揣摸函数增减性[指南]

揣摸增减性[指南] 判断函数增减性 组合函数 增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减 复合函数 定义 一般地，对于两个函数和，当函数的值域()是，，，，，，y,fuu,gxu,gxRgRg,, 的定义域的子集时，通过变量,可以表示成的函数，那么称y，，ux,,，，y,fuy,fgxDf 这个函数为函数和的复合函数，其中称为自变量,为中间变量,为y，，，，xuy,fuu,gx 因变量。 生成条件 Rg,Df,Rg,, 定义域 若函数的定义域是,的定义域是Dg,则复合函数的定义域，，，，,,，，y,fuDfu,gxy,fgx ,即取两个函数定义域的交集。 ，，Dy,Df,Dg 备注: 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集。 周期性 设函数的最小正周期为,的最小正周期为,则复合函数，，T，，T,,，，y,fuu,gxy,fgx12 ，的最小正周期为,任一周期可表示为。 T*T，，k*T*Tk,R1212 增减性 ，，，，根据y,fu，u,gx的单调性决定。 即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 推导: ，，，，t,gxy,ft令，则 ，，，，gxxgx是增函数，越大，越大，即越大 t ，，，，ftft若是增函数，则越大，即越大 (同增) y ，，，，ftft若是减函数，则越小，即越小 (异减) y 判断复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域; (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指数、对数函数); (3)判断每个常见函数的单调性; (4)将复合函数的定义域分段(每个常见函数在每段定义域上具有单调性); (5)根据“通增异减”求出复合函数的单调性。 例如: 2x,4x，3讨论函数的单调性。 y,0.8 解:函数定义域为R 2u令 则 u,x,4x，3y,0.8 uR指数函数在定义域上是减函数 y,0.8 2二次函数u,x,4x，3在上是减函数，上是增函数 ，,,，,,，22，，, 2x,4x，3因此，函数在上是增函数，上是减函数 ，,,，,,，22，，,y,0.8 求导 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,,，，，，，，y,fgxy,fuu,gx ,,,y,y,u xux