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责编／顾!俊!邮箱／!"#"$%&’%%’!’()*+,- 高一!语数外 !""#!$ ")’!!! 方 法 点 拨 利用函数的图像性质 巧解数列题 #江苏省梁丰高级中学 ! 刘显伟 !! 数列是一种定义域为正整数集!或其有限子集"$# "#&#$##%&的特殊函数!数列的通项公式’前#项和公 式就是相应的函数解析式#函数都有其特定的图像#因 此#用函数图像中的一些观点去考察数列问题#是一种 有效而快捷的解题途径!本文试探究如何构造具体函数 模型并利用它们的图像性质巧解等差’等比数列问题! 一!一次函数的图像性质在等差!等比数列中的 应用! 一次函数是最基本的一类函数#它在等差’等比数 列问题中有着广泛的应用! $!若等差数列"$#%的公差为.#则由它的通项公式 $# %$$(!#’$&.%.#($$’.#可知当.-#时#$# 是#的一次函数#它明以!##$#&为坐标的点必在直线 5%3"(1!其中3%.#1%$$’.&上! 例%! 已知等差数列!$#"中#若$6 %7#$7%6$6# 7&&’ 且6-7%#则$6(7 % !!!!! 解析 ! 等差数列"$#%各项所对应的点)!6#$6&# *!7#$7&#+!6(7#$6(7&在同一条直线上#所以3)* %3)+# 所以 $7’$6 7’6 % $6(7’$6 !6(7&’6 #即6’7 7’6 % $6(7’7 !6(7&’6 #解 得$6(7 %#!! "!若等差数列"$#%的公差为.#则由它的前#项和 公式-# %#$$(# !#’$& " .% . "# "( $$’.! &" ##可知 -# # % . "#($$’ . "! 因此#当.-#时# -# # 是#的一次函 数#它表明以 ##-#! &# 为坐标的点必在直线5 %3"( 1!其中3% ." #1%$$’." &上! 例!!已知等差数列!$#"的前#项和为-##且-6% 7#-7 %6$6#7&&’ 且6-7%#求-6(7! 解析!等差数列"-## %各项所对应的点 ## -#0 1 2 3# 在同 一直线上#于是) 6# -60 1 2 36 #*7# -70 1 2 37 #+6(7# -6(7 6( 0 1 2 37 三 点共线#所以3)* %3)+#所以 -7 7 ’ -6 6 7’6 % -6(7 6(7 ’ -6 6 !6(7&’6 # 即 6 7 ’ 7 6 7’6 % -6(7 6(7 ’ 7 6 !6(7&’6 #解得-6(7 %’!6(7&! &!若等比数列"$#%的公比为7!7-$&#则由它的 通项公式#可得$#%$$7#’$%$$77 ##它表明以!7##$#&为 !!)!$$%由题意#$#("’$#($%$#($’$##所以!$#"为 等差数列!设公差为.#由题意得"%+(&.).%’"# 所以$# %+’"$#’$%%$#’"#! $"%因为1# % $"#$#($%% $ " $ #’ $ #(! &$ # 所以4# % $" $’$! &" ( $"’$! && ( $&’$! &( , (&( $#’$’ $! &# ( $#’ $#(! &)$ % #"$#($%! 假设4#+,&" 对任意#&&’ 成立#即 ##($+ , $% 对 任意#&&’ 成立# 因为 # #($ $#&&’%的最小值是$" #所以, $%* $ " # 所以,的最大整数值是*#使得对任意#&&’#均 有4# + ,&"! 责编／顾!俊!邮箱／!"#"$%&’%%’!’()*+,- " 高一!语数外 !""#!$).!!! 方 法 点 拨 坐标的点必在直线5%3"!其中3%$$7 "上! 例’! 已知等差数列!$#"不是常数列#且它的第8# 9#3项恰好是一个等比数列的连续三项#求证$这个等比 数列的公比7%9’38’9 ! 证明 ! 因为#$#$是等差数列%故有$9’$89’8 % $3’$9 3’9 %即$3’$9 $9’$8 %3’99’8 !由题设有7%$9$8 % $3 $9 - $% 且可知点)!7:’$%$8"%*!7:%$9"%+!7:($%$3"!:&&’ 且 :(""共线%即3)* %3*+%所以 $9’$8 7:’7:’$ % $3’$9 7:($’7: %即 $3’$9 $9’$8 % 7:($’7: 7:’7:’$ % 7:!7’$" 7:’$!7’$" %7%所以7%3’99’8 ! !本题实际上也可利用合比定理%求得$3’$9 $9’$8 %7!" ,!若等比数列#$#$的公比为7!7-$"%则由其前# 项和的公式%可得-# %$$ !$’7#" $’7 % $$ 7’$7 #( $$$’7 % 它表明以!7#%-#"为坐标的点必在直线5%3"(1!其中 3% $$7’$ %1% $$$’7 "上! 例(!设等比数列!$#"的前#项和为-##若-&(-% %"-’#求!$#"的公比7! 解析 ! 由题意%可知7-$%且点)!7&%-&"%*!7%% -%"%+!7’%-’"共线%所以3)* %3*+%即-%’-&7%’7& % -’’-% 7’’7% !又-& (-% %"-’%所以 !"-’’-&"’-& 7&!7&’$" % -’’!"-’’-&" 7%!7&’$" %于是7& %’$" %解得7%’ & ., "! 点评 ! 综上#等差数列中的点%##$#&#点 ## -#! "# # 等比数列中的点%7##$#&#点%7##-#&分别是在同一直线 上的离散点#根据直线的性质#利用三点共线所确定的 等式#往往可巧妙求解相关问题! 二!二次函数的图像性质在等差数列中的应用 若等差数列#$#$的公差为.%则由它的前#项和公式 -# %#$$(# !#’$" " .% . "# "( $$’.! "" #%可知-#是关 于#的二次函数%它表明以!#%-#"为坐标的点必在过原 点的抛物线5%)""(*" )%." %*%$$’.! "" 上!因 此%涉及等差数列前#项和的问题可尝试利用二次函数的 性质来求解! 例)! 设-# 为等差数列!$#"的前#项和#$$ +## 若-, %-#%,-#&! %$&数列!-#"中哪一项最大？ %"&求-,(#! 解析 !!$"设#$#$的公差为.%则-# % ."# " ( $$’.! "" #!! 令/!""%."" "( $$’.! "" "%则点!#%-#"在函数 5%/!""的图像上!由于-, %-#!,-#"%即/!,"% /!#"%所以.-#%故此函数图像为抛物线%且它的对称 轴方程为"% $"’ $$ . % ,(# " +$! 又$$ +#%所以. *#%所以此函数图像开口向下!又因为#&&’%所以当 ,(#为偶数时%-,(#" 最大&当,(#为奇数时%-,(#’$" % -,(#($" 最大! !""由!$"知"%,(#" 为二次函数/!""%."" " ( $$’.! "" "的对称轴!因此/!,(#"%/!#"%即-,(# %#! 点评 ! 结合图像#利用二次函数的性质解等差数 列中与-# 的最值相关的问题时要注意$! 点%##-#&为 二次函数/%"&%."" "( $$’.! "" "%.-##常数项为 #&的图像上的一些离散点’" 当.+#时#抛物线开口 向上##取最接近于$"’ $$ . %对称轴方程为"%$"’ $$ . & 的正整数时#-# 有最小值’当.*#时#抛物线开口向 下##取最接近于$"’ $$ . 的正整数时#-# 有最大值! 三!指数型函数的图像性质在等比数列中的应用 若等比数列#$#$的公比为7!7+#且7-$"%则由 它的通项公式%可得$# %$$7#’$ %$$77 #%它表明以!#% $#"为坐标的点必在指数型函数5%27"!2%$$7 "的图 责编／顾!俊!邮箱／!"#"$%&’%%’!’()*+,- 高一!语数外 !""#!$ "))!!! 方 法 点 拨 像上!! 例$! 等差数列!$#"与正项等比数列!1#"的首项 相等#第"#($项也相等#试比较$#($ 与1#($ 的大小! 解析!当!$#"的公差.%#时#显然有!1#"的公比 7%$#且$#($ %1#($$ 当.-#时#点%##$#&在直线5%."(1%1%$$’ .&上#点%##1#&在函数5%27"%2%1$7 + #&的图像上# 如下图#分.+#%此时7+$&#.*#%此时#*7*$& 两种情况!由图#显然$#($ +1#($! 综上#可得$#($ (1#($! %.+#& !! %.*#& 点评!注意$! 点%##1#&为指数型函数5%27"%其 中2%1$7 #7+#且7-$&的图像上的一些离散点’"1$# 7的取值与函数5%27" 的图像之间的关系如下表$ 1$ +# 1$ *# #*7*$ 7+# !! 从上述内容可以看出#函数的图像性质在等差’等 比数列中的应用体现了数形结合的思想#它变抽象为形 象#将(数)与(形)两者结合起来#充分发挥(数)的严密 性和(形)的直观性#以(数)促(形)#用(形)助(数)#非 常快捷巧妙地解决了那些貌似困难’麻烦的问题#达到 事半功倍的效果!其中具体函数的构建为借助函数的图 像性质解题奠定了基础#也是利用(数形结合)解题的 关键所在! 巩 固 练 习 $!设-# 为等差数列!$#"的前#项和!求证*-,(#,(# %-,’-#,’# ! "!已知等差数列!$#"中#首项$$ %"###且-& % -$#!问*!$#"前几项的和最大？最大值是多少？ &!已知!$#"为等差数列#!1#"为等比数列#且公比 为7+$#若$" %1" %"#$, %1,! %$&试比较$$ 与1$#$& 与1& 的大小$ %"&猜想$# 与1#%#()&的大小关系%无需证明&! ,!设数列!$#"是由正数组成的等比数列#-# 是其 前#项和#证明*-/-#(-/-#("" *-/-#($! 参 考 答 案 $!提示 ! 利用 ,#-,% &, ###-#% &# #,(##-,(#,(% &# 共 线来证! "!!$#"的前%项或前*项的和最大#最大值为*##! &!%$&$$ *1$#$& +1&’%"&$# *1#! ,!提示 ! 要证-/-#(-/-#("" *-/-#($ #只需证 -#-#(" *-"#($! 当7%$时#-#-#("’-"#($%#$$(%#("&$$’%#( $&"$"$ %’$"$ *##所以结论成立! 当7-$时#由点%7##-#&#%7#($#-#($&#%7#("#-#("& 共线#知-#($’-# 7#($’7# %-#("’-#($ 7#("’7#($ !整理化简#得-#($ % 7-#(-#(" 7($ !因此要证-#-#(" *-"#($#只需证-#-#(" * 7-#(-#(" 7(% &$ " #即要证7"-#%-#(" ’-#&’-#("%-#(" ’-#&*##即要证%7"-#’-#("&%-#("’-#&*##即要证 ’$"$7#%$(7&"*#!由!$#"是由正数组成的数列#知$$ +##7+#!所以’$"$7#%$(7&" *#成立#且以上各步 均可逆!所以结论成立!