浅谈最速降线问题

浅谈最速降线问 摘要:一个质点在重力作用下～从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B～如果不计摩擦力～问沿着什么曲线滑下所需时间最短。 关键词: 最速降线～费马原理～变分法～微积分 “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”我们通常把这条曲线叫做最速降线或捷线。这个问题是意大利科学家伽利略在1630年提出的，并说这段曲线是段圆弧。 瑞士数学家约翰?伯努利在1696年6月在莱布尼兹的杂志《教师学报》上再次提出这个最速降线的问题(problem of brachistochrone)，向全欧洲数学家征求解答。 他设想在地面上不同高度的两个点A和B，并且，不要让其中一个点直接位于另一点的上方。连接这两个点，当然可以作出无限多的不同曲线，从直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线。现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低的B点。当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状。伯努利向数学界提出的挑战是，找出一条曲线AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短。伯努利将此问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”(brochistos)和“时间”(chronos)合成而来。 人们当然会首先想到连接AB的直线。但伯努利对试图采用这一过于简单化的方法提出了警告: “„„不要草率地做出判断，虽然直线AB的确是连接A、B两点的最短线路，但它却不是所用时间最短的路线。而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线。如果在年底之前(指1696年)还没有其他人能够发现这一曲线，我将公布这条曲线。” 直线有可能不是最短时间的路径，因为小球从静止开始滚下来，最初应该让路径陡一些，使小球获得较大的加速度速度和速度。 约翰?伯努利原定于1697年1月1日公布。但是到最后期限时，只收 到他的老师莱布尼兹寄来的一份答案，并且请求伯努利延长最后期限到复活节，以便让欧洲科学家们有更多时间来充分解决此道难题。伯努利同意了他的请求，延长了期限。然后，为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍: “在连接已知两点的无限多的曲线中。选择一条曲线，如果用一根细管或细槽代替这条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，那么，小球将以最短的时间从一点滚向另一点。” 这个问题的难点在于，是求出一条曲线，实际就是求一个满足给出条件的未知函数，这在以前是前所未有的，有可能开创一个新的学科领域。于是数学家们具有极大兴趣，纷纷开展研究。 伯努利在“战书”中还特别暗示了他的挑战对象，他写道:“„„很少有人能解出我们的独特的问题，即使那些自称通过特殊方法„„不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人，这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发过了”。这简直就是赤裸裸的指向伟大的英国科学家伊萨克?牛顿了～伯努利提到的“定理”指的是流数术，而牛顿曾宣称自己早在莱布尼兹1684年发表微积分论文前就已经发现了这一理论。莱布尼兹正是伯努利的老师，自己师父和牛顿争夺微积分的发明权，弟子当仁不让要维护师门尊严。约翰?伯努利亲自把降速问题抄了一份，装进信封寄往英国。 此时牛顿已不是当年的牛顿了，他自己也承认，他的头脑已经不如二十年前那么机敏了，而且还整天忙于造币局的事务。关于此事我们可以看看牛顿的外甥女凯萨琳记述的内容:“1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，伊萨克牛顿爵士正在造币局里忙着改铸新币的工作，很晚才精疲力竭地回到家里。但是，直到解出此道难题，他才上床休息，这时已经是凌晨4点钟。”即使是在晚年，而且忙了一天的本职工作，牛顿还是用几个小时就解决了许多欧洲数学家都无法解出的难题～这位伟大天才的功力可见一斑。牛顿感到了自己作为一代宗师的荣誉和名望都受到了挑战，对手正等着看他笑话，因此牛顿当仁不让，仅用几个小时就解决了此题。牛顿被激怒了，据说他曾说过:“在数学问题上，我不喜欢被外国人戏弄”。 1697年复活节的截止期限，伯努利总共收到了5份答案，他自己的和其老师莱布尼兹的，第三份是他的哥哥雅可布?伯努利的，这肯定使得约翰?伯努利很不爽，因为他们兄弟两个从来都是谁也不服谁，互相较劲。洛毕达是第四个。最后一份答案的信封上盖有英国的邮戳，并且是匿名的，但答案完全正确～显然这封信来自一位绝顶天才，非伊萨克?牛顿莫属。据说，伯努利半是恼怒，半是敬畏地放下这封匿名答案，说到:“我从他的利爪认出了这头狮子。” 除洛毕达的答案外，其他人的解答都在1697年5 月5月的《博学通报》公布。答案就是一段旋轮线也叫摆线。帕斯卡和惠更斯以前就研究过这一重要的曲线，可是他们谁也没有想到这还是一条最速降线。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线又称等时曲线。 数学历史上的挑战古已有之，但这一次最速降线的挑战可谓数学史上最激动人心的一次挑战，有几个理由: 首先参与人数众多。 其次，得出正确结果的都是赫赫有名的大数学家。牛顿、莱布尼兹各自独立创立了微积分;以伯努利兄弟为代表的伯努利家族是数学世家。罗毕达年轻时就显露了数学天赋，十五岁就解出了帕斯卡的摆线难题。 第三，这次挑战各人的解法各有千秋，约翰伯努利的解法最漂亮，类比了费马原理，将物理和几何融合到一起，用光学的思想一下子就得出结论。雅各布?伯努利的方法最一般化，体现了变分思想。牛顿、莱布尼兹和罗毕达都是用微积分方法，但是步骤并不相同。 最后，此问题直接导致了另一位旷世天才的登场，大数学家莱昂哈德?欧拉(约翰?伯努利的学生)也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数学分支。 当时的科学家对变分法非常乐观，在1744年Eider曾这样赞美道:“上帝创造的宇宙的结构是如此的尽善尽美，以至世界上没有任何事物不显示出极大或极小的性质。因此，毫无疑问，世界上的一切结果都可以用极大和极小方法从其终极原因及其有效原因中导出来。”这是对变分法最高赞赏，一大批科学家年轻学者的热情也非常高涨，对变分原理及其实际应用的探索也在不断进行之中。 参考文献: [1] 老大中 著.《变分法基础》. 国防工业出版社 ， 2004年9月 [2] www.baidu.com