向量共线与平面向量的基本定理教师版

向量共线与平面向量的基本定理教师版 ?3从速度的倍数到数乘向量 1.掌握数乘向量的运算及几何意义((重点) 课标解读 2(理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理((难点) 3(了解向量线性运算的性质及其几何意义. 数乘向量及其运算律 1(数乘向量 (1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa. (2)长度:|λa|,|λ||a|. ,当λ,0时，与a的方向相同;,,(3)方向:λa的方向 ,当λ,0时，与a的方向相反., (4)几何意义:将表示向量a的有向线段伸长或压缩(当|λ|,1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上伸长为原来的|λ|倍;当|λ|,1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上缩短为原来的|λ|倍( 2(运算律 向量的数乘运算满足下列运算律: 设λ，μ为实数，则 (1)(λ，μ)a,λ a，μ a; (2)λ(μa),λμ a; (3)λ(a，b),λ a，λ b. 共线向量定理 1(判定定理:a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b,λ a，则向量b与非零向量a共线( 2(性质定理:若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b,λ a. 向量的线性运算 11113 计算:(1)3(6a，b),9(a，b);(2)[(3a，2b),(a，b)],2(a，b); 32228(3)2(5a,4b，c),3(a,3b，c),7a. 【自主解答】 (1)原式,18a，3b,9a,3b,9a. 13333(2)原式,(2a，b),a,b,a，b,a,b,0. 22444 (3)原式,10a,8b，2c,3a，9b,3c,7a,b,c. 1(向量的数乘运算类似于代数多项式的运算～主要是“合并同类项”、“提取公因式”～但这里的“同类项”、“公因式”指向量～实数看作是向量的系数( 2(对于线性运算～把握运算顺序为:运算律去括号?数乘向量?向量加减( 211(1)化简[(4a,3b)，b,(6a,7b)]; 334 12(2)设向量a,3i，2j，b,2i,j，求(a,b),(a,b)，(2b,a)( 33 21372317【解】 (1)原式,[4a,3b，b,a，b],[(4,)a，(,3，，)b] 33243234 1 2511511,(a,b),a,b. 3212318 1212(2)原式,a,b,a，b，2b,a,(,1,1)a，(,1，，2)b 3333 5555,,a，b,,(3i，2j)，(2i,j) 3333 101055,(,5，)i，(,,)j,,i,5j. 3333 共线向量定理及应用 ??? 已知两个非零向量a、b不共线，OA,a，b，OB,a，2b，OC,a，3b. (1)证明:A、B、C三点共线( (2)试确定实数k，使ka，b与a，kb共线( ???????? 【思路探究】 (1)AB,OB,OA?AC,OC,OA?找出AB与AC的等量关系 (2)令ka，b,λ(a，kb)?利用a与b不共线～求λ、k ??? 【自主解答】 (1)证明 由于OA,a，b～OB,a，2b～OC,a，3b～ ?????? 则AB,OB,OA,a，2b,a,b,b～而AC,OC,OA,a，3b,a,b,2b～ ?????? 于是AC,2AB～即AC与AB共线～ 又?AC与AB有公共点A～?A、B、C三点共线( (2)解 由于a、b为非零向量且不共线～?a，kb?0. 若ka，b与a，kb共线～则必存在唯一实数λ使ka，b,λ(a，kb)～ 整理得:(k,λ)a,(λk,1)b～ 因为非零向量a、b不共线～ ,,,k,λ,0k,1k,,1,,,,,,因此～?～或～ λk,1,0λ,1λ,,1,,,,,, 即存在实数λ,1～使ka，b与a，kb共线～ 此时k,1.或存在实数λ,,1～使ka，b与a，kb共线～ 此时k,,1～因此～k,?1都满足题意( 1(本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点～并且共线( 2(证明两个向量a与b共线时～只需证明a,λb(b?0)(若已知a与b(b?0)共线～则 可利用两向量共线的性质～得到λa,λb. 12 利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题～如要证A～B～C三 ?????? 点共线～只需证AB,λAC或AB,kBC(λ～k?R)等,要证AB?CD～只需证AB,λCD(λ?R)(也 可解决相关求参问题( 已知e?0，λ?R，a,e，λe，b,2e.若a与b共线，则( ) 1121 A(λ,0 B(e,0 2C(e?e D(λ,0或e?e 1212【解析】 e?e时～显然a与b共线,若e～e不共线～设a,kb～则有(1,2k)e，λe121212 1,,k,1,2k,0～,～,2,,0～于是～即【】 D , λ,0～,, ,,λ,0. 向量线性运算的综合应用 2 图2,3,1 ?? 如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK,e，AL,1 ?? e，试用e，e表示BC，CD. 212 ?? 【思路探究】 解答本题可先将BC～CD视为未知量～再利用已知条件找等量关系～列 ?? 方程(组)～通过解方程(组)求出BC～CD. ????1111【自主解答】 法一 设BC,x～则BK,x～AB,e,x～DL,e,x～ 112224 ????1142又AD,x～由AD，DL,AL得x，e,x,e～解方程得x,e,e～ 12212433 ?????42142即BC,e,e～由CD,,AB～AB,e,x～得CD,,e，e. 2111233233 ????11～CD,y～则BK,x～DL,,y. 法二 设BC,x22 ?????? 由AB，BK,AK～AD，DL,AL得 1,y，x,e～ ?1,2 ,1 x,y,e～ ?2,2 1用2乘以?与?相减得x,2x,e,2e～解得 122 ??22242x,(2e,e)～即BC,(2e,e)～同理得y,(,2e，e)～即CD,,e，e. 2121121233333 1(由已知向量表示未知向量时～要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律～还应重视平面几何定理的应用( 2(当用已知向量表示未知向量比较困难时～应考虑方程思想～利用方程的观点进行求解( (2013?大连高一检测)如图所示，D，E分别是?ABC中边AB，AC的中点，M，N分别 ?????是DE，BC的中点，已知BC,a，BD,b，试用a、b分别表示DE、CE、MN. ???111【解】 由三角形中位线定理～知DE綊BC～故DE,BC～即DE,a. 222 ????11CE,CB，BD，DE,,a，b，a,,a，b. 22 ???????11111MN,MD，DB，BN,ED，DB，BC,,a,b，a,a,b. 22424 3 数形结合思想在向量线性运算中的应用 ??2 (12分)如图所示，在?ABC中，AD,AB，DE?BC交AC于E，BC边上的3 ???????? 中线AM交DE于N，设AB,a，AC,b，用a，b表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN. 图2,3,3 【思路点拨】 利用DE?BC等条件进行转化( ??2【解答】 ?DE?BC～AD,AB～ 1分 3 ?????22?AE,AC,b～BC,AC,AB,b,a. 4分 33 ??22由?ADE??ABC～得DE,BC,(b,a). 6分 33 又?AM是?ABC底边BC的中线～DE?BC～ ??11?DN,DE,(b,a). 8分 23 ????111AM,AB，BM,a，BC,a，(b,a),(a，b). 10分 222 ??2AB～ ??ADN??ABM～AD,3 ??21?AN,AM,(a，b). 12分 33 建立已知向量与未知向量之间的关系时，应注意结合几何图形，利用平面几何中的一些 结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系( 课堂小结 1(学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律，明确了λa的大小、方向以及几何意义( 2(学习了向量共线的判定定理和性质定理( 3(掌握了向量加、减、数乘的线性运算，从而进行化简求值( 4 4(能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行( 1(设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有( ) (1)a与,λa的方向相反; (2)|,λa|?|a|; 2(3)a与λa方向相同; (4)|,2λa|,2|λ|?|a|. A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 【解析】 由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确(【答案】 B 2(下列各式计算正确的是( ) A(a，b,(a，b),2a B(2(a，b)，c,2a，b，c C(3(a,b)，3(a，b),0 D(a，b,(b,3c),a，3c 【解析】 A～不正确～结果应为0,B不正确～C不正确,D正确～故选D. 3((2013?郑州高一检测)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的 ??? 中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC,a，BD,b，则AF,( ) 11211112A.a，b B.a，b C.a，b D.a，b 42332433 【解析】 如图所示:作 OG?EF交DC于G～由于DE,EO～得DF,FG. ??1111又由AO,OC得FG,GC～于是DF,DC,(,b，a)～ 3322 ???1111121那么AF,AD，DF,(a，b)，(,b，a),a，b. 【答案】 B 2232233 ?? 4(如果向量AB,i,2j，CB,i，mj，其中向量i、j不共线，试确定实数m的值，使A、 B、C三点共线( ????【解】 ?A、B、C三点共线～即AB、CB共线～?存在实数λ使得AB,λCB～ 即i,2j,λ(i，mj)(?i,2j,λi，λmj. ,λ,1～,,于是解得m,,2～ λm,,2.,, 即m,,2时～A、B、C三点共线. 一、选择题 1(已知|a|,5，b与a的方向相反，且|b|,7，若a,λb，则λ的值为( ) 5577A. B(, C. D(, 7755 |a|55【解析】 由于,～且a～b反向～所以a,,b～故选B.【答案】 B |b|77 ???2(如图，已知AM是?ABC的边BC上的中线，若AB,a，AC,b，则AM等于( ) 1111A.(a,b) B(,(a,b) C.(a，b) D(,(a，b) 2222 5 ?1【解析】 ?M是BC的中点～?AM,(a，b)(【答案】 C 2 ??? 3(在四边形ABCD中，AB,a，2b，BC,,4a,b，CD,,5a,3b，且a、b不共线，则四边形ABCD的形状是( ) A(梯形 B(平行四边形 C(菱形 D(矩形 ???? 【解析】 ?AD,AB，BC，CD,a，2b,4a,b,5a,3b,,8a,2b,2(,4a,b),????? 2BC～?AD?BC～又?AB与CD不平行～所以四边形ABCD为梯形～故选A.【答案】 A ??? 4(已知向量a、b，且AB,a，2b，BC,,5a，6b，CD,7a,2b，则一定共线的三点是( ) A(A、B、D B(A、B、C C(B、C、D D(A、C、D ???? 【解析】 BD,BC，CD,2a，4b,2(a，2b),2AB～ ?? ?BD与AB共线～?A、B、D三点共线(【答案】 A ?????15(在?ABC中，已知D是AB边上一点，若AD,2DB，CD,CA，λCB，则λ等于( ) 3 2112A. B. C(, D(, 3333 【解析】 如图所示: ??????????22122CD,CA，AD,CA，AB,CA，(CB,CA),CA，CB. 所以λ,. 【答案】 A 33333二、填空题 6(设a、b是两个非零向量，若8a,kb与,ka，b共线，则实数k,________. 【解析】 由题意知8a,kb,λ(,ka，b)～ ,8,,λk～,,即?k,?22. 【答案】 ?22 ,k,λ.,, ????? (在?ABCD中，AB,a，AD,b，AN,3NC，M为BC的中点，则MN,________.(用7 a、b表示) ?????1【解析】 由AN,3NC～得4AN,3AC,3(a，b)(又?AM,a，b～ 2 ???311111所以MN,AN,AM,(a，b),(a，b),,a，b. 【答案】 ,a，b 424444 ???CDAE18(如图，?ABC中，,,，若BC,a，CA,b，DE,λa，μb，则λ，μ________. DAEB2 6 ????????1212【解析】 ?DE,AE,AD,AB,AC,(AC，CB)，CA 3333 1121111,,b,a，b,b,a. ?λ，μ,,，,0. 【答案】 0 3333333 三、解答题 图2,3,6 9(如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在对角线BD上，且BN 1,BD. 3 求证:M、N、C三点共线( ?? 【证明】 设AB,a～AD,b～则 ????????1111MN,MB，BN,AB，BD,AB，(AD,AB) 2323 ??111111AB，AD,a，b,(a，b)( ,636332 ?????11MC,MB，BC,AB，AD,a，b. 22 ????1?MN,MC～?向量MN与MC共线( 3 ?? 又由于MN与MC有公共点M～故M、N、C三点共线( ???10(设e，e是不共线的向量，已知向量AB,2e，ke，CB,e，3e，CD,2e,e，12121212 若A、B、D三点共线，求k的值( ?????【解】 证明存在实数λ～使得AB,λBD. 又BD,CD,CB,e,4e～ 12 ?? 所以要使AB,λBD～则2e，ke,λ(e,4e)～ 1212 ,λ,2～,,所以所以k,,8. k,,4λ.,, ???2111(在?ABC中，点P是AB上一点，且CP,CA，CB，Q是BC的中点，AQ与CP33 ?? 的交点为M，若CM,tCP，则t等于多少, ??? 【解】 ?A、M、Q三点共线～?CM,αCQ，βCA(α，β,1)～ ?????????1αβαβ212t2t?CP,CM,CQ，CA,CB，CA～又?CP,CA，CB～?α,～β,～ ttt2tt3333 2t2t3所以α，β,，,1～?t,. 334 7 ??? 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点(若AC,λAE，μAF，其中λ，μ?R，求λ，μ的值( ?????11【解】 设AB,a～BC,b～则AF,a，b～AE,b，a～AC,a，b～ 22 ???1111AC,λAE，μAF,λ(b，a)，μ(b，a),(λ，μ)b，(λ，μ)a,a，b. 2222 又?a、b不共线～ 1λ，μ,1,224所以～解得λ,μ,～?μ，λ,. ,331 λ，μ,1,2 ???? 证明向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数λ，μ且λ，μ,1，使得OC,?? λOA，μOB. ????? 【证明】 若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线～则有:AC,tAB～ ? 在?AOB、?AOC中分别利用向量的三角形法则～有: ?????? AC,OC,OA～AB,OB,OA～代入? ??????? 得:OC,OA,t(OB,OA)～即:(1,t)OA，tOB,OC～ ??? 不妨令λ,1,t～μ,t～则有:λOA，μOB,OC且λ，μ,1. 3(2 平面向量基本定理 1.了解平面向量基本定理及其意义((重点) 课标解读 2(能应用平面向量基本定理解决一些实际问题((难点) 平面向量基本定理 如果e和e(如图2,3,7?)是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内12 的任一向量a，存在唯一一对实数λ，λ，使a,λe，λe(如图2,3,7?)，其中不共线的12122 向量e和e叫作表示这个平面内所有向量的一组基底( 12 8 平面向量基本定理的理解 如果e，e是平面α内所有向量的一组基底，λ、μ是实数，判断下列说法是12 否正确，并说明理由( (1)若λ，μ满足λe，μe,0，则λ,μ,0; 12 (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a,λe，μe成立的实数λ，μ有无数对; 12 (3)线性组合λe，μe可以表示平面α内的所有向量; 12 (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe，μe可能表示同一向量( 12 【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断( μ【自主解答】 (1)正确(若λ?0～则e,,e～从而向量e～e共线～这与e～e不121212λ共线相矛盾～同理可说明μ,0. (2)不正确(由平面向量基本定理可知λ～μ唯一确定( (3)正确(平面α内的任一向量a可表示成λe，μe的形式～反之也成立( 12 (4)不正确(结合向量加法的平行四边形法则易知～当λe和μe确定后～其和向量λe121 ，μe便唯一确定( 2 1(对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示,反之～平面内的任一向量 也可以分解为两个不共线的向量的和的形式( 2(向量的基底是指平面内不共线的向量～事实上若e～e是基底～则必有e?0～e?0～1212 且e与e不共线～如0与e、e与2e、e，e与2(e，e)等均不能构成基底( 121111212 设e、e是不共线的两个向量，给出下列四组向量:?e与e，e;?e,2e与e,2e;121121221 ?e,2e与4e,2e;?e，e与e,e.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的序号12211212 是________((写出所有满足条件的序号) ,λ,1～,,【解析】 ?中～设e，e,λe～则无解～ 121 1,0～,, ?e，e与e不共线～即e与e，e可作为一组基底, 121112 ?中～设e,2e,λ(e,2e)～ 1221 ,1，2λ,0～,,(1，2λ)e无解～ 则,(2，λ)e,0～则12 2，λ,0～,, ?e,2e与e,2e不共线～即e,2e与e,2e可作为一组基底, 12211221 1?中～?e,2e,,(4e,2e)～ 12212 ?e,2e与4e,2e共线～即e,2e与4e,2e不可作为一组基底, 12211221 ,1,λ,0～,,?设e，e,λ(e,e)～则(1,λ)e，(1，λ)e,0～?无解( 121212 1，λ,0～,, ?e，e与e,e不共线～即e，e与e,e可作为一组基底( 12121212 【答案】 ? 用基底表示向量 9 ???? 在平行四边形ABCD中，设AC,a，BD,b，试用基底a，b表示AB，BC. ???? 【思路探究】 可以利用向量加法的三角形法则将AB～BC用AC～BD表示即可,也可 ?????? 以用AB～BC表示AC～BD～建立方程组求解AB～BC. 【自主解答】 法一:如图～设AC～BD相交于点O～ ????????????111111则有AO,AC,a～BO,BD,b～?AB,AO，OB,AO,BO,a,b～BC,BO，OC22222211,a，b. 22 ???,??,AB，BC,ACx，y,a,11,法二:设AB,x～BC,y～则有～即～解之可得x,a,b～, 22?y,x??,,b, ,AD,AB,BD ??111111y,a，b～即AB,a,b～BC,a，b. 222222 1(若题目中已给出了基底～求解此类问题时～常利用向量加法的三角形法则或平行四边行法则～结合数乘运算找到所求向量与基底的关系( 2(若题目中没有给出基底～常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底～而后用上述方法求解( ? 本例条件不变，设M为DC中点，则AM用a，b表示结果如何, ???1111【解】 由本例解答可知～AD,BC,a，b～AB,a,b～ 2222 ?????111111?AM,AD，DM,AD，AB,a，b，(a,b) 222222 31,a，b. 44 转化思想在平面向量中的应用 如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证:E为线段BD的三等分点( ????2【思路点拨】 要证E为线段BD的三等分点～只需证BE,BD～可设BE,μBD.3 10 ?????2选取AB～AD作为基底～通过AB，BE,AE建立相应的方程组～并进行运算～求出μ,3 即可( ????? 【规范解答】 设AB,a～AD,b～则BD,AD,AB,b,a～ ?????11AF,AD，DF,AD，AB,b，a. 3分 22 ????因为A、E、F与B、D、E分别共线～所以存在实数λ、μ?R～使AE,λAF～BE,μBD. ??λ于是AE,a，λb～BE,μb,μa. 6分 2 ???λ由AB，BE,AE得～(1,μ)a，μb,a，λb. 2 因为a～b不共线～由平面向量基本定理～ λ?1,μ,且μ,λ. 9分 2 ??22解得λ,μ,.?BE,BD～ 33 即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点. 12分 用向量解决平面几何问题的一般步骤如下: (1)选取不共线的两个平面向量作为基底; (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解( 课堂小结 1(学习了平面向量基本定理，明确了其含义及特征( 2(学习了基底的概念，明确了基底的两个特性:即不共线、不唯一( 3(初步掌握了平面向量基本定理的应用，并且待定系数法解题的方法得到巩固( 1(已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) ????A.AB，DC B.AD，BC ????C.AD，CB D.AB，DA 【解析】 结合图形及基底的概念知D正确～故选D. 【答案】 D 2(下列关于基底的说法正确的序号是( ) ?平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ?基底中的向量可以是零向量; ?平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的( A(?? B(?? C(?? D(??? 【解析】 由基底的定义可知??正确(【答案】 B ???3((2013?四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB，AD,λAO， 则λ,________. 11 ??? 【解析】 由向量加法的平行四边形法则～得AB，AD,AC. ?????又O是AC的中点～?AC,2AO～?AC,2AO～?AB，AD,2AO. ??? 又AB，AD,λAO～?λ,2. 【答案】 2 4(如图所示，已知梯形ABCD中，AB?DC，且AB,2CD，E、F分别是DC、AB的 ????? 中点，设AD,a，AB,b，试用a、b为基底表示DC、BC、EF. 【解】 连接FD～?DC?AB～AB,2CD～E、F分别是DC、AB的中点～ ?DC//FB. ?四边形DCBF为平行四边形( ?????????1111依题意～DC,FB,AB,b～ BC,FD,AD,AF,AD,AB,a,b～ 2222???????11111EF,DF,DE,,FD,DE,,BC,DC ,,(a,b),×b,b,a. 22224 一、选择题 1(设点O是?ABCD两对角线的交点，下列向量组: ???????? ?AD与AB;?DA与BC;?CA与DC;?OD与OB.可作为该平面其他向量基底的是( ) A(?? B(?? C(?? D(?? ???? 【解析】 如图所示～AB与AD不共线～CA与DC不共线～所以它们可作为该平面其他 向量的基底～故选B.【答案】 B 2(如果e、e是平面内所有向量的一组基底，那么( ) 12 A(若实数m、n使得me，ne,0，则m,n,0 12 B(空间任一向量a可以表示为a,λe，λe，其中λ、λ为实数 112212 C(对于实数m、n，me，ne不一定在此平面上 12 D(对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m、n，使a,me，ne 12【解析】 只有A正确(【答案】 A ???3(设一直线上三点A，B，P满足AP,mPB(m?,1)，O是直线所在平面内一点，则OP?? 用OA，OB表示为( ) ?????? A.OP,OA，mOB B.OP,mOA，(1,m)OB 12 ??????OA，mOB11C.OP, D.OP,OA，OB 1，mm1,m ?????? 【解析】 由AP,mPB得OP,OA,m(OB,OP)～ ???????OA，mOB?OP，mOP,OA，mOB～?OP,.【答案】 C 1，m ??? 4(如图所示，在矩形ABCD中，若BC,5e，DC,3e，则OC,( ) 12 1111A.(5e，3e) B.(5e,3e) C.(3e,5e) D.(5e,3e) 121221212222 ?????111【解析】 OC,(AB，AD),(BC，DC),?(5e，3e)(【答案】 A 12222 ???AB5(O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP,OA，λ(? |AB|? AC，)，λ?[0，，?)，则P的轨迹一定通过?ABC的( ) ? |AC| A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ???? 【解析】 原式可化为OP,OA,λ(e，e)～其中e～e分别是AB～AC方向上的单位向1212 ? 量(?AP,λ(e，e)～(λ?0)～因此～AP平分?BAC～?P必落在?A的平分线上～ 12 即P的轨迹一定通过?ABC的内心～故选B. 【答案】 B 二、填空题 ??? 6(设G是?ABC的重心(即三条中线的交点)，AB,a，AC,b.试用a，b表示AG,________. 【解析】 延长AG交BC于D～ ???????????2221211111?AG,AD,(AB，BD),(AB，BC),AB，(AC,AB),AB，AC,a，b. 3332333333 7(已知e、e不共线，a,e，2e，b,2e，λe，要使a、b能作为平面内的一组基底，121212 则实数λ的取值范围为__________( 【解析】 若能作为平面内的一组基底～则a与b不共线(a,e，2e～b,2e，λe～1212由a?kb即得λ?4. 【答案】 λ?4 ?? 8(如图2,3,11所示，在?ABCD中，AB,a，AD,b，AN,3NC，M为BC的中点，? 则MN,________(用a，b表示)( 13 1【解析】 由于AN,3NC～?CN,CA～ 4 ??????????11111111?MN,MC，CN,AD,AC,AD,(AB，AD),AD,AB,b,a. 24244444 11【答案】b,a 44 三、解答题 9(判断下列命题的正误，并说明理由: (1)若ae，be,ce，de(a、b、c、d?R)，则a,c，b,d; 1212 (2)若e和e是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e，121e、e,e表示出来( 212 【解】 (1)错，当e与e共线时，结论不一定成立( 12 (2)正确，假设e，e与e,e共线，则存在实数λ，使e，e,λ(e,e)，即(1,λ)e,121212121,(1，λ)e. 2 因为1,λ与1，λ不同时为0，所以e与e共线，这与e与e不共线矛盾( 1212 所以e，e与e,e不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e12121 ，e、e,e表示出来( 212 ?? 10(已知AP,λAB(λ?R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)( ??? (1)试以OA，OB为基底表示OP; 1(2)当λ,时，试确定点P的位置( 2 ?????? 【解】 (1)?AP,OP,OA～AB,OB,OA. ????????? 由AP,λAB得(OP,OA),λ(OB,OA)～?OP,λOB，(1,λ)OA. ?????1111(2)当λ,时～由(1)可知OP,OB，OA,(OA，OB)～结合向量加法的几何意义可知～2222 此时点P为线段AB的中点( 11(如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G， ??? 若AB,a，AD,b，用a、b表示AG. ??????11【解】 ?CF,CD～CE,CB～设CG,λCA～ 22 ????? 则由平行四边形法则可得CG,λ(CB，CD),2λCE，2λCF. 1由E、G、F三点共线～则 2λ，2λ,1～即λ,. 4 ????331从而CG,CA～所以AG,AC,(a，b). 444 1如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM,AB，点N在BC2 14 1上，且BN,BC.求证:M、N、D三点共线( 3 ???????111【证明】 设AB,e～AD,e～则BC,AD,e. ?BN,e～BM,AB,e. 12221322 ???????11311?MN,BN,BM,e,e. 又?MD,AD,AM,e,e,3(e,e),3MN. 21212132232 ?? ?向量MN与MD共线～又?M是公共点～故M、N、D三点共线( ???1设a，b是两个不共线的非零向量，记OA,a，OB,tb(t?R)，OC,(a，b)，那么当实3数t为何值时，A、B、C三点共线, ??????1【解】 ?OA,a～OB,tb～OC,(a，b)～ ?AB,OB,OA,tb,a～ 3 ???112OA,(a，b),a,b,a～ AC,OC,333 ??12?A、B、C三点共线～?存在实数λ～使AB,λAC～ 即tb,a,λ(b,a)( 33 13t,λ～λ,～,,32由于a～b不共线～?解得 ,,21 ,1,,λ.t,.,,32 1故当t,时～A、B、C三点共线( 2 15