向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇[1]6669920634

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇[1]6669920634 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 O,ABCOA，OB，OC,0,(1)是的重心. O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)证法1:设 112233 ，，xxx,123,x,(,)，(,)，(,),0xxxxxx,,3123OA，OB，OC,0,, ,,，，yyy(,)，(,)，(,),0yyyyyy123123,,,y,3, O,ABC是的重心. , A证法2:如图 OA，OB，OC ？ ,OA，2OD,0 EOAO,2OD ？ ADA、O、DO三点共线，且分 ？ 为2:1 BDC O,ABC是的重心 ？ ,ABCOOA,OB,OB,OC,OC,OA,(2)为的垂心. 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. A,OB,ACE OOA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 BDC OC,ABOA,BC同理， ,ABCO为的垂心 , ,b(3)设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心 ac ,ABCaOA，bOB，cOC,0,O为的内心. ABACAB、AC证明:？、分别为方向上的单位向量， cb ABAC，BAC平分, ，？cb bcABAC？AO,,()，令, ，,a，b，ccb bcABACAO,() ，？a，b，ccb (a，b，c)OA，bAB，cAC,0化简得 aOA，bOB，cOC,0 ？ ,ABCO(4)为的外心。 OA,OB,OC, 222O?ABCO?ABCOAOBOC,,已知是所在平面上一点，若，则是的外心( C B A O 222222OOAOBOC,,【解析】 若，则，?OAOBOC,,，则OAOBOC,, ?ABC是的外心，如图。 典型例: PA、B、CO例1:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 P，,,,0,，,,ABCOP,OA，,(AB，AC)， ，则点的轨迹一定通过的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 D、EBC、AC,ABC:如图所示，分别为边的A中点. ？AB，AC,2AD E OP,OA，2,AD ？ ？OP,OA，AP BDC？AP,2,AD ？APAD// P,ABCC点的轨迹一定通过的重心，即选. ？ PA、B、CO例2:(03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点 ABACP，,,,0,，,,ABCOP,OA，,(，)满足， ，则点的轨迹一定通过的( B ) ABAC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABACAB、AC？、分别为方向上的单位向量， 分析: ABAC ABAC，BAC，平分, ？ ABAC PB,ABC点的轨迹一定通过的内心，即选. ？ PA、B、CO例3:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ABACP，,,,0,，,,ABCOP,OA，,(，)， ，则点的轨迹一定通过的 ABcosBACcosC ( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. AABAC(，),BC EABcosBACcosC AB,BCAC,BC，= ABcosBACcosCBDC,ABBCcosBACBCcosC ，= ABcosBACcosC =+=0 ,BCBC PD,ABC点的轨迹一定通过的垂心，即选. ？ 例、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ABAC 则P的轨迹一定通过?ABC的( )( OPOA,，，,,，,,,()[0,). ||||ABAC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABACABAC分析 已知等式即，设，显然AP,，,()AEAF,,, ||||ABAC||||ABAC APAEAF,都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为 B，ABC的平分线，选( 练习: P,ABCA、B、CPA，PB，PC,0(已知三个顶点及平面内一点，满足，若实1 ,,AB，AC,,AP数满足:，则的值为( ) 3A(2 B( C(3 D(6 2 ,ABCOA，OB，OC,0OA,OB,(若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) 2 11,A( B(0 C(1 D( 22 ,ABC,ABCOOA，2OB，2OC,03(点在内部且满足，则面积与凹四边形ABOC面积之比是( ) 354A(0 B( C( D( 243 H,ABC,ABCOH,OA，OB，OC4(的外接圆的圆心为O，若，则是的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 222A、B、COOA，BC,OB 5(是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 222,ABCO，CA,OC，AB，则是的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ,ABCOH,m(OA，OB，OC)6(的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， 则实数m = ????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则2????|AB||AC||AB||AC|?ABC为( ) A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 2,ABCA、B、CAB,AB,AC，AB,CB，BC,CA8(已知三个顶点，若，则,ABC为( ) A(等腰三角形 B(等腰直角三角形 C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C