四.设正整数a不是完全平方数,求证对每一个正整数n,

四.设正整数a不是完全平方数,求证对每一个正整数n, 四(设正整数a不是完全平方数，求证:对每一个正整数n， 2n Saaa,，，，,,,,,,n 的值都是无理数(这里，其中示不超过x的最大整数( []xxxx,,,,,, 222，，cac,,，1ac,:设，其中整数，则，且，而12,,,accc,1，，，， ，，aaaac,,,,(令 ,,，， k*k. aacxyakNxyZ,,,，,,(),,,,,kkkk 则 ( ……? Sxxxyyya,，，，，，，，......，，，，nnn1212 n Ty,,0下面证明，对所有正整数n，.由于 ,nkk,1 k，1， xyaacacxyaaycxxcya，,,,,，,,，,()()，，，，，，kkkkkkkk，，11 xaycx,,，,kkk，1所以 ,.yxcy,,kkk，1, xcy,,,1yc,,2由可得. 112 消去得， x,,k 2ycyacy,,，,2， ? ，，kkk，，21yyc,,,1,2其中. 12 由数学归纳法易得 yy,,0,0( ? 212kk,由?和?，可得 2yycyacy,,,，，,,(21)()0,kkkk，，，2221212 2yycyacy，,,,，,,(21)()0,kkkk，，，2221212 2222相乘得 ，又因，故( yy,yy,,0yy,,0212kk,kk，，212221 又由 2yycyacy,,,，，,,(21)()0,kkkk，,212221 2yycyacy，,,,，,,(21)()0,kkkk，,212221 22相乘得 ，即( yy,yy,,0221kk，kk，212 所以，对所有正整数n，都有 ( ? yy,nn，1 yyyy，,，,0,0故由? ?得，对所有正整数n，都有(因此 212221kkkk,， Tyyyyy,，，，，，,()...()0， 211232221nnn,,, Tyyyyyy,，，，，，，,()()...()0， 21234212nnn, T,0S从而对所有正整数n，都有，故由?知，是无理数. nn