求点关于直线对称点坐标的一种简便方法及应用

求点关于直线对称点坐标的一种简便方法及应用 李树养 ''求点P(,)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q(,)的一般，，AB,0yyxx00 ,y',yA,,,0,,,,？？11，，,,,B,,''x',,x0思路是解方程组.求出,. ，，*,yx ,,,,,'，yy,,,,x'，x,00,,,,，，ABC？？，，,02,,22 对于高中学生来说，方程组虽然列出容易，但解起来较困难，特别是A,B的数值不巧合时，运算容易出错，学生对这类运算比较畏惧。事实上，由方程组可，，*以得到以下公式:若点P(,)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点，，AB,0yx00 ',,，Am，，2A，B，Cyxx'0x',00Q(,).则 ,其中. m,,,yx'22，,，Bm,yyAB0, ''AB,0，，A,B,A，B,0？？3 证明:(1)当时，由方程组中得; ，，，，*1yyxx00 ''，，A，B，A，B，2C,0？？4由方程组中得; ，，，，*2yyxx00 '2222，，，，,,,2AB，,,2AC,0由得. ，，，，3，B,4，AyxxBABA00 即 222，，，，,2AB,2AC,2,2AB,2AC,2A，B，CyyyxxxBAA,000'000,,，,，Axxx22222200，，，ABABAB '2222，，，，，，2AB,，2BC,0由，，，，得， 3，A,4，Byy,xABAB00即 222，，，，,2AB,2BC,2,2AB,2BC,2A，B，Cyyy'xxxABB,000000,,，,，Byyy22222200，，，ABABAB ',,，Am，，2A，B，Cyxx0x,00m,,令得. ,'22，,，Bm,yyAB0, ,0(2)当A=0,B时，直线l的方程为:By+C=0. - 1 - ,,，，2ABC，，yx'00,,,，Axxx2200,，,AB这时. ,,，，，，2ABC,y'x2C00,,,，B,y,yy2200B，,AB, (3)当时，直线l的方程为:Ax+C=0. B,0,A,0 ,，，,2A，B，Cyx2C'00,,,,，Ax,xx2200A,，,AB这时. ,，，2ABC,，，,y'x00,,，B,yyy2200，,,AB '与、A综合(1)、(2)、(3)得证.这个求对称点的坐标公式容易记忆。相对xx0'应，相对应，m的计算公式可借助点到直线距离公式来记住. 与、Byy0 公式的应用如下: 例题:求点P(2，1)关于直线l:x+2y+3=0对称点坐标. '2221314,，，，'，，解:设所求对称点为 Q(,)，则. 2,1,,,m,,,yyxx22005，12 '1441423',,,,所以 ， 2112,，Am,，，,,,,，Bm,，，,,,,,,,yyxx005555,,,, 423,,所求点的对称点坐标为Q. ,,,,,55,, - 2 -