球面上两点间距离的求法.doc

球面上两点间距离的求法.doc 球面上两点间距离的求法 球面距离的定义:球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆(从正面看)，这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。球面距离不是指险段的长度而是指的是弧长。 地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。下面简单的谈谈求法: 一. 同经度两点间的球面距离 例1. 在地球本初子午线上有两点A、B。它们的纬度差为90?，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。 解:如图1所示，设O为地球球心，由题意可得， 故。 ,R所以:A、B两点间的球面距离为。 2 图1 二. 同纬度两点间的球面距离 例2. 在地球北纬度圈上有两点A、B，它们的经度差为度，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。 解:设度的纬线圈的圆心为，半径为r，则。依题意。取AB的中点C，则。 在 图2 图3 三. 不同纬度、不同经度两点间的球面距离 例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30?，B位于南纬60?，且A、B两点的经度差为90?，求A、B两点的球面距离。 解:如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30?纬线圈的圆心和南纬60?纬线圈的圆心。 图4 。 连结 则。 由异面直线上两点间的距离公式得 下面给出球面距离的计算公式(仅供参考): 设一个球面的半径为 ，球面上有两点 、 . 其中 ， 为点的经度数， 、 为点的纬度数，过 、 两点的大圆劣弧所对的圆心角为 ，则有 (弧度) A、B间的球面距离为: 证明:如图3，? 与? 分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过 、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作 面 ，垂足 位于 上，连结 、 . 则 在 中，由余弦定理，得: 故 又 比较上述两式，化简整理得: 过 两点的大圆劣弧所对的圆心角为 从而可证得关于 与 的两个式子. 例题: 北京在东经 ，北纬 ，上海在东经 ，北纬 ，求北京到上 海的球面距离. 解: ? (弧度) ? 所求球面距离为