初二平行四边形的性质和判定知识点整理

初二平行四边形的性质和判定知识点整理 初二平行四边形的性质和判定专题 1．平行四边形的定义 (1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可． (2)表示方法： 平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． (3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法． ①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行； ②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形． 【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是( )． A．平行四边形ABCD表示为“ACDB” B．平行四边形ABCD表示为“ABCD” C．AD∥BC，AB∥CD D．对角线为AC，BO 解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C. 2．平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在 . 由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线 l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故 ABCD. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°. (3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD . ABCD中， ABCD， (4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD. 【例2】ABCD的周长为30 cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，求AB，AD的长． 分析：依题意画出图形，如图，△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，即AO＋AB＋ BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)． 因为OA＝OC，OB为公共边， 所以AB－BC＝5(cm)． 30由AB＋BC15(cm)可求AB，BC， 2 再由平行四边形的对边相等得AD的长． 解：∵△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm， ∴AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，∴AB－BC＝5(cm)． ∵ABCD的周长为30 cm， ∴AB＋BC＝15(cm)． ???AB－BC＝5，?AB＝10，∴?得? ?AB＋BC＝15，?BC＝5.?? ∴AB＝10 cm，AD＝BC＝5 cm. 3．平行四边形的判定 (1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理． (2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 如图，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证明△ABD≌△CDB，所以∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，从而得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形． 其推理形式为： ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， 可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°. 从而得到AB∥DC，AD∥BC. 由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． (4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 其推理形式为： 如图，∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． (5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 其推理形式为： 如图，∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边形． 【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由． 解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA. 又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD， 所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO. 所以四边形ABCD是平行四边形． 4．三角形的中位线 (1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数 量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段． 【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是__________cm. 解析：由三角形的中位线性质得， 111DF＝BC，EF＝AB，DE＝AC， 222 1所以△DEF的周长＝×10＝5(cm)． 2 5．两条平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． 如图所示，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离． (1)如图，过直线a上点B作BD⊥b，垂足为D，则线段BD的长也是两条平 行线a，b之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等． (2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值． 【例5】如图所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？ 解：△ABC的面积与△DBC的面积相等． 因为l1∥l2，所以它们之间的距离是一个定值． 所以△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形．所以S△ABC＝S△DBC. 结论：l1上任意一点与B，C连接，构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个． 6．平行四边形性质的应用 平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等． 对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键． (3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形． 【例8】如图所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，AF与BE交于G，DF与CE交于H，连接EF，GH，试问EF与GH是否互相平分？为什么？ 解：EF与GH互相平分． 理由：在ABCD中， ∵ADBC，AE＝CF，∴AECF. ∴DEBF.∴四边形AFCE，BEDF都是平行四边形．(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) ∴AF∥CE，BE∥DF. ∴四边形EGFH是平行四边形．(平行四边形的定义) ∴EF与GH互相平分． 9．三角形的中位线性质的应用 三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图，且能解决生活实际问题． 应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知 条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理． 【例9】在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )． A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 解析：∵△EDF是△EAF折叠而形成的图形， ∴△EDF≌△EAF.∴∠AEF＝∠DEF. ∵AD是BC边上的高，由折叠可知AD⊥EF， ∴EF∥CB.∴∠AEF＝∠B，∠BDE＝∠DEF. ∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE＝AE. ∴E为AB的中点．同理点F是AC的中点． ∴EF是△ABC的中位线． ∴△DEF的周长为△EAF的周长， 11即AE＋EF＋AF＝×(AB＋BC＋AC)＝×(12＋9＋10)＝15.5. 22 10．平行四边形的性质探究题 平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角．所以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题． 平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平 行四边形． 【例10】如图，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，试探索PD＋PE＋PF与a的关系． 解：如图，作DG∥BC交AB于点G， 因为△ABC为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60° 所以∠A＝∠AGD＝∠ADG＝60°.所以GD＝AG. 又可得EP＝GD，所以EP＝AG，DP＝GE. 同理可得PF＝EB，所以PD＋PE＋PF＝a. 11．平行四边形的判定的探究题 平行四边形是一类特殊的四边形，并且它是学习矩形、菱形、正方形和梯形的基础．在有关平行四边形判定的探究型问题中，要会判定一个四边形是平行四边形，运动型问题的关键是把运动的问题转化为静止的问题． 运动变化题，这类题的解决技巧是把“运动”的“静止”下来，以静制动， 同时注意不同的情况． 【例11】如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＞BC)，BC＝6 cm，点P从A点以1 cm/s的速度向D点出发，同时点Q从C点以2 cm/s的速度向B点出发，设运动时间为t秒，问t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？ 解：由题意知，AP＝t，QC＝2t，则BQ＝6－2t， 若四边形ABQP为平行四边形，因为AD∥BC， 只需AP＝BQ即可，即t＝6－2t，解得t＝2. 答：当t为2秒时，四边形ABQP是平行四边形． 初二平行四边形的性质和判定专题 1．平行四边形的定义 (1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可． (2)表示方法： 平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． (3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线． 平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法． ①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行； ②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形． 【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是( )． A．平行四边形ABCD表示为“ACDB” B．平行四边形ABCD表示为“ABCD” C．AD∥BC，AB∥CD D．对角线为AC，BO 解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C. 2．平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在 . 由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线 l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故 ABCD. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°. (3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD . ABCD中， ABCD， (4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD. 【例2】ABCD的周长为30 cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，求AB，AD的长． 分析：依题意画出图形，如图，△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm，即AO＋AB＋ BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)． 因为OA＝OC，OB为公共边， 所以AB－BC＝5(cm)． 30由AB＋BC15(cm)可求AB，BC， 2 再由平行四边形的对边相等得AD的长． 解：∵△AOB的周长比△BOC的周长大5 cm， ∴AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，∴AB－BC＝5(cm)． ∵ABCD的周长为30 cm， ∴AB＋BC＝15(cm)． ???AB－BC＝5，?AB＝10，∴?得? ?AB＋BC＝15，?BC＝5.?? ∴AB＝10 cm，AD＝BC＝5 cm. 3．平行四边形的判定 (1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理． (2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 如图，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证明△ABD≌△CDB，所以∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，从而得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形． 其推理形式为： ∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， 可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°. 从而得到AB∥DC，AD∥BC. 由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． (4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 其推理形式为： 如图，∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． (5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 其推理形式为： 如图，∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． (1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边 相等的四边形不一定是平行四边形． 【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由． 解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA. 又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD， 所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO. 所以四边形ABCD是平行四边形． 4．三角形的中位线 (1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数 量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段． 【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是__________cm. 解析：由三角形的中位线性质得， 111DF＝BC，EF＝AB，DE＝AC， 222 1所以△DEF的周长＝×10＝5(cm)． 2 5．两条平行线间的距离 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． 如图所示，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离． (1)如图，过直线a上点B作BD⊥b，垂足为D，则线段BD的长也是两条平 行线a，b之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等． (2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值． 【例5】如图所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？ 解：△ABC的面积与△DBC的面积相等． 因为l1∥l2，所以它们之间的距离是一个定值． 所以△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形．所以S△ABC＝S△DBC. 结论：l1上任意一点与B，C连接，构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个． 6．平行四边形性质的应用 平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等． 对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键．