论文_关于函数一致连续性的讨论

论文_关于函数一致连续性的讨论 长沙学院信息与计算科学系 本科生科研训练 关于函数一致连续性的讨论 系 (部): 信息与计算科学 专 业: 数学与应用数学 学 号: 2009031120 学生姓名: 申霁 成 绩: 2012 年, 月 1 关于函数一致连续性的讨论 申霁 长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022 摘要:函数的一致连续性在数学中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要(本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性( 关键词:连续函数性质 区间 一致连续性 瑕积分 比值判别法 ,引言 函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍、重要和抽象的概念，反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性fx()fx()质，是微积分学的基础( 文献[1]的作者介绍了数学分析中的一些定理性质及应用(文献[2]的作者讨论了如何判断函数是否一致连续，并且给出了一致连续的性质和证明(文献[3]的作者讨论了函数在非闭区间包括有限开区间及无限区间上，满足一致连续性的充分条件，并且用连续模刻画任意区间上的函数的一致连续性(文献[4]的作者结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的几种新判别方法(文献[5]的作者提出了函数一致连续性的比较判别法和比值判别法定理( 本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性( 【1】,,0I定义 1 设为定义在区间上的函数，若对任给的，存在f x，x,I|x,x|,,,,,(,),0，使得对任何,只要，就有 1212 |f(x),f(x)|,,， 12 I则称函数f在区间上一致连续( 1 , 不同类型区间上函数的一致连续性 【2】我们利用连续函数的性质判定闭区间上函数的一致连续性，非闭区间包括 【3】有限开区间及无限区间上函数的一致连续性( [2]定理1(Contor定理) 若函数在上连续，则在上一ab,ab,fx()fx(),,,, 致连续( ,,,0证明 ，因为在点连续，所以， ，,xx，,,,(,,x),0,[a,b]f(x)000 ,,使得 ，若，，则 |x,x||x,x|,,x,x,[a,b],10201222 ,， |f(x),f(x)|,102 ,， |f(x),f(x)|,202 就有 ,,,,||， x,x，|x,x||x,x|,，,20101222 ,,,， |f(x),f(x)|，|f(x),f(x)|,|f(x),f(x)|,，,10202122 ,O(x,)也就是说，在任何邻域内，都有 x,x,x[a,b]00124 ( |f(x),f(x)|,,21 ,,O(x,)O(x,)现在考虑，当取遍上一切点时，构成一个开区间集x[a,b]00044EE，它覆盖着，由有限覆盖定理，就由从中所取的有限个开区间 [a,b][a,b] ,,,,,k3k12,O(x,)min(,,？), 所覆盖，取，且,x,x,[a,b](k,1,2,3？,m)k1244444 ,,,iik00O(x,)x,(x,)|x,x|,，必属于中的一个，设即， |x,x|x,,k1i1i12100444又 ,i0|x,x||x,x|,|x,x|，， ,，,1i2i12004 ,i0x,x,O(x,)明，所以有 12i04 |f(x),f(x)|,,， 21 f(x)[a,b]即在上一致连续( 2 [3] limf(x)limf(x)定理2 函数在内连续，且与都存在，则在f(x)(a,b)，,x,ax,b 上一致连续( (a,b) 证明 因为函数在内连续， (a,b) 所以有 limf(x)limf(x),,，， f(a)f(b)，,x,ax,b则在上连续，由定理1可知，在上一致连续从而在f(x)[a,b]f(x)[a,b]f(x)(a,b) 上一致连续( [3]limf(x)定理3 若在上连续，且 ,则在f(x)[a,，,),A(A,,)f(x)x,，, 上一致连续( [a,，,) limf(x),0X,a证明 因为,A,，由Cauchy收敛准则有，，,，x,，, ，有 ,x,x,X12 ， |f(x),f(x)|,,21又已知在上连续， 所以在上一致连续，即上述f(x)[a,X，1]f(x)[a,X，1] ,,0,0，，，有 ,,x,x,[a,X，1]:|x,x|,,，1212 ， |f(x),f(x)|,,21 ,于是，有 ,x,x,[a,，,):|x,x|,1212 ， |f(x),f(x)|,,21即在上一致连续( f(x)[a,，,) [3]limf(x)定理 4 若在上连续，且,则在f(x)(,,,b],B(B,,)f(x)x,,, 上一致连续( (,,,b] [3]limf(x)limf(x)定理5 在上连续，且，，f(x)(，,,,,),B(B,,)x,，,x,,,则在上一致连续( f(x)(，,,,,) 【2】,例 1 证在上是一致连续的( f(x)(，,,,,)sin(x) 证明 设x，x, (，,,,,),12 ||x,xx,xx,x121212|sincos||sinx,sinx|,2,|x,x|2, ,1212222 ,,,0，,,,|x,x|,,故对，，当时，有 12 ,|sinx,sinx||x,x|,,,, ,1212 ,f(x)(，,,,,)所以sin(x)在上是一致连续的. 3 , 利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性 结合瑕积分敛散性的判别法，给出了有穷限非闭区间上函数的一致连续性的 【4】几种新判别方法( b[4],定理 6 ，为的瑕点，且收敛，则f(x)dxa,(x),f(x),x,(a,b]f(x),a 在上一致连续( ,(x)(a,b] b证明 ，在上任意闭区间因为,(,),f(x)dx在(a，b]上连续所以,(x)(a,b],, b上连续，从而在上一致连续，因为收敛，所以f(x)dx[,,b],(x)[,,b],, 只要，总有 ,,,0,，,,0,,,,,(a,a，,)1121 bb， ,|,(,),,(,)|,,|f(x)dx,f(x)dx|12,,,,21 ,只要，总有 所以,,,0,，0,,,,|,-,|,,112 ， |,(,),,(,)|,,12 所以在上一致连续，取，可得 在上一致(a,a，,)a,,,a，,,(x),(x)(a,b]11连续( b[4],f(x)dx定理7 ，,为的瑕点，且收敛，a,(x),f(x)g(x)x,(a,b]f(x),a 在上单调有界，则在上一致连续( g(x)(a,b],(x)(a,b] A[4],F(A),f(x)dx定理8 ，,为的瑕点，且a,(x),f(x)g(x)x,(a,b]f(x),a ，x,a在上有界， 在上单调且当时趋向0，则在上一(a,b]g(x)(a,b],(x)(a,b]致连续( , 利用比值判别法判断函数一致连续性 ,,,利用比值判别法判断函数的一致连续性( 【5】定理 9 函数，，，，满足: f(x)g(x)C(I)I,[a,，,)f(x)g(x), ,,limf(x)limg(x)(i) ; ,x,，,x,，, 'I(ii) f(x)，g(x)在上可导，且0; g(x), 'f(x)f(x),AAlimlimf(x)g(x)(iii)存在，若 (为非0定值)，则，有相'x,，,x,，,g(x)g(x) 4 同的一致连续性( 【5】2例判断函数 2的一致连续性( f(x),xlnx，x 2xlnx，x,lim证明 选取函数作为比较函数，有，函数,1xg(x)x,，,x 2,在区间上一致连续，由定理5知，函数函数的xg(x)(0,，,)f(x),xlnx，x一致连续性( 参考文献 [1] 华东师范大学数学系编 数学分析[M] 上册(第三版) 高等教育出版社 78-79 [2] 高吉(浅析函数的一致连续性，包头职业技术学院学报[J](2011,12(3):40-41 [3] 张婧(关于函数在非闭区间上的一致连续性的几点注释，长春师范学院学报[J](2011，30(3):10-11 [4] 刑秀芝，吴景珠，王励冰(谈函数一致连续性的判别方法，周口师范学院学 ,(2009,27(2):37-38 报,J [5]杨小远，马建华，张立文，王玮彬，刘梦(关于函数一致连续性的判别方法研究[J](2010，28(6):635-636 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 5 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 6 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一 7 只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。 8