分段函数例题

分段数常见型例析 河南 陈长松 所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误(现就分段函数的常见题型例析如下: ,(求分段函数的定义域、值域 2,x，4x,(x,,2),f(x)例,(求函数, 的值域( ,xx,(,,2),2, 22解:当?,,时，， ? ?,,( yy,x，4x,(x，2),4x ,2x 当,,,时，,， ?,,,,( yyx22 f(x) ? 函数的值域是,??,,，或,,,,,,??,,,( yyyyy评注:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是各段函数值集合的并集( ,(作分段函数的图象 ,,,,,2(2)，，xy, ,fx()例, 已知函数，画函数的图象. fxxx()3[22),，,,，， , ,33[2)，，x,，,, 解:函数图象如图,所示( 评注:分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成， x作图的关键是根据定义域的不同，分别由达式做出 O,212其图象(作图时，一要注意每段自变量的取值范围; ,2二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实( ,(求分段函数的函数值 图1 x，1,(x,0), ,f(x),(已知, 求fff(((3))),的值( 例,(x,0),, ,0.(x,0), f 解:? ,,,, ? (,,),,， fff ? ((,,)),(,), , fff(((3))),f又,, ?,(),，,( ,,, 评注:求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值( ,(求分段函数的最值 2(0)，?x,f(x), 求出这个函数的最值( 例,(已知函数,2xx，(0),, , 解:由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由 两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是 一条射线，如图,所示(因此易得，函数最小值为,， 没有最大值( , , , ,(表达式问题 例,( 如图,，动点P从边长为,的正方形的顶点A出发顺次经过ABCD 再回到A，设表示P点的行程，表示PA的长度，求关于的表达式( BCD，，yyxx解:如图3所示，当P点在AB上运动时，; PAx, 2PAx,，,1(1)P当点在上运动时，由，求得; BCRt?PBA 2PAx,，,1(3)P当点在上运动时，由求出; CDRt?PDA PDA当点在上运动时，， PAx,,4 CD xx， 01??，, ,2xxx,，,2212， ?，,所以关于的表达式是 yy,x,2P xxx,，,61023， ?，, ,434.,,xx， ?, 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的 B A 各段合并成一个整体，必须用符号“,”来表示，以纠正 图, 同学们的错误认识(