牛顿莱布尼茨公式

牛顿莱布尼茨公式 华东师范大学数学系编《数学》第三版 第九章 定积分 黔西南民族师专数学系 ?2 牛顿—莱布尼茨公式 教学目的:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式( 教学内容:牛顿-莱布尼茨公式( (1) 基本要求:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式( (2) 较高要求:利用定积分的定义来处理一些特殊的极限( 教学建议: (1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式( (2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目( 教学程序: 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来. f(x)[a,b]F(x)f(x)[a,b]定理9-1 若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且 bf(x)dx,F(b),F(a) ,a bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为. ,aa ,:a,x,x,？,x,b[a,b]01n证 给定任意一个分割:， nn ,,F(b),F(a),F(x),F(x),f(,),x,,,1kkkk,1,1kk ， ,,[x,x],x,x,xf(x),C[a,b]kk,1kkkk,1这里，，用了Lagrange 中值定理.，由Cantor 定 ,,,,,f[a,b],,,,[a,b],,,0，,,0理，在一致连续，所以，，只要，，就有 ,f,f,()(),,b,a. ,,max,x,, 于是，当时，对，有,,,[x,x]kkk,1k1,k,n nn . ,,,,f,(),x,F(b),F(a),f(,),f(,),x,,,,kkkkkk,1k,1 F(x)[a,b](a,b)注1:在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如:在上连续，在 ,F(x),f(x),x,(a,b)f(x)[a,b]内可导，且.而只要在上可积即可. F(x)注2:本定理对的要求是多余的. 设在可积(不一定连续)，又设在上连续，并且在上，f(x)[a,b]F(x)[a,b](a,b) bb. ，则,F(x),f(x)f(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa Lagrange 证任给一分割，由中值定理[a,b],:a,x,x,？,x,b01n n . ，F(b),F(a),f(,),x,,(x,x),kkkk,1k,1k b,,max,x,0 . 因在可积，令，则上式右边所以[a,b]f,f(x)dxk,1,k,na 1 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案 第九章 定积分 黔西南民族师专数学系 b . F(b),F(a),f(x)dx,a 例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分: bbbdxxn1)xdx(n为整数); 2)(0