怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明根号2是一个无理数 怎样证明是一个无理数 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，的发现是人们对真理的追求、2 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明是一个无理数，从而体会这一点. 2 a证法1:尾数证明法.假设是一个有理数，即可以表示为一个分数的形式=.222b 222其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.由于完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、a,2bb 222226、9中的一个，因此的尾数只能是0、2、8中的一个.因为，所以与的尾2ba,2ba2b 2数都是0，因此的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾～因此是b2无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. a22证法2:奇偶分析法.假设=.其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则.可知a2a,2bb 2222是偶数，设a=2c,则，，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=14c,2bb,2c 矛盾～因此是无理数. 2 希帕索斯就是用这种方法证明了不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任2 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 22证法3:仿上，得到，易见b>1，否则b=1，则=a是一个整数,这是不行a,2b2 aa222的.改写成.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p整除b,,aa,2b22 a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾. 22222证法4:仿上，得到，等式变形为，因为b>1，因此b,a,b,(a，b)(a,b)a,2b 存在素因子p，p整除a+b或a-b之一，则同时整除a+b与a-b，因此p整除a，因此p是a、b的公因数，与(a,b)=1矛盾. 证法5:利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 rrrsss12m12n写成素数幂的积的形式，因此，，其中与a,pp？pb,qq？qp,？,pq,？,q12121m1nmn 2r2r2r2s2s2s12m12n都是素数，与都是正整数，因此=2，素数2r,？,rs,？spp？pqq？q1m1n12m12n在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此是无理数. 2 aa证法6:假设=，其中右边是最简分数，即在所有等于的分数中，a是最小的正2bb 2222整数分子，在的两边减去ab有，，即a(a,b),b(2b,a)a,2ba,ab,2b,ab a2b,a2,,，右边的分子2b-a