向量公式[宝典]

向量公式[宝典] 向量概念 一、向量有关概念 名称 定义 备注 向量 既有_______又有_______的量。 向量不能比较大小 , 若已知，则axy,,，，向量的大小叫做向量的_______(或_______) 向量的模 ,记为_______ 22，模可以比较大小 axy,， 零向量与所有向量平行; 零向量 长度为_______的向量，记为_______ 与所有向量垂直。 单位向量 长度等于_______的向量 ,平行向量 方向_______或_______的非零向量。 与任一向量平行或共线; 0 直线平行:不包括重合情况 共线向量:包括重合情况 ,,,,共线向量 _______向量又叫共线向量。 若a、b都是非零向量，ab , ,, 存在实数λ，使 ab,, 特点:1、长度相等; 相等向量 长度_______且方向_______的向量 2、平行且方向一致 特点:1、长度相等; 长度_______且方向_______的向量 2、平行且方向相反 ,相反向量 ,0的相反向量是本身 ,,,a_______ ，， 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 备注 ,,,,,,,,,,,,三角形法则: C ABBCAC，, 特点:首尾相连，始终如一。 ,,,,,,,,,,,,,A B ABCABBCCA，，,0在中， 求两个向量和的运加法 平行四边形法则: 算 ,,,,,,,,,,,,D ABACAD，,C 特点:共同始点为相邻边的和是平行 四边形中有共同始点的对角线。 A B ,,三角形法则: ,,,,,,,,,,,,ab求与的相反向量ACABBC,, C ,,特点:差向量是从减向量的终点指向减法 ,ba的和的运算叫做 被减向量的终点。 , b与的差 A B , =_______ 1、当a,, ,与向量求实数a,,,,数乘 ,,0,,02、当时，与的方向_______;当时，与的方向,aa,aa的积的运算 ,,,, ,,0,,R_______;当时，=_____;当时，则_____ ,aa,0,,,0三、向量的表示方法 ,,,,,B 1、字母表示法:如、; 2、几何表示法:用一条______________表示向量;aAB ,,,, 3、坐标表示法:在平面直角坐标系中，设向量的始点为坐标原点，OAA O ,,,, 终点坐标为A(X，Y)，则向量坐标记为(X，Y) OA 四、两个向量的夹角 ,,,,,,,,,,,,,, ，,AOB,1、定义:已知两个_______向量a与b，作，，则叫做向量a与b的夹角。OAa,OBb, ,,,,00,,,,abab0180,,,2、范围:，与同向时，夹角_______;与反向时，夹角_______ ,,,, abab3、向量垂直:如果向量与的夹角是_______时，则与垂直，记为_______ 五、平面向量基本定理及坐标表示 ,,,,, 1、定理:如果、是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意ee12 ,, aa向量，_______一对实数,、,，使=___________，其中，___________叫做表示12 这一平面所有向量的一组基底。 2、平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。 3、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两 ,,, ia个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数对X，Y，j ,,,,, aa使，把有序实数对_______叫做向量的坐标，记作=_______，其中_____axiyj,， ,,,,,, aaa叫做在X轴上的坐标，其中_____叫做在Y轴上的坐标。即 =axiyj,，(x，y) 六、平面向量的坐标运算: ,,,, 1、向量坐标求法:已知，，则，即一个向量的坐Axy,Bxy,ABxxyy,,,,，，，，，，11222121 标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。 ,, 2、向量坐标加法、减法、数乘运算:设， axy,,bxy,,，，，，1122 ,,,, 加法:+= 减法:-= abxxyy，，,abxxyy,,,，，，，12121212 , 数乘: axyxy,,,,,,,,，，，，1111 ,,,3、平面向量共线与垂直的表示:设，，其中，则b,0axy,,bxy,,，，，，1122 ,,,,,,xy11与共线(或)ab,,,,,,,,abxyxy,,0ab 1221xy22 ,,,, a ,,babxxyy ,,，,001212 七、平面向量数量积 ,,,, ,abab1、已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量_______叫做与的数量积(或 ,,,, bab内积)，记作a。，即。=_______，并零向量与任一向量的数量积为_______ ,, ab注:两个非零向量和的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。 ,,,,,,00000，，,,ab 0,,,,900ab ,,ab 0,,0,90,,90,180当; 当 当; ，，，， ,,,,,, ab ab，ab数量积是内积，用表示，不能用或表示 2、一向量在另一向量方向上投影 ,,,,,,,,, abbaOAa,定义: _______(_______)叫做在的方向上(在的方向上)的投影。如图， ,,,,,, BOBb, cos,OBb,BBB，过作垂直于直线OA，垂足为，则 111 B B ,B ,b ,b ,b ,, a , a ,, O A A B aO A 1BB 0 ，，11图1 图2 图3 ,,, 叫做向量在的方向上 OBb, cos,ba1 ,,当为锐角时，如图1，它是_______; 当为钝角时，如图2，它是_______; 00,,,当为直角时，如图3，它是_______; 当=时，它是_______; 当=时，0180它是_______; ,,,,,, 的几何意义:数量积等于的长度a与______________的乘积 ab ab a 3、平面向量数量积的重要性质: ,,,,,,,, ,设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 。= abebaeea,, a。e=_______ ,,,,,,,, abab 当与同向时，ab =_______; 当与反向时，ab =_______; ,,,,,,,,222aaaa,, aaaa,特别是。= ,,,,,,,, aabab ,|cos|,,,bab =_______ 4、平面向量数量积的运算律 ,,,, ,ab ,ab交换律:+=_______ 数乘结合律:______________=______________，， ,,,,,,,,,222ab cabaabb，,，，2 分配律:(+)=______________ ，， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,222222abcabcabacbc，，,，，，，，，222 ababab,，,, ，，，，，， 八、向量的应用: 1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 ,,,,,,xy11ab,,,,,,,,abxyxy,,0与共线(或) ab 1221xy22 ,,,,C a,,babxxyy ,,，,002、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件:1212 D A B ,, abxxyy ，12123、求夹角的问题，利用夹角公式 cos,,,,,2222abxyxy，，1122 4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模 ,,,,,,,,2222若，则 若，则 aaaxy,,， AxyBxy,,,axy,,ABxxyy,,，,，，，，，，，，，，11222121 ,,,,,,,,222ababaabb,,,,,，2 ，， ABC ABC5、如图所示，在中，D是BC边上有中点(AD是的BC边上中线)，则,,,,,,,,,,,,1有 ADABAC,，，，2