对绝对值函数的研究

对绝对值函数的研究 顾村中学 宋毅 一、问题提出 2009年上海市高考理科第13题: 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点，，，(,2，2)(3，4)(3，1) ，，为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站，(,2，3)(4，5)(6，6) 使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.(去掉(6,6)就是2009年上海市高考文科试卷第14题)。 B 一道模拟题:如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左 右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需A 要移动多少格, E C 高中中能寻找到绝对值函数的踪影也就只有高三文科教材第58D 页《统计》中的案例6，但在理科教材中没涉及。可是绝对值函数 F 不仅在每年高三理科模拟试卷中多次出现，出现次数多于文科;当文理试卷中同时出现时，对理科生的要求甚至高于文科生;而且在2009年高考试卷中也出现此知识点，理科难度略高于文科。这一现象引起我的注意，促使我带领学生研究绝对值函数。 二、绝对值函数定义 f(x),px,a，px,a，px,a，？？，px,a，？？，px,a形如 11233kknp2 ，，叫绝对值函数。 a,a,a,？？,a,？？,a,pp,p,p,p都是有理数123kn,1,23kn 其中叫零点，叫系数。 a(i,1,2,3,？,n)p(i,1,2,3,？,n)ii 三、课堂教学的探究过程 在课前让学生在三张纸上画出下列函数的图，并类比二次函数总结绝对值函数的特点。 (1)第一张纸上作h(x),x,1，g(x),x,1，x,2，f(x),x,1，x,2，x,3 的图像(如图一)。 (2)第二张纸上作， 的图像(如图二)。 h(x),,x,1f(x),x,1,x,2,x,3 1 (3)第三张纸上作，的图f(x),x,1,x,2g(x),,x,1，x,2，x,3,x,4 像。(如图三) 12 11 10 9 8 7y=f(x)6 5y=g(x)4 3y=h(x)2 1 -10-8-6-4-224681012 图一 321 -8-6-4-22468101214-1-2y=q(x)-3-4-5-6-7-8-9-10 图二 y=g(x) 图三 在课堂上我用几何画板依次做上面的三幅图，让学生对照一下自己画的图对不对。通过 观察图引导学生说出三幅图的主要不同点是开口方向;研究开口方向与系数之和的关系;找 到求最值的方法;观察图像以及用零点分段法取绝对值证明函数两端射线的斜率互为相反 数;求特殊函数的对称轴。 2 1、研究绝对值函数的开口方向 师:这三幅图上的函数都是绝对值函数，这节课我们来研究绝对值函数。首先大家说说图一图二的主要区别是从什么, 生:图一开口向上，图二开口向下(学生能很自然地和二次函数的开口方向联系上)。 师:二次函数的开口方向由二次项系数决定，那么绝对值函数开口方向由什么决定, 生:由系数决定。 师:是由某一系数决定，还是系数之和决定,大家在想好自己的答案后不妨验证一下再回答。生:“是由系数之和决定的”，“系数之和大于零，开口向上”，“系数之和小于零，开口向下”， 还有争论声，“是系数全大于零时开口向上”。 师:是“系数全为正时开口向上”，还是“系数之和大于零，开口向上”，怎么验证, 生:构造几个函数，系数不全为正，但和为正。 让学生任意构造几个函数，我用几何画板作图。 师生共同得到结论:当，即系数之和大于零时就开口p，p，p，？，p，？，p,0123kn 向上;有最小值。 这时学生不难得到当，即系数之和小于零时就开口向p，p，p，？，p，？，p,0123kn 下;有最大值。 2、用统计知识研究函数的最小值点 师:中位数的意义是什么, 生:到各数据点的距离和最小。 安排学生做:例1已知，求Z的最小值。 Z,x，x,1，x,2，x,3，x,4 教师解析:Z的几何意义是x到0，1，2,3,4的距离和。0，1，2,3,4的中位数是2。因此 x,2时，Z的值最小，最小值为6。 教师用几何画板验证并总结:系数都为1时，绝对值函数的最小值点就是零点的中位数。 安排学生做:例2 已知，求Z的最小值。 Z,x，x,1，x,2，2x,3，x,4 教师解析:原式可以写成Z,x，x,1，x,2，x,3，x,3，x,4。因此Z的几何意义是x到0，1，2,3，3,4的距离和。0，1，2,3，3,4的中位数是2与3的平均数。因此 时，Z的值最小，最小值为7。但因为时，函数解析式是，图像是x,2.52,x,3Z,7一条线段，x到0，1，2, 3,4的距离和是定值7，因此x在上，Z的值都最小，最小值,,2,3 为7。 3 教师用几何画板验证并总结:系数不都为1，但都为正整数时，绝对值函数的最小值点仍是零点的中位数。 师:系数都为正分数时，绝对值函数的最小值点。 2教师讲解:例3已知，求Z的最小值。 Z,x，x,1，x,2，x,3，x,43 1解析:原式可以写成。因此Z的几何意义Z,[3x，3x,1，3x,2，2x,3，3x,4]3 是x到0，0,0，1，1,1,2,2，2,3，3,4，4,4的距离和。0，1，1,1,2,2，2,3，3,4，4,4的中位数是2。因此时，Z的值最小，最小值为17。 x,2 学生总结: (1)当时，最小值点为的中位数。p,p,p,？,p,？,p,1a(i,1,2,3？n)123kni当为奇数时，最小值点就是唯一的中位数;当为偶数时，最小值点可以取集合nn ,,,,,中任意实数。 aaxa,,n,1n,,22, n 当为正整数时，绝对值函数就表示有个零点，当为奇数(2)pppa(i,1,2,3？n),iiii1 nn时，最小值点为个零点的中位数，最小值点就是唯一的中位数;当为偶数时，pp,,ii11 n 最小值点可以取个零点中间两位，及两位之间的任意实数。 p,i1 mmmmm3kn12(3) Z,x,a，x,a，x,a，？？，x,a，？？，x,a123kpppppp123kn，，a,a,a,？？,a,？？,am,m,m,m,m,pp,p,p,p都是正整数123kn,123kn1,23kn当系数都为正分数时，求绝对值函数的最小值点的方法是:提取适当的数，使每个的x,ak系数是正整数，再根据中位数的意义求Z的最小值点。 (4)当系数不全大于零且系数之和大于零时，开口方向向上，函数有最小值，最小值点是某个零点。将零点一一代入函数，函数值最小的，对应的零点就是最小值点。 3、问题解决 xy,设发行站的位置为，零售点到发行站的距离为 ，， zxyxyyyxyxy,，，,，,，,，,，,，,，,，,，,222231434566 4 ,[2x，2，2x,3，x,4，x,6]，[y,2，y,1，y,3，y,4，y,6，y,5] n由(2)当为正整数时，绝对值函数就表示有个零点，当为奇pppa(i,1,2,3？n),iiii1 nn 个零点的中位数，最小值点就是唯一的中位数;当为偶数时，数时，最小值点为pp,,ii11 n 最小值点可以取个零点中间两位，及两位之间的任意实数。 p,i1 得x取的中位数3，的中间两个数4,5.因此发行站的位置为 ,2,,2,3,3,4,6y取1,2，3,4,5,6 (3,4)或(3,5)，但是零售点，所以答案为(3,5)。 (3，4) 对高#考试题#的改编:如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需要移动多少格, 解析:设A、C两点移到，E与B重合，F与D重合，则(x,y)B B点移到。移动前，,，所(x，1,y，2)A(3,5)C(0,3)E(6,3)A E 移动的格数和为: C D W= x,3，y,5，x，y,3，x，1,6，y，2,3 F = x,3，x，x,5，y,5，y,3，y,1当时，。因此至少需要移动9格。 x,3,y,3W,9最小 4、研究函数两端射线的斜率的关系 接着让学生拿出第三张图。 师:从第三张图上我们可以看出，当时，图像没有明p，p，p，？，p，？，p,0123kn显的开口方向。但有一个不同于前两张的特征，是什么, 有的学生小心翼翼地说:“是不是有两条平行线,” 师:对呀。这两条射线的斜率都是0.我们可以说两条射线斜率相等，也可以说相反。图一图二中函数图像中两条射线斜率有什么关系, 生:不相等。好像相反。 师:怎么验证, 生:去绝对值，看两条射线的方程。 5 师:求 f(x),px,a，px,a，px,a，？？，px,a，？？，px,a11233kknn2 的两条射线方程。 ，，a,a,a,？？,a,？？,a,pp,p,p,p都是有理数123kn,1,23kn 甲生板书: 当x,a时,f(x),,(p，？，p)x，pa，？，pa11n11nn已生板书: 当x,a时,f(x),(p，？，p)x,(pa，？，pa)n1n11nn师:从甲已两人的板书中可以得到:绝对值函数的两条射线斜率相反，截距相反。 学生做此题:函数(其中为正常数， y,kx，b，k，b,kx，bk,k,k112233123 bbb312互不相等)的图像可能是( ) ,,kkk123 yyyy xxxxOOOO (A) (B) (C) (D) 5、讨论绝对值函数的对称轴 用几何画板做下列函数的图像:;; (1)f(x),x，2x,1(2)g(x),x，x,1(3); h(x),x，x,1，x,2(4)t(x),x，x,2，x,3 从图像上看(1)、(4)没有对称轴，(2)的对称轴为;(3)的对称轴为 x,0.5 。对称轴的数值是零点的中位数。在(2)中，零点0、1关于0.5对称，在(3)中，x,1 2零点0，1,2关于1对称。但是在(1)中零点0、1、1不关于中位数对称;在(4)中，3 5零点0、2、3不关于中位数对称。因此当零点关于中位数对称时，绝对值函数就有对称轴，3 否则就没有对称轴。 学生做此题:若函数f(x),kx，a，kx，b，kx，c(k,0,a,b,c)的图像为轴对称图形，则a,b,c应满足的条件是___________。 六、教学反思 本篇是在学生多次做过绝对值函数题的基础上运用归纳思维的方法开展的教学活动。通 6 过教师带领学生沿着函数的三要素，函数的性质这条路来研究高中课本中没有的，但学生在做题时又常遇到的绝对值函数，实现《上海市中小学数学课程》中所要求的:要重视课堂上的讲评和小结，同时引导学生在课后自主地进行反思和领悟。课后，笔者有如下思考: (1)通过这节课，学生再遇到新的函数时，就能养成从三要素着手，研究函数的单调性，奇偶性，零点，最值，周期等一般规律。但也不要太局限于此。可以用更生动形象的语言(如开口方向)刻画函数，也可忽略所研究函数的某个不明显的性质(如单调性)。 (2)在本次教学中，教师应用几何画板作图研究函数的性质，符合《课标》中所说的:利用DIMA平台，组织开展数字化数学活动，改进数学教学过程，改善学生学习方式。„„提倡学生自主选择数学软件„„ )在教学中既用现代化教学手段，又结合传统教学。解决有关绝对值问题一般是通过零(3 点分段法去掉绝对值符号，但是用零点分段法去掉绝对值作图需要很多时间，只好在课下让学生作图，让学生有足够的时间体会零点分段法去绝对值，体会将各零点代入得到的点就是线段的端点。如果课上用很多时间作图，在课堂上研究函数性质的时间相对就少，就会冲淡本节课的主题。 参考文献:[1] 王继延等《五年高考试题透视 2006-2010数学理科(上海卷)》[M]上海:上海科技教育出版社，2010.8. [2] 王继延等《五年高考试题透视 2006-2010数学文科(上海卷)》[M]上海:上海科技教育出版社，2010.8. [3] 袁震东 《数学 高中三年级 拓展(文科、技艺)》(使用本) [M]上海:上海科技教育出版社，2008年8月第一版. [4] 熊斌 冯志刚 《奥数精讲与测试》 [M]上海:学林出版社，2007年10月第一版. 7