直线的方程

直线的方程 一、知识要点 (一直线方程的种形式： 名称 方程 适用范围 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0 两点式 不含直线x=x1(x1≠x2)和 直线y=y1(y1≠y2) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 二、考试要求：掌握已知一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式;能灵活运用条件求出直线的方程. 三、基础自测： 1.下列四个命题中真命题的序号是          . ①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）示 ②经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程表示 ④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示   ② 2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为        . 答案  x+y-5=0 3.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为        . 答案  2x+y=0 4.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为        . 答案  x+2y-2=0或2x+y+2=0 5．已知三点A（3，1）B（－2，K）C（8，11）共线，则K的取值是（      ） A、－6            B、－7          C、－8            D、－9 6．已知A（－2，3）B（3，0），直线L过O（0，0）且与线段AB相交，则 直线L的斜率的取值范围是（    ） A、－≤K≤0              B、K≤－ 或K≥0  C、K≤0或K≥            D、0≤K≤ 7．a为非零实数，直线（a＋2）x＋(1－a)y－3＝0恒过       点。 8．过点M（1，2）的直线L将圆（x－2）2+y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，L的方程为____。 9．与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线方程为___          _。 四、典例： 例1  求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. （3）经过点P（3，2），且夹在两坐标间的线段被P分成1：2。 解  （1）方法一  设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=x，即2x-3y=0. 若a≠0，则设l的方程为， ∵l过点（3，2），∴， ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二  由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=, ∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. （2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为， 则所求直线的倾斜角为2. ∵tan=3,∴tan2==-. 又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0. 练习：若直线满足如下条件，分别求出其方程 （1）斜率为，且与两坐标轴围成的三角形面积为6； （2）经过两点A（1，0）、B（m，1）。 （3）将直线L绕其上一点P沿顺时针方向旋转角（00<<900）所得直线方程是x-y-2=0；若继续旋转角900-.所得直线方程为x+2y+1=0。 （4）过点（-a,0）(a>0)且分割第二象限得一面积为S的三角形区域。 例2  过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 解  方法一  设直线的方程为 (a＞2,b＞1), 由已知可得. （1）∵2≤=1，∴ab≥8. ∴S△AOB=ab≥4. 当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. （2）由+=1,得ab-a-2b=0, 变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB| =· · = · ≥. 当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 方法二  设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 A、B（0，1-2k）. （1）S△AOB=（1-2k） =× ≥（4+4）=4. 当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0. · （2）|PA|·|PB|= =≥4, 当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 例3  （14分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程. 解  方法一  若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.                                            4分 若直线l的斜率存在时， 则设直线l的方程为y=k(x-3)+1, 分别与直线l1,l2的方程联立， 由, 解得A.                                                            8分 由,解得B, 由两点间的距离，得 +=25， 解得k=0,即所求直线方程为y=1.                                                12分 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.                                            14分 方法二  设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5                    ①                            6分 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25                            ② 联立①②可得或,                                        12分 由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.                                                14分 例4  求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 解  方法一  由 知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 在直线l上任取一点（1，2）， 由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 =， 解得k=(k=2舍去)， ∴直线l2的方程为x-2y=0. 方法二  设所求直线上一点P（x,y）, 则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点 P2在直线l上. ∴，变形得, 代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3, 整理得x-2y=0. 所以所求直线方程为x-2y=0. 练习：在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。 例5(05广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值． Y 小结: 1、直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系，由斜率公式可导出直线方程的五种形式。这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定。 2、待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程时，应该注意所设方程的适用范围。 智能迁移： 1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程. 解  （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中， 得k=-，此时，直线方程为y=-x, 即2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-， 此时，直线方程为x+2y+1=0. 综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. （2）设直线l2的倾斜角为,则tan=. 于是tan==, tan2=, 所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8), 即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8), 即24x-7y-150=0. 2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程. 解  方法一  设直线l的方程为（a＞0,b＞0）, ∴A(a,0),B(0,b), ∴解得 ∴所求的直线方程为=1, 即2x+3y-12=0. 方法二  设直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-, 令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k. ∴(2-3k)=24.解得k=-. ∴所求直线方程为y-2=-(x-3). 即2x+3y-12=0. 3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件: ①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,理由. 解  (1)l2即为2x-y-=0, ∴l1与l2的距离d=, ∴=,∴=, ∵a＞0,∴a=3. (2)假设存在这样的P点. 设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上， 且=，即C=或C=， ∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0； 若P点满足条件③，由点到直线的距离公式=×， 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0； 由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意. 联立方程， 解得 (舍去). 由解得 ∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点. 4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程. 解  方法一  由 得 ∴反射点M的坐标为（-1,2）. 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-=. 而PP′的中点Q的坐标为, Q点在l上，∴3·-2·+7=0. 由得 根据直线的两点式方程可得l的方程为 29x-2y+33=0. 方法二  设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y), 则, 又PP′的中点Q在l上， ∴3×-2×+7=0, 由 可得P点的坐标为 x0=，y0=， 代入方程x-2y+5=0中， 化简得29x-2y+33=0, 即为所求反射光线所在的直线方程. 课外作业: 一、填空题 1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为            . 答案  2 2.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是      . 答案  x+3y-15=0 3.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是        . 答案  - 4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是          . 答案  x+2y-3=0 5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为                . 答案  2x+y-6=0 6.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0°≤≤180°)，那么=            . 答案  30°或150° 7.设l1的倾斜角为，∈，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为            . 答案  2x-y+8=0 8.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是        . 答案  (1,+∞) 二、解答题 9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： （1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为. 解  （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4， 由已知，得（3k+4）（+3）=±6， 解得k1=-或k2=-. 直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0. （2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b, 由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1. ∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0. 10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P到Q的长度. 解  （1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1. ∴QQ′所在直线方程为y-1=1·（x-1） 即x-y=0. 由 解得l与QQ′的交点M的坐标为. 又∵M为QQ′的中点， 由此得. 解之得∴Q′（-2，-2）. 设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线. 则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射线方程为 ，即5x-4y+2=0. (2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ′|. ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| ==, 即这条光线从P到Q的长度是. 11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程. 解  设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0. 由得正方形的中心坐标P（-1，0）， 由点P到两直线l,l1的距离相等， 则, 得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴=，得a=9或a=-3, ∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0. 12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程. 解  方法一  设点A（x，y）在l1上， 由题意知，∴点B（6-x，-y）， 解方程组， 得，∴k=. ∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0. 方法二  设所求的直线方程为y=k(x-3), 则,解得, 由,解得. ∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA+yB=0，即+=0， ∴k2-8k=0，解得k=0或k=8. 又∵当k=0时，xA=1,xB=-3, 此时,∴k=0舍去， ∴所求的直线方程为y=8(x-3), 即8x-y-24=0. 备选题: 1、下面命题中正确的是（  ） （A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示. （B）经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 （C）不经过原点的直线都可以用方程表示 （D）经过点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 2 (05浙江)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(    ) (A)      (B)     (C)     (D) 3、，则直线xcos+ysin+1=0的倾斜角为…………………………（    ） (A)－            (B)                (C) ＋          (D) － 4、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有………………（    ） (A)1                  (B)2                  (C)3                (D)4 5、直线xcos＋y＋m=0的倾斜角范围是………………………………（    ） (A)    (B)    (C)     (D) 6（05北京卷）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的(  )     （A）充分必要条件        （B）充分而不必要条件     （C）必要而不充分条件    （D）既不充分也不必要条件 7、经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距离的直线的方程是                    。 8、一直线过点A（－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是          。 9、直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转450，所得的直线方程是_______ 10、直线L过点A（0，-1）,且点B（-2，1）到L的距离是点到L的距离的两倍，则直线L的方程是_______ 11、⑴直线L过点P（2，－3）并且倾斜角比直线y=2x的倾斜角大45º，求直线L的方程. ⑵直线L在x轴上的截距比在y轴上的截距大1并且经过点（6，－2），求此直线方程. 12、过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程. 13、已知两点A（-1，-5）,B（3，-2），直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线L的斜率. 14、求证：不论a, b为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a－b=0均通过一定点，并求此定点坐标。 15、已知点F（6，4）和直线L1：y=4x，求过P的直线L，使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。 文档已经阅读完毕，请返回上一页！