 2 2π ? ? u e d u ? e d t ? 2 u2 t2 σ1σ 2 1 ρ ? ? ? ? ue ? ? te 2 du 2 dt 2π ρσ1σ 2 2 π 2 π . 故有c ov X Y ρσ1σ 2 . 2π c ov X Y 注1? 于是 ρXY ρ. D X DY 二维正态分布密度函数中 参数 ρ 代表了X与Y的相关系数 2? 对于二维随机变量X Y ρ 0 X与Y相互独立 . 证明见p41例2.12二、相关系数的 意义与性质1. 问题的提出 问a b应如何选择 可使得随机变量a bX最接近随机变 量Y 接近的程度又如何来衡量 设 e EY a bX 2则 e 可用来衡量 a bX 近 似表达 Y 的好坏程度 .当 e 的值越小 表示 a bX 与 Y 的近似程度越好 .确 定 a b 的值 使 e 达到最小 .e EY a bX 2 E Y 2 b 2 E X 2 a 2 2bE XY 2abE X 2aE Y .将 e 分别关于 a b 求偏导数 并令它们等于零 得 e a 2a 2bE X 2 E Y 0 e 2bE X 2 2 E XY 2aE X 0. b cov X Y 解之 得 b0 D X cov X Y a0 E Y E X . D X 将 a0 b0 代入 e EY a bX 2 中 得min e EY a0 b0 X 2a b c ov 2 X Y cov 2 X Y DY 1 DY D X D X DY 1 ρ2 DY . XY2. 相关系数的意义 当 ρXY 较大时 e较小 表明 X Y 的线性关系 联系较紧密( 当 ρXY 较小时 X Y线性相关的程度较差 .定义3.8设 随机变量X与Y的相关系数 ρXY 0则称X和Y不相关 .例3 设θ服从02 π上的均匀分 布 X cos θ Y cosθ a 这里 a是定数 求X和Y的相关系数 1 2π解 Q EX ?0 cos xdx 0 2π E X 2 1 2π 1 ?0 cos xdx 2 2 2π 1 2π E Y ?0 cos x a dx 0 2π E Y 2 1 2π 1 ?0 cos x a dx 2 2 2π 1 2π 1E XY ?0 cos x cos x a dx 2 cos a 2π 1? cov X Y E XY E X E Y cos a 2 2 2 1 D X E X E X 2 2 2 1 DY E Y E Y 2 cov X Y ρXY ? cosa . D X DY 由 X cos θ Y cosθ a ρXY cosa 可知: 当a 0时 ρ 1 X Y 存在线性关系. 当a π时 ρ 1 X Y π 3π 当 a 或 a 时 ρ 0 X与Y不相关 2 2 但X 2 Y 2 1 因此 X与Y不 独立.