10.奇函数与偶函数联合演奏的高考试题

10.奇函数与偶函数联合演奏的高考 2017年课标高考母题 备战高考的一条捷径.预测高考试题的有效手段 075 [中国高考数学母题](第020号) 奇函数与偶函数联合演奏的高考试题 任何定义域关于原点对称的函数都可分解成一个奇函数与一个偶函数的和;奇函数f(x)与偶函数g(x)的此性质是生成一类高考试题的出发点,它具有显着的母题特征. [母题结构]:函数M(x)的定义域关于原点对称的充要条件是M(x)可分解成一个奇函数f(x)与一个偶函数g(x)的和. M(x)，M(,x)M(x),M(,x)[母题解析]:(必要性)若函数M(x)的定义域关于原点对称,令f(x)=,g(x)=,则M(x)=f(x)+g(x), 22 且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数; (充分性)若M(x)=f(x)+g(x),由奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均关于原点对称M(x)的定义域关于原点对称. , 1.判断奇偶性 x-xx-x 子题类型?:(2010年广东高考试题)若函数f(x)=3+3与g(x)=3-3的定义域均为R,则 (A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 x[解析]:令h(x)=3,则h(x)的定义域关于原点对称f(x)=h(x)+h(-x)为偶函数,g(x)=h(x)-h(-x)为奇函数.故选(B). , [点评]:判断函数奇偶性的一般方法是定义法,母题的一个副产品:“若函数M(x)的定义域关于原点对称,则f(x)=M(x)- M(-x)是奇函数,g(x)=M(x)+M(-x)是偶函数”,提供了判断一类函数奇偶性的快捷方法. [同类试题]: x-x3x-x1.(2014年重庆高考试题)下列函数为偶函数的是( )(A)f(x)=x-1 (B)f(x)=x+x (C)f(x)=2-2 (D)f(x)=2+2 x4，12.(2010年重庆高考试题)函数f(x)=的图象( ) x2 (A)关于原点对称 (B)关于直线y=x对称 (C)关于x轴对称 (D)关于y轴对称 2.求分解函数 x 子题类型?:(2011年湖北高考试题)(文)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e,则g(x)=( ) 111x-xx-x-xxx-x(A)e-e (B)(e+e) (C)(e-e) (D)(e-e) 222 1x-x-xx-x[解析]:由f(x)+g(x)=ef(-x)+g(-x)=ef(x)-g(x)=eg(x)=(e-e).故选(D). ,,,2 22[点评]:若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=M(x),则:?f(x)-g(x)=-M(-x);?f(a)-g(a)=-M(a)M(-a). [同类试题]: 323.(2014年湖南高考试题)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则 f(1)+g(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 24.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=x+2x+3,则f(x)+g(x)= . 3.研究分解函数 x 子题类型?:(2008年安徽高考试题)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e,则有( ) (A)f(2)f(2)>f(0)=0>-1=g(0).故选(D). 076 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [点评]:若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=M(x),研究奇函数f(x)和偶函数g(x)的性质是母题的引伸问题,解决问题的关键还是由母题求奇函数f(x)和偶函数g(x). [同类试题]: 1，cos2x,,5.(1987海市高中数学竞赛(新知杯)试题)f(x)+g(x)=(x?(-,)),且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则221,sinx 22[f(x)]-[g(x)]= . 6.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)已知函数f(x)是R上的奇函数,函数g(x)是R上的偶函数, 24且f(x)-g(x)=4-3sinx-2x-x.记函数f(x)的最大值为M,g(x)的最小值为m,则M+m=( ) (A)-8 (B)-7 (C)-2 (D)-1 4.子题系列: 1x32x7.(2014年广东高考试题)下列函数为奇函数的是( ) (A)2- (B)xsinx (C)2cosx+1 (D)x+2 x2 2,x8.(2009年全国?高考试题)函数f(x)=log的图象关于( ) 22，x (A)关于坐标原点对称 (B)关于直线y=-x对称 (C)关于y轴对称 (D)关于直线y=x对称 29.(2004年全国高中数学联赛湖南预赛试题)己知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)-g(x)=x+9x+12, 2222则f(x)+g(x)=( ) (A)-x+9x-12 (B)x+9x-12 (C)-x-9x+12 (D)x-9x+12 10.(2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足:f(x)+g(x) 2 =x+x+1,则g(2)= . 21，x，x11.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设f(x)+g(x)=,且y=f(x)和y=g(x)依次是偶函数和奇函数,则f(3)= . 1，cos2x,,12.(2007年福建省高一数学夏令营选拔试题)设f(x)+g(x)=(x?(-,)),且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,221,sinx ,,22则[f()]-[g()]= . 44 75213.(2003年上海交通大学保送生

考试试题

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)已知f(x)=ax+bx+x+2x-1,f(2)=-8,则f(-2)= . 43214.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=ax+bsinx+cx+dx+2满足:f(1)=7,f(-1)=9,且f(2)+f(-2)=124,则f()+f(-)=( ) 22 5.子题详解: x4，1xx-x1.解:由g(x)=2,f(x)=g(x)+g(-x)是偶函数.故选(D). 2.解:由f(x)==2+2是偶函数.故选(D). x2 3223.解:由f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)+(-1)+1=1.故选(C). 4.解:由f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x)=-(x-2x+3). 1，cos2x1，cos(,2x)2242,5.解:由[f(x)]-[g(x)]=-=-2cosx. 6.解:由f(x)=-3sinx,g(x)=x+2x-4,M+m=-1.故选(D). 1,sinx1,sin(,x) x-x7.解:由y=2-2为奇函数.故选(A). 8.解:由f(x)=log(2-x)+log(2+x)是奇函数.故选(A). 22 12229.解:由f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x)=-(x-9x+12).故选(A). 10.解:由g(2)=[2+2+1-(-2)-(-2)-1]=2. 2 ,,11222213721，3，311.解:由f(3)=[+]=(+). 12.解:由 [f()]-[g()]=-. 1，(,3)，(,3)4422 752,13.解:令g(x)=ax+bx+2x,则f(x)=g(x)+x-1f(-2)=14. 14.解:故选(D).