关于积分_a_bf_x_g_x_dx的一个不等式的注记

关于积分_a_bf_x_g_x_dx的一个不等式的注记 Ξ () () 关于积分f x g x d x 的一个不等式的注记?a 孙燮华 ( )中国计量学院, 杭州310034 b () () 摘 要 本文推广了有关积分f x g x d s 的一个不等式并将其应用于?2有界变?a () 分函数 f x 的 Fo u r ie r 系数的估计. 关键词 积分不等式, 函数, 有界变分.Fo u r ie r ( ) 19912615ƒ174. 1 分类号 AM S D CCL O 为节省篇幅本文关于?B ?p 函数的概念和记号均不文1 相同. 在研究函数的 Fo u r ie r 级 2 3 4 5 数中引入了??函数的概念. 、王斯雷、和W a te rm an B W a te rm an Sch ramm W a te rm an () () 还对??函数的 数 , 作了估计. 本文推广王兴华的一个不等式, 并用它 B p Fo u r ie r a n f bn f () 来估计 , 建立了精确的估计式.a n f b x ( ) gt d t ?a a 所定义的函数 G 在 [ a , b ] 上仅有有限个零点, 且在以相邻两零点为端点的开区间内都恰有一 个极值点, 则 b () () p q - 1ƒq ((( ) ( ) ) ) f|x g x d x | ? 2 e ss ?f ; a , b ] ?|G |; a , b ] , 1 1 ?a - 1q ƒ这里1??+ ?, 1??+ ?, 满足1ƒ+ 1ƒ= 1. 并且常数2是最好可能的. p qp q 今将上述不等式推广到??函数.B p 定理 在定理 的条件下, 设函数 在 [ , ] 上有 + 1个零点, 则对 ???, ?1成 A G a b n f B p p 立 1p ƒn b ()()p q - 1q ƒn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) |f x g x d x | ?a , b ] , 1 2 e ss ?? f ; a , b ] ?? G ;|| 1 1 ?a 1Κƒv ? v = 1 n - 1 - 1ƒq ()这里的系数 1ƒΚ2 和 n 的阶都是最好可能的. v ? v = 1 () 6, 21] 证明 用6的记号, 有 n b Φ v~ ~ () () () () () f x g x d x ? sup { f Φ- f Γ g x d x ,|| ||||v v ??a ?x v = 1 v - 1 β用 不等式 H olde r n Φ v ~~ () () () Γ g x d x|||| f fv Φv -? ?x v = 1 v - 1 n n Φ v~p 1p q 1q ƒƒ~ (() ) () () ()Φ- Γ 3 |? {| f} {| g x | d x } .v fv ?? ?x = 1 v = 1 v v 1 n n 1 p ~~() () Γv | } 是以递减的顺序排列, 而{ } 也以递减顺序排不 失一般性, 可以认为{| - f Φv fv v = 1 = 1 Κ 列, 用 C h eb y sh ev 不等式, 由上式可得 n 1ƒp p ~~ n ) (() | ffΓv |Φv - n 1ƒp p ~~n ? () () {| f Φ-Γv | } ? fv Κv ? v = 1 v = 1 1Κƒv? v = 1 1p ƒn ()p n )(a , b ]. ?e ss ?; f ? 1ƒΚv? v = 1 () 6, 26]另外, 有 n Φ v 1q (q) ƒq - 1q ƒ(() ) (){| g x | d x }= 2?|G |; a , b ].1 ??x v = 1 v - 1 () 将上面两式代入 3得n Φ v~~ () () () fΓ g x d x||||fv Φv -? ?x = 1 v v - 1 1p ƒn () () p q- 1q ƒn (() )?2e ss ?; a , b ]?|; a , b ]. f G |1 ? 1Κƒv? v = 1 n - 1p - 1q 1p ƒƒƒ() ()() 于是, 由上式和 2推出 1. 至于系数 1ƒΚ2 和阶 的最好可能性可由下面的例v n ? v = 1 子获得. 证毕. 现设 ???p , 来估计 ?2Π的 系数f B f L Fo u r ie r 2Π 1 () () f x co sn x d x. a n f =?0Π 注意到 x 1 () G x = co sn td t =sinn x ?0 n 在0, 2 ]上有2+ 1个零点,Πn ()q 1q 1p ƒƒ() () G 2Π= 0, |G |; 0, 2 Π]= 4 ƒn . ? 1 用定理得 ()p 2 () | a f | ?n ( ) ? f ; 0, 2 Π] . 2n ? 1ƒp ()Π1ƒΚv ? v = 1 由1 可知, 上式的系数和阶都是最好的. — 79 — () 1 孙燮华, 数学学报, 30 1987, 444- 454. () 2 . , . , 44 1972, 107- 117.DW a te rm anS tud ia M a th () 74 1979, 119- 123. 3 D. W a te rm an, P ro c. A m e r. M a th. So c. , () () 4 王斯雷, . , 15 1982, 149- 160. Sc ien t ia S in ica Se rA () 5 . . , . . . . , 85 1982, 407- 410.M Sch ramm and DW a te rm anP ro cA m e rM a thSo c () () 6 15 1982, 579- 585. 中国科学 辑, 王兴华, A b () () fx g x d xA No te on an In equa l ity of In tegra l?a S u n X ieh u a (). , , 310034D iv isio n o f M a thC h ina In situ te o f M e t ra lo gyH angzho u A bstra c t b ( ) ( ) f x g x d x W e gen e ra lize an in equ a lity o f in teg ra lan d app ly it to e st im a te Fo u r ie r?a () () co eff ic ien t o f f x o f ? 2bo u n ded va r ia t io n a n f an d o b ta in th e b e st e st im a t io n. in equ a lity o f in teg ra l, Fo u r ie r co eff ic ien t, ?2bo u n ded va r ia t io n. Keyword s — 80 —