本章的重点是矩阵的运算、矩阵求逆、矩阵求秩和秩的运用

本章的重点是矩阵的运算、矩阵求逆、矩阵求秩和秩的运用 本章的重点是矩阵的运算、矩阵求逆、矩阵求秩和秩的运用。 TA,A矩阵的运算包括矩阵的加法，矩阵的乘法以及矩阵的数乘。可以通过证明来证明矩阵A为对称阵;通过证明A,B,B,A来证明矩阵A、B可交换。注意方阵行列式的计算。 矩阵A可逆的充必要条件是A,0。可通过伴随矩阵或矩阵的初等变换来求矩阵的逆。 对矩阵A施行一次初等行变换，相当于在矩阵A的左边乘以相应的阶初等矩阵;对矩阵mAA施行一次初等列变换，相当于在矩阵的右边乘以相应的阶初等矩阵。可通过矩阵分n块的方式求矩阵的逆。 矩阵的秩可以看作是矩阵方程组中有用方程的个数。可以用阶子式或矩阵的初等变换n来求矩阵的逆。用矩阵的标准型来判断两个矩阵是否等价。 本章具有以下重要结论: ,1,1T,1,1T(1)， (A),(A)(A),A 11n,2,,,,1,1,1(A),A,A(A),,A(2)， ， k,A,,A()Ak ,1,1,1TTT(3)， (A,B),B,A(A,B),B,A n,1n,A,B,A,Bk,A,k,A(4)，， A,A ,1,1,,A,,A11,,,,,1A,,A,,22,(5) ,,,,？？,,,,,1,,,,AAk,,k,, ,1,1,1,1,1,1AC0A,,,,A,A,C,B0B,,,,,,,,,,,,,,(6)， ,,,,,1,1,,,,B00BA00B,,,,,,,, ,1,1,,A0A0,,,,,,, ,,,1,1,1,,CB,,,BCAB,,,, (7) ，，，，，，RA，B,RA，RB (8) ，，，，Rk,A,RA (9) ，，，，RA,B,RB,A (10) ，，，，，，，，，，RA,RB,RA,B,RA，RB R(A,B),R(B)11)矩阵为满秩矩阵，则 (A nR(A),n, ,,(12) R(A),n,1R(A)1,, ,R(A),n,10, TT例1:有两个非零矩阵，，，，，。计算:A,aa？aB,bb？b1212nn TTTTTTTA,BA,BC,C,E,B,A,A,B，B,B，，并证明的充分必要条件R(A,B) TTA,A,1C,E,A,B是，这里。 :做这类题目的关键是搞清楚加法和乘法，矩阵的转置，矩阵的秩等基本概念及运 算，并且还要注意矩阵达式中公因式的提法。 解:根据转置的定义和矩阵的乘法公式，有: aabab？ab,,,,111121n,,,,aabab？ab,,,,221222nTA,B,,，，bb？b, 12n,,,,？？？？？,,,,,,,,aabab？abnn1n2nn,,,, b,,1,,b,,2T，，，，A,B,aa？a,,ab，ab，？，ab 12n1122nn,,？,,,,bn,, ,ai(i,2,3,？n)A因为矩阵为非零矩阵，不妨假设，第一行元素分别乘加到第ia,01a1 行，于是有: ？？abababababab,,,,11121n11121n,,,,？00？0ababab,,,,21222nT,,,AB ,,,,？？？？？？？？,,,,,,,,？？000abababn1n2nn,,,, B矩阵为非零矩阵，所以不全为零，于是: ab1i T R(A,B),1 TTTTTA,A,1C,C,E,B,A,A,B，B,B下面证明的充分必要条件是。根据题意， 有: TTTTTT C,C,(E,A,B)(E,A,B),(E,B,A)(E,A,B) TTTT,E,B,A,A,B，B,A,A,B TA,A,1充分性:因为，所以有: TTTTT C,C,E,B,A,A,B，B,(A,A)B TTTT,C,C,E,B,A,A,B，B,B 必要性: TT222，，A,aa？a,A,A,a，a，？，a 12n12n所以: TTTTTC,C,E,B,A,A,B，B,A,A,B TT222T ,E,B,A,A,B，B,(a，a，？，a),B12n TTTTC,C,E,B,A,A,B，B,B因为有，所以: 222 a，a，？，a,1n12 即: TA,A,1 ,AA例2:是阶矩阵的伴随矩阵，。求证: n,2n nR(A),n, ,,R(A),n,1R(A)1 ,, ,R(A),n,10, 这是抽象矩阵的问题。利用伴随阵的定义，矩阵的行列式的计算方法和秩的定义进行证 明。 证明:因为: ,A,A,A,E n,,,R(A),n若，则有。于是:。所以: A,0AA,AA,A,0,A,0 , R(A),n ,R(A),n,1若，则有。于是:。所以: AA,AE,0A,0 , R(A)，R(A),n 从而有: , R(A),1 ,R(A),n,1A,0由知，矩阵A必有一个阶子式不等于，于是。所以: n,10 , R(A),1 ,R(A),n,1A,0若，则矩阵A的所有阶子式全为。于是。所以: n,10 , R(A),0 ,12AA,A,2E,OAAA，2E 例3:方阵满足。证明:及都可逆;并求及 ,1。 (A，2E) 分析:这也抽象矩阵的问题。一般采用证明矩阵满足可逆的充分必要条件来证明矩阵可 ,1B,AA,B,E逆。利用，则来求矩阵的逆矩阵。 2A,A,2E,O证明:由，得: 2A,A,2E 两端同时取行列式: 2nA,A,A,(A,E),AA,E,2E,2,A,0 A所以矩阵可逆。 2A,A,2E,O同样，由，得: 2A，2E,A 22 A，2E,A,A,0A，2E所以矩阵也可逆。 2A,A,2E,O由: ,1,1,1,A(A,E),2E ,AA(A,E),2AE,(A,E),2AE 1,1 ,A,(A,E)2 2A,A,2E,O由: ,(A，2E)A,3(A，2E),,4E,(A，2E)(A,3E),,4E ,1,1 ,(A，2E)(A，2E)(A,3E),,4(A，2E) 1,1 ,(A，2E),(3E,A)4 ,1T,,1,,,A,AAA2A,A(A)例4:若矩阵A为阶方阵，A,3。求:，，，，，5 ,(3A)。若矩阵: 0052,,,,0021,, B,,,2,200,,,,,3200,, ,1,,1,,,BB求:，，，， (B)(B)(2B) 分析:本题考查的是矩阵和矩阵行列式以及分块矩阵的基本概念和公式。 解:根据公式，有: 11,1,1,1,1A,A,E,A,A,E,A,A,1A,,, A3 TTTA,A,A,A,A,A,A,A,9 ,,1,5,1,A,A,A,A,(A),A,A,81 ,1,,1,1,1,12A,A,2A,A,A,(2,3),A,,A 1,1,,15,12(1) ,A,A,,A,,,A,,3 ,AA4由于矩阵为5阶方阵，所以亦为5阶方阵，而A为阶方阵。有: ij 4n,1n,1,4,,,,A,A,(A),A,A,81 ,4,20,56(3A),3,A,3,A,81,81,81 0052,,,,,10021OC,,OD,,,,,1,,,,BB,,,, ,,,1,,,,2200,DOCO,,,,,,,,3200,,, ,1,1,1,1,,,52122222,,,,,,,,,1,1,1,,3,,,,,,,,， ,,,,C,,D,,,,,,,,1,,,,2125,,32322,,,,,,,,,2, 于是: 0011,,,,,,300,,1,,,12, B,,1200,,,,,2500,,, 0052 0021OC522,2 B,,,,C,D,,,,22,200DO21,32 ,3200 0052,,,,002111,,,,1,1,1,,1B,B,B,,B()() ,(B),,,B2,2002,,,,,3200,, 3,,,,,1,,1 (B),B,(B),B,(B) 00520052,,,,,,,,002100211,,,,,,3,(B),2,,,4, ,,,,2,2002,2002,,,,,,,,,3200,3200,,,, ,3,,1(2B),2,B,8,B,B 00,1,1,,,,300,,1,,,2 ,(2B),16,,,1,200,,,,,2500,, T,A,AAA,0例5:矩阵为阶非零方阵且，求证:。 n 分析:本题考虑的是矩阵基本概念和和行列式的展开式。 jAa,0证明:矩阵为阶非零方阵，不妨假设第列中有元素，根据行列式的展开nkjj式，按第列展开。又因为 T,A,A,A,a ijij 于是: nn2A,a,A,a,0 ,,ijijiji,1i,1 例6:矩阵A的伴随阵 1000,,,,0100,,, A,,,1010,,,,0,308,, ,1,1A,B,A,B,A，3,E且，求矩阵B。 分析:做此类题目时，应先化简;此类题目一般与行列式有关。 1000 01004,13, A,,8,A,A,A,21010 0,308 ,1,1,1 A,B,A,B,A，3,E,(A,E),B,A,3,E,(A,E),B,3,A ,A11,, ,A,(A,E),B,3,E,(E,A),B,3,E,(E,),B,3,EA ,,,1 ,(2,E,A),B,6,E,B,6,(2,E,A) ,2,E,A,,6,0这是因为，且有: 1000,,1000,,,,,,0100,,0100,,,,,12,,,,(2,,),，，EAEA ,,,,10101010,,,,,11,,,,00,030,6,,26,, 于是: 6000,,,,0600,,B, ,,6060,,,,030,1,, R(A),2A43例7:矩阵为行列矩阵，，矩阵: 102,,,, B,020,, ,,,103,,R(A,B)求: 分析:利用矩阵秩的概念和性质求解。 解:由于: 102122，2 B,020,(,1),2,,10,0,13,103 BBB所以矩阵可逆，矩阵等价于一个阶单位阵。即矩阵可以看作是一系列的初等矩阵3 A,BA的乘积。于是，可以看作对矩阵进行初等行变换，而初等行变换不改变矩阵的秩， 所以: R(A,B),R(A),2