无限维线性空间的广义_较多序类

无限维线性空间的广义_较多序类 无限维线性空间的广义 2较多序类Α 1 2胡毓达, 陆晋奎 (1. 温州大学 数学与信息科学学院, 温州 325027, 上海交通大学应 )用数学系, 上海 200030; 2. 上海应用技术学院 基础部, 上海 200433 摘 要: 借助引入非凸的 Α2较多锥, 本文在实无限维线性空间中建立了一类新的广义 Α2较多序. 同 时, 讨论这类序的一些基本性质. 关键词: 无限维线性空间; ; 广义 2较多序; 广义 2次较多序2较多锥ΑΑΑ中图分类号: O 221 文献标识码: A 2The C la s s o f G e ne ra lize d ΑM a jo r O rd e r in 2R e a l Inf in ite D im e ns io na l L ine a r S p a c e 1 22, 2H U Y u d a L U J in k u i (1. , , 325027, Schoo l o f M a th em a t ic s an d In fo rm a t io n Sc ien ce sW en zho u U n ive r sityW en zho u . . , . , 200030, ;D ep to f A pp lied M a thSh an gh a i J iao to n g U n ivSh an gh a i C h in a )2. , 200433 Sh an gh a i In st itu te o f T ech no lo gySh an gh a i A b s t ra c t: A c la ss o f no n co n vex Α2m a jo r co n e w a s in t ro du ced. W ith th e h e lp o f th em , th e c la ss o f gen e ra l2 22, ized Αm a jo r o rde r in rea l in f in ited im en sin a l lin ea r sp ace w a s def in edan d th e ir p rop e r t ie s w e re a lso d is2 .cu ssed : 2; 2; 2; 2Ke y w o rd s rea l in f in ited im en sio n a l lin ea r sp aceΑm a jo r co n egen e ra lized Αm a jo r o rde rgen e ra lized Α su bm a jo r o rde r 义 Α2较多序具有更广泛的适用范围. 文献 1 中曾引入 E u c lid 空间中非凸的较多锥 类, 并借助它们定义了有限维线性空间的较多序, 2 k 1 2较多锥及其分解Α 较多序和 2较多序. 利用较多序类, 建立了多目标 Α 2 的较多有效性理论. 文献 3 中给出了 E u c lid 设 是实数域 上具有 基{, ?}的X R H am e l x i iA 4, 则 中的任意元素 可示为 线性空间 X a 空间中关于非凸较多锥的分离定理, 讨论了它在最 ()a = a x a ? R 1 i 优化研究中的一些应用. 鉴于较多序具有明显和重 ii? i?A 要的应用背景, 建立无限维线性空间的较多序成为 式中, 仅有有限个不为零, 此时 是对有限个 ?a i 2 i 一个十分引人关注的课题. 本文将有限维线性空间 的求和.A 的 2较多锥推广到实无限维线性空间, 借助它引入 Α() ( )设 ? 0, + ?, 用 和 分别表示式 1||||Αa + a - 实无限维线性空间的广义 2较多序, 并讨论了它的 Α中 的 大于零和小于零的个数. 记a a i 有关性质. 同时, 提出了广义 2次较多序的概念, 证()Α H = {a ? X ‖a ? Α a } 2 |||Α + - 0 明了广义 Α2次较多序具有反对称性和连通性, 使广 0 证明 记 | | = | | , | | = | | , 所以 和 都是 Κa + a + Κa - a - H Α H Α X Α H = j {a ? X ‖a | + | a | = j , | a | ? Α| a | } + - + - 中 的 锥, 分 别 称 它 们 为 X 中 关 于 H am e l 基 ()5 j = 1, 2, ? m{, ?}的 2较多锥和严格 2较多锥. 当 是 x i iA ΑΑX R = 因为当 > 0 时, = , , 所以| |||| |||ΚΚa + a + Κa - a - 时, 它们即为文献 1 中的相应锥. 记 它们都是 中的锥. 记 为自然数集, 显然 X N ()4 X = {a ? X ‖a ? 0, a = |||0} + + - Α Α H ? H = Ø i ? j ; i, j ?N i j 并称它是 中的正锥.X 由 = ( ) ( ) ||| |Η+ Η- = 0 及 式 2和 式 5知, Η?H Α, 但 ( ) 定理 1 设 Α? 0, + ?, Η为 X 的零元素, H Α Α 0 ( )ƒ?.? ΗH j N j 和 H Α 分别为 X 中的 Α2较多锥和严格 Α2较多锥, X + 下面证明 是 中的正锥. XΑ )( ) 6 ( H = ?H ? {Η}Α j 0 j ?N () 1< . ΑH ΑH Α()() 事实上, 当 ?时, 由式 1、5知 j < . 反之,j N H H Α 0 ( )( ) () 2< ,若 a ?H Α\ {Η}, 根据式 1、2, 必存在 j ?N , 使得 {}< .\X + H Α X + ΗH Α Α 0 0 + = j 和 a + ?Α a - , 故 a ?H . 由 此, |||| |||| a + a -j() 3+ < , + < . H ΑX + H ΑH ΑX + H Α() 6成立. 推出式 () () () 证明 1由式 2和 3即可推出.0 定理 4 中的严格 2较多锥 可以分解成X ΑH Α () ( )( ) 2从 = = 0 及 式 2, 4直 接 推| || |Η+ Η- 出. 可列个两两互不相交的锥之和. ()( ) 3 设 ?, ?, 则根据式 1得 + || a H Αv X + a v + 证明 设Α ? , + ? , 从而 + ? ? ||| |||||| |0 a + a v - a - a v + a + H = {a ? X ‖a | + | a | = j , | a | > Α| a | } + - + - j ? + , 证得 + ?.||||Αa - Αa v - a v H Α ()j = 7 1, 2, ? 0 则它们都是 中的锥. 显然, X若 a ?H Α, v ?X + , 根据 0 0 Α Α v ? a > Α a ||||| | a + ? Α| a + v | + + --? H = Ø H i ? j ; i, j ?N i j 0 0 0Α可得 a + v ?H Α. , j ?N 和 ?. 类似于定理 3, 可证ƒ并且 Η?H ƒΗH Α j 0 0 0Α定理 2( ) 设 Α? 0, + ?, H Α 和 H Α 分别为 X ()H = ?H 8 Α j j ?N 中的 Α2较多锥和严格 Α2较多锥. 0 0 0 特别地, 当 = 1 时, 和 即为ΑH Α H Α 1 1() 1当 Α> 1 时, H Α< H Α< H < H . Α Α ()9 H = {a ? X ‖a ? a }|||+ - 0 0 和 1 1 ()2 当 0< < 1 时, < < < .ΑH H H ΑH ΑΑ Α 0 ()H = {a ? X ‖a > a } 10 |||+ - 证 明 ( ) ( ) 1设 ?, 则 由 式 2 知, ?| |a H Αa + 5 它们分别为 中的较多锥和严格较多锥.X 1 Α a - . 因为 Α> 1, 所以 <||1 < Α, | a | + ?Α| a | - > Α 定理 5 设 是实无限维线性空间.X 0 0 0 0 1 1 1 1 , 由此得 ?, 从而 < .||a - a H H ΑH 再与定理 1 ()1 当 0< Α< 1 时, H < H < H < H Α. Α Α ΑΑ 0 0 0 1()2 当 Α> 1 时, H Α< H < H < H . 的 Α< Α 一起, 推出结论成立. H H Α 0 1 1 0 < < 1由 () Α 2若 ?, 则 ? .||| |a H a + a - () 证明1显然 H < H . 设 a ?H , 则有| a | + ? Α Α . 因 0< < 1, 故 ? > , 所以 ?||||||||a - Αa + a - Αa - a 1 1 得 >> | | , 故 ?1 > Α, 推 出| a | + ? | a | -Αa - a 0 0 Α Α 1 ( ) < Α, 推 出 Α. 设 ?, 由 式 2 知 + ? | |H HH a H a Α 0 0 1 () , < . 再根据定理 1 的结论 1即可得证. H ΑH H ΑΑ 1 1 1 < a -||. 因为 0 < Α ? 1, | ||| 1, 所以 >a + a - Α2 Α下面给出关于 2较多锥和严格 2较多锥的分 ΑΑ 0 0 1 解定理. < . > | | , 从而 ?, 即 H a - a H HΑ 定理 3 X 中的 Α2 较多锥 H Α 可以分解成可列 1 ()2 时, 因为 Α> 1, 所以 0< < 1, 故当 a ?H 个两两互不相交的锥之和. Α ) (Κv + 1 - Κu 1 u a + ? a - > a -||||||ΑH Α () 证明 1根据 Η?H Α 和定义 1, 即得结论. 0 0 1 1由此可得, 当 ?时, ?, 即 < . a H a H H H ( )2 Α 由假设知 - ?+ 和 - ?Α, 根据定 Α u v X x u H 设 >理 1 推出 - = - + - ?+ < , 故 Α > | | , 故 x v x u u v H ΑX + H Αa - 1, ?, 则 | | ? | | a H Αa + Αa - 0 .v x < , 得证. H ΑH ΑH () ) ( ) ( 3因为 + - + = - , - ?bu x bv x b u v u v 定理 6 实无限维线性空间中的 2较多锥和严 Α () , 且 是锥, 所以 - ?. 由此, 推出 +格 2较多锥都不是凸锥.H ΑH Α b u v H Αbu Α ) (证明 不妨 设 Α= 2, u = - 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ,- + ?, 于是得 + + .x bv x H Αbv x bu x ΑH 0 2 2 v = x 1 + x 2 + x 3 - 2x 4 , 则 u , v ?H , 且 u , v ?H . 但 () () 4类似于式 3的证明. 4 4m 特别地, 当 是有限维空间 , X R u + v = - x + 2x + 2x - x 2 2 3 4 r Α?{ v + v = r = 1, ?, m - 1} ||| u + u + 4 ||+ - m - r v | =| u + v | = 2 | u + + 2, - 1 m ( ) 时, 如 果 取 基 为 = 1, 0, ?, 0?, ?,H am e l ΕR 0m m m 2 2 ( ) = 0, 0, ?, 1?, 则广义 2较多序即是 中 ΕR ΑR 故 + ?ƒ, + ?ƒ, 再根据定理 3 和定理 4 可 u v H u v H 4 4 0 的 2较多序.Α 证得 和 都不是凸锥.H H 2 2 广义 2次较多序3 Α 2 广义 2较多序Α 一般地, 广义 2较多序当 ?1 时不具有反对称 ΑΑ利用 2较多锥来定义广义 2较多序, 并讨论它 ΑΑ 性和连通性, 为此, 引入如下的广义 2次较多序.Α 们的性质. 定义 3 设 是具有 基{, ?} 的实 X H am e l x i iA 0 定义 1 设 是有 ( 基{, ?} 的实无 X H am e l x i )i A 和 限维 线 性 空 间, v , u ?X , Α? 0, + ?, < H ΑX) 无 限维线性空间, 1, + ?, , ?, 和 ? Αu v x H Α H Α 0 H Α< X . 1()1 Ζ - ?. u u v H v 分别为 中的 2较多锥和严格 2较多锥.X ΑΑ Α ΑS ()1 Ζ - ?. v u u v H Α? ΑH ()2 Ζ - ?. v u u v H Α0 ΑS 0 ()2 u Ζ u - v ?H Α. v ΑH 1 ()3 , Ζ - v ?H \H Α. vu u Α 0 ΑS ()3 v, u Ζ u - v ?H Α\H Α. 把上面由 Α2较多锥所定义的序关系称为 X 中关于 ΑH 把上面由 Α2较多锥所定义的序关系称为 X 中关于 基{, ?}的广义 2次较多序.H am e l x i iA Α 基{, ?}的广义 2较多序.H am e l x i iA Α , 当 Α= 1 时, 广义 Α2次较多序即是 X 中 特别地 5 的较多序. 定义 2 设 是有 基{, ?} 的实无X H am e l x i i A 1 中的正锥. , , ?, 是 限维线性空间 v u X X + X 当 0< Α< 1 时, 则有> 1, 利用定义 3 得Α v ? u Ζ u - v ? X +()1 Ζ - v u u ?.v H Α 把由正锥 所定义的序关系称为 中关于 H am e l X + X 1 S Α0 基{, ?}的正锥偏序.x i iA 1()2 Ζ - ?. v u u v H Α 1 特别地, 当 Α= 1 时, 广义 Α2较多序即是 X 中的 SΑ 5 0 , . ,较多序, 依次记为 , 1H H ()3 , Ζ - . H ?Α\ vu u v H H Α 1 S Α定理 7() 设 v , u , x ?X , Α? 0, + ?. 类似于广义 Α2较多序, 广义 Α2次较多序也有以 ()1 自反性. 对任意 ?, . vv X vΑH 下性质: () 2] 次传递性. ?, v x. x v u u) 定理 8 设 , , ?, 1, + ?.? ΑH ΑH v u x X Α()3 ()线性性. 若 , 则对任意 > 0 有 1 v u b自反性. 对任意 ?, v. v X vΑH ΑS bv + x bu + x () 2. 次传递性. ?, ]v xv u u x ΑH ΑS ΑS ()()4 3 凸性. 若 , 则对任意 0< < 1 有 线性性. 若 , 则对任意 > 0 有 v u Κv u bΑH ΑS 0bv + x bu + x Α 从 而 - ?ƒ, ?. 再 根 据 定 理 4 知, - u v H j N u j ΑS 0 0 () 4凸性. 若 , 则对任意 0< < 1 有 v u Κ 1 ΑS ?, 故 - ? . 然后, 由定义 3 便可得到 ƒ\v H Αu v H H ΑΑ () Κv + 1 - Κu u , .vuΑS ΑS 证明 与定理 7 的证明相类似. 由定理 9 知, 广义 2次较多序具有连通性, 所以Α ) 定理 9 设 , ?, 1, + ?.? u v X Α中的任意两个元素都可以用广义 2次较多序进X Α ()1 弱反对称性. , ] . uv u u v v 行 比 较. 例 此 外, 广 义 Α2次 较 多 序 具 有 直 观 意 义. ΑS ΑS ΑS , 当 Α?1 时, v u 表示 u - v 大于零的分量个数 如()或 或 2 连 通 性. 若 , ?, 则 u uv v u X v ΑS ΑS ΑS 1 , .uv ΑS大于或等于 - 小于零的分量个数的 倍; u v v uS Α Α ( ) ( ) 证 明 1从 及定义 3 和式 2知 - v u u vΑS 表示 - 大于零的分量个数大于 - 小于零的分 u v u v 1 量个数的 倍; , 表示 - 大于零的分量个数1 Αvu u v ?, | - | ? | - | . 同理, 由 得 -H u v + u v - u v v ΑS Α Α ΑS 1 1 大于或等于 u - v 小于零的分量个数的 倍, 但小于1 Α?, | - | ? | - | . 因 为 | -v | + = u H v u + v u - u Α Α 或等于 - 小于零的分量个数的 倍.u v Α | - | , | - | = | - | , 所以上式可 改 写 成 v u - u v - v u + 1 参考文献: | , 即| - | ?| - | , 推出 - ? -|||v + u v + Αu v - u v - u Α 0 0 1 胡毓达. 向量空间的较多序类 [. 数学年刊, 1990, 11 J 1 - ?ƒ. 因此, 有 - ?\, 再由定义 3 得到 u v H Αu v H H ΑΑ () 3: 269, 280.A , .2 vu 胡毓达. 多目标规划有效性理论 [. 上海: 上海科学 M ΑS 技术出版社, 1994. ( ) ( ) 2对任意 , ?, 从式 1知, 存在 ?使 v u X j N 3 运 陆晋奎. 多目标规划弱较多有效解的充要条件 [. J 得 - + - = .||||u v + u v - j () 筹学学报, 1998, 2 3: 68, 73. 0 11 Α . 由定理 若 - > - , 则 - ?||||u v + u v - u v Hj 4 夏道行, 杨亚立. 线性拓扑空间引论 [. 上海: 上海科 M Α 学技术出版社, 1986. 1 Α1 1 和 定 理 3 知, - ?, - ?, 由 此 推 出 u v H u v H j Α 5 运筹学学 陆晋奎. 实无限维线性空间中的较多序 [J . () 报, 1999, 3 3: 44, 48. v u. ΑS 1 若 | - | < | - | , 则 由 | -| = u v + u v - u v + 作者简介: Α | - < - 和 - = - , 得 -||| || || u v u - u v - v u + v 胡毓达 1935 年生. 1958 年毕业于华 1 东师范大学数学系. 现为温州大学数学与 因 ?1, 故 -|| v -| . | > | -| , - Αv u + u + Αv u - v u Α 0 0 信息科学学院和上海交通大学应用数学系 Α?, 根据定理 4 有 - ?, 由此推得 H v u H Αu . j vΑS 教授. 主要从事多目标最优化和群体决策 1 1 Α 1 < . 若 - = -|||| , 则 - ? u v + u v - u v Hj H Α Α 研究. 因为 ?1, 所以Α , 1942 年生. 1963 年毕业于复旦大 学 数 学 男陆晋奎 1 u -|v | ? | u - v | = Α| u - v | + - +系, 现为上海应用技术学院数理部副教授. 主要从事多目标 Α 规划理论研究. v | ? Α| u - v | | u - + -