奇怪的天气

第四章 向量的内积与二次型 4.1 向量的内积 4.1.1向量的内积与模 定义4.1 设有n维向量 ， ， 称 EMBED Equation.KSEE3 + EMBED Equation.KSEE3 +…+ EMBED Equation.KSEE3 为 与 的内积，记为[ , ],即 [ , ]= EMBED Equation.KSEE3 + EMBED Equation.KSEE3 +…+ EMBED Equation.KSEE3 = . 内积是向量的一种运算，可用矩阵记号示，当 与 都是列向量时，有 [ , ]= T . 向量的内积满足下列运算规律（其中 ， ， 都为n维向量， 为实数）： （1）[ , ]=[ ， ]； （2）[ , ]= [ , ]； （3）[ + ， ]=[ , ]+[ , ]. 定义4.2 数 称为向量 =（ ）T的模（或长度），记为 ，即 = = = . 当 =1时， 称为单位向量. 当向量 EMBED Equation.KSEE3 0时， 是单位向量. = =1 注意：式 给出了求向量 的单位向量的方法. 关于内积和模的关系，有如下重要的定理： 定理4.1 对任意n维向量α和β，恒有|[ , ]|≤ . 向量的模具有下述性质： （1） 非负性：当 EMBED Equation.KSEE3 0时， >0；当 =0， =0. （2） 齐次性： = EMBED Equation.KSEE3 . （3） 三角不等式： EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 + . 4.1.2 两个向量的夹角和距离 定义4.3 当 EMBED Equation.KSEE3 0时， =arccos 称为n维向量 与 的夹角，其中0 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 . 这时有 . 定义4.4 规定n维向量 =（ ）T与 =（ ）T的距离为 = 根据定义4.4，n维向量 的模 就是 与零向量的距离。 根据n维向量的三角不等式，恒有 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 +​​​​​​​​ ，于是 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 +​​​​​​​​ 4.2 正交向量组与正交矩阵 4.2.1 正交向量组 定义4.5 如果n维向量 与 的内积 =0，则称 与 正交 若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则该向量组称为正交向量组. 定理4.2 若n维向量组 1， 2，…， r是正交向量组，则 1， 2，…， r线性无关. 在一个正交向量组中，如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为正交向量组. 定理4.3 设n维向量组 1， 2，…， m线性无关，令： ， ， ， … ， 则 ， ，…， 是正交向量组，且与 1， 2，…， m等价. 如果令 （i=1,2，…,m）, 则 1， 2，…， m是与 1， 2，…， m等价的标准正交向量组 上述定理4.3从线性无关组 1， 2，…， m导出正交向量组 ， ，…， 的过程称为施密特正交化过程，此方法称为施密特正交化方法.它不仅满足 ， ，…， 与 1， 2，…， m等价，还满足：对任何k（1 ），向量组 ， ，…， 与 1， 2，…， k等价.通常将 ， ，…， 转化为到 的过程称为向量的单位化. 4.2.2 正交矩阵与正交变换 定义4.6 如果n阶方阵A满足ATA=I,则称A为正交矩阵. 由定义4.6可得：正交矩阵A可逆，且A-1=AT. 定理4.4 方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量是标准正交向量组. 定义4.7 设 ， ， 则 等价于 上述 称为线性变换；若 为可逆矩阵，则 为可逆线性变换；若 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。 定理4.5 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。 4.3 实对称矩阵 定义4.8 若n阶方阵A=（ ）满足： , 则A称为对称矩阵；若 为实数，则A称为实对称矩阵. 定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数. 定理4.7 设 ， 是实对称矩阵A的两个特征值， ， 是对应的特征向量，若 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ，则 与 正交. 定理4.8 若 是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个对应于 的线性无关特征向量. 定理4.9 设 为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使 其中 ， ，…， 是 的特征值. PS: （1） 在实对称矩阵中，不同特征值根对应的特征向量正交，故只需对重根所对应的特征向量进行施密特正交化. （2） 任意实对称矩阵都可以用正交变换方法化为对角矩阵 4.4 二次型 4.4.1 二次型及其矩阵表示 平面二次函数 中，其左端函数 EMBED Equation.KSEE3 满足 ， 这样函数称为二次齐次函数. 定义4.9 含有n个自变量 的二次齐次函数 称为二次型.当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时， 称为实二次型. 规定 ，则有 2 = ， 于是 = + + = EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 记A=( ) , 则上面的二次型可以记作： 由于 ，所以 是实对称矩阵.容易看出，A的对角元素 是 中 项的系数，而非对角元素 是交叉项 系数的一半.实二次型 与实对称矩阵 一一对应(即互相唯一确定).这里，对称矩阵 称为二次型 的矩阵，也把 称为对称矩阵 的二次型；矩阵 的秩定义为二次型 的秩. Tips：设 为 阶方阵， ，则二次型 的矩阵 . 4.4.2 二次型的标准型 定义4.11 二次型 经过线性变换 后所得到的平方和 称为这个二次型的一个标准型. 其对应的矩阵是对角矩阵： 对于一般的二次型 ，主要问题是：寻求可逆的线性变换 或正交变换 ，使二次型变成标准型。 设可逆的线性变换 ，则 其中 定义4.11 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C,使得 ，则称矩阵A与B，称矩阵C为合同变换矩阵. 定义表明，若A与B合同，则A与B等价，反之不然。 定理4.10 对应任意可逆矩阵C，令 ，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B). 二次型 经过不同的可逆线性变换后所得到的标准形是不同的，但可以证明其正平方项与负平方项的项数是不变的.标准形中平方项的项数称为二次型 的惯性指标；正平方项的项数称为二次型f的正惯性指标，记为p;负平方项的项数称为二次型f的负惯性指标，记为q.显然，R(A)=p+q. 定理4.11 任给二次型 ，总有正交变换 使 变为标准形 其中 为A的全部特征值. 4.4.3 正定二次型 定义4.12 设有实二次型 ，如果对任何x≠0,都有 >0,则 称为正定二次型，对称矩阵A称为正定矩阵；如果对任何x≠0,都有 <0,则 称为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵. 如果对任何x,都有 ≥0,则 称为半正定二次型，对称矩阵A称为半正定矩阵. 定理4.12 实二次型 正定的充分必要条件是：它的标准形的n个平方项系数全为正. 定理4.13 若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： （1） 是正定二次型（或A是正定矩阵）； （2）A的正惯性指标为n； （3）存在可逆阵P，使得 ； （4）A的n个特征值 全大于零。 定理4.14 （1） 对称矩阵 正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正，即 （2） 对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即 这个定理称为霍尔维茨定理。 声明：由于学识有限，纰漏在所难免，望阅读者带着求真的态度阅读 版本：中国农业出版社 魏福义 主编 《线性代数》 ——©真真 _1528181868.unknown _1528181869.unknown _1528181881.unknown _1528181882.unknown _1528181901.unknown _1528181902.unknown _1528181913.unknown _1528181914.unknown _1528181943.unknown _1528181944.unknown _1528181955.unknown _1528181956.unknown _1528181967.unknown _1528181982.unknown _1528182021.unknown _1528182030.unknown _1528182031.unknown _1528182032.unknown _1528182033.unknown _1528182034.unknown _1528182035.unknown _1528182036.unknown _1528182037.unknown _1528182038.unknown _1528182039.unknown _1528182040.unknown _1528182045.unknown _1528182046.unknown _1528182047.unknown _1528182048.unknown _1528182049.unknown _1528182050.unknown _1528182051.unknown _1528182052.unknown _1528182104.unknown _1528182310.unknown _1528182316.unknown _1528182326.unknown _1528182335.unknown _1528182456.unknown _1528182520.unknown _1528182555.unknown _1528182569.unknown _1528182604.unknown _1528182626.unknown _1528182634.unknown _1528182662.unknown _1528182673.unknown _1528182887.unknown _1528182888.unknown _1528182889.unknown _1528182890.unknown _1528182891.unknown _1528182917.unknown _1528182918.unknown 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