非齐次化齐次

šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K úôŒÆêÆX ÅV= February 1, 2008 úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K ŽŽŽ{{{: 阇·�O†§ò>.^‡zàg>.^‡" ~~~. kr½‘ffkffu§�àff £®§uff�Č£ ㏠ ∂2u ∂t2 = a2 ∂ 2u ∂x2 + f (x , t), 0 < x < `, t > 0 u|x=0 = ν(t), u|x=` = µ(t), u(x , t)|t=0 = φ(x), ∂u∂t |t=0 = ψ(x), 0 < x < `. �w(x , t) = `−x` ν(t) + x `µ(t), w(x , t) ÷v w |x=0 = ν(t), w |x=` = µ(t) P U(x , t) = u(x , t)− w(x , t), úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K U(x , t) ÷v ∂2U ∂t2 = a2 ∂ 2U ∂x2 + f (x , t)− ( `−x` ν ′′(t) + x`µ′′(t)), 0 < x < `, t > 0 U|x=0 = 0, U|x=` = 0,⇔àg>.^‡ U(x , t)|t=0 = φ(x)− ( `−x` ν(0) + x`µ(0)), 0 < x < ` ∂U ∂t |t=0 = ψ(x)− ( `−x` ν ′(0) + x`µ′(0)), 0 < x < `. ÷v‡¦ff¼ê w(x , t) kéõ§X w(x , t) = ν(t) + sin( x ` )[µ(t)− ν(t)]. ¯¢þ§‡ w(x , t) ÷v w |x=0 = ν(t), w |x=` = µ(t) ff®¼êÑ´#Nff" úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K @oUÄé�Ü·ffC†,r§Ú>.^‡zàg§Úà g>.^‡? ùžw(x , t)I‡÷v{ ∂2w ∂t2 = a2 ∂ 2w ∂x2 + f (x , t), u|x=0 = ν(t), u|x=` = µ(t), �J��w(x , t). ���´´´ �f (x , t) = f (x),ν(t) = AÚµ(t) = B(tà ')ž, Œ±é�˜‡==†xk'ff¼êw(x){ ∂2w ∂t2 = a2 ∂ 2w ∂x2 + f (x , t), u|x=0 = ν(t), u|x=` = µ(t), ⇒ { ∂2w ∂x2 = − 1 a2 f (x), u|x=0 = A, u|x=` = B, §†>.^‡⇒àg§Úàg>.^‡ úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K ~~~. ¦e�½)¯K ∂2u ∂t2 = a2 ∂ 2u ∂x2 + A, 0 < x < `, t > 0 u|x=0 = 0, u|x=` = B, u(x , t)|t=0 = 0, ∂u∂t |t=0 = 0, 0 < x < `. Ù¥ A Ú B ‰½ff~ê"{ ∂2w ∂x2 = − A a2 , u|x=0 = 0, u|x=` = B, ⇒ w(x , t) = − A 2a2 x2 + ( A` 2a2 + B ` )x P U(x , t) = u(x , t)− w(x , t), @o ∂2U ∂t2 = a2 ∂ 2U ∂x2 , ⇔àg§ U|x=0 = 0, U|x=` = 0, ⇔àg>.^‡ U(x , t)|t=0 = A2a2 x2 − ( A`2a2 + B` )x , 0 < x < ` ∂U ∂t |t=0 = 0, 0 < x < `. úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK šàg>.^‡ff½)¯K ©lCþ{⇒ U(x , t) = ∞∑ n=1 ( Cn cos( npiat ` ) + Dn sin( npiat ` ) ) sin( npix ` ) U(x , t)|t=0 = A 2a2 x2 − ( A` 2a2 + B ` )x = ∞∑ n=1 Cn sin( npix ` ) ∂U ∂t |t=0 = 0 = ∞∑ n=1 Dn npi ` sin( npix ` ) ⇒ Dn = 0, Cn = 2 ` ∫ ` 0 [ A 2a2 x2 − ( A` 2a2 + B` )x ] sin(npix` )dx = − 2A`2 a2n3pi3 + (−1)n 2npi ( A`2 a2n2pi2 + B ) Ïd�5Ð>Ł¯Kff) u(x , t) = − A 2a2 x2 + ( A` 2a2 + B ` )x + ∞∑ n=1 Cn cos( npiat ` ) sin( npix ` ). úúúôôôŒŒŒÆÆÆêêêÆÆÆXXX ÅÅÅVVV=== šššàààggg>>>...^^^‡‡‡ffffff½½½)))¯¯¯KKK 非齐次边界条件的定解问题