数学计算方法

亲爱的交大附中新高一的同学们： 一、数与式的运算 一）、必会的乘法公式 【公式1】 证明： 等式成立 【例1】计算： 解：原式= ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】 (立方和公式) 证明: 说明:请同学用文字语言述公式2. 【例2】计算： （2a+b）（4a2-2ab+b2）=8 a3+b3 【公式3】 (立方差公式) 1．计算 （1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）= （2）（2x-3）（4x2+6xy+9）= （3） = （4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）= 2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3= （2）27m3- n3= （3）x3-125= （4） m6-n6= 【公式4】 【公式5】 【例3】计算： （1） （2） （3） （4） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的． 【例4】已知 ，求 的值． 解： 原式= 说明：本若先从方程 中解出 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举． 【例5】已知 ，求 的值． 解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 二）、根式 式子 叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 【例6】化简下列各式： (1) (2) 解：(1) 原式= *(2) 原式= 说明：请注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论． 【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) (2) (3) (4) 解：(1) = (2) 原式= (3) 原式= (4) 原式= 说明： (1)二次根式的化简结果应满足： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种： ①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来； ②分母中有根式(如 )或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)． 有理化因式和分母有理化 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。 分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。 【例8】计算： (1) (2) 解：(1) 原式= (2) 原式= 说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算． 【例9】设 ，求 的值． 解： 原式= 说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 1．二次根式 成立的条件是( ) A． B． C． D． 是任意实数 2．若 ，则 的值是( ) A．－３ B．３ C．－９ D．９ 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．化简(下列 的取值范围均使根式有意义)： (1) (2) (3) (4) 5．化简： (1) (2) 6．若 ，则 的值为( )： A． B． C． D． 7．设 ，求代数式 的值． 8．已知 ，求代数式 的值． 9．设 ，求 的值． 10．化简或计算： (1) (2) (3) ： 1． C 2． A 3． (1) (2) (3) (4) 4． 5． 6． D 7． 8． 3 9． 10． 三）、分式 当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【例10】化简 解法一：原式= 解法一：原式= 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质 进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． 【例11】化简 解：原式= 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． 四）、多项式除以多项式 做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式 商式+余式 计算 解： 计算 1． 2． 3．已知 求： 答案： 1． 2． 3． 二、因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 一）、公式法 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 分析： (1)中， ，(2)中 ． 解：(1) (2) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 ，这里逆用了法则 ；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) (2) 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现 ，可看着是 或 ． 解：(1) ． (2) 二)、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 1．分组后能提取公因式 【例3】把 分解因式． 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式 与 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提取公因式． 解： 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例4】把 分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解： 说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用． 2．分组后能直接运用公式 【例5】把 分解因式． 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是 ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 后，另一个因式也是 . 解： 【例6】把 分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解： 说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式． 三)、十字相乘法 1． 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) ． (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数． (2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解二次三项式 ． 解：(1) (2) 2．一般二次三项式 型的因式分解 大家知道， ． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 四)、其它因式分解的方法 1．配方法 【例11】分解因式 解： 说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2．拆、添项法 【例12】分解因式 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决． 解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将 拆成 ，将多项式分成两组 和 ． 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6．已知 ，求代数式 的值． 7．证明：当 为大于2的整数时， 能被120整除． 8．已知 ，求证： ． 答案： 1． 2． 3． ， ， 4． ； ； ； 5． ； ． 6． 7． 8． 三、一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一）、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ，用配方法将其变形为： (1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为： 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为： ，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为： ，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 【例2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【例3】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值． 解：可以把所给方程看作为关于 的方程，整理得： 由于 是实数，所以上述方程有实数根，因此： ， 代入原方程得： ． 综上知： 二）、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 的两个根为： 所以： ， 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”． 【例4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ， ， ， ， ， 等等．韦达定理体现了整体思想． *【例5】一元二次方程 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求 的取值范围。 解一：由 解得： 解二：设 ，则如图所示，只须 ， 解得 *【例6】 已知一元二次方程 一个根小于0，另一根大于2，求 的取值范围。 解：如图，设 则只须 ，解之得 ∴ 【例7】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根 满足 ． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当 时，方程两实根的积为5． (2) 由 得知： ①当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ； ②当 时， ，由于 ，故 不合题意，舍去． 综上可得， 时，方程的两实根 满足 ． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 ． 【例8】已知 是一元二次方程 的两个实数根． (1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使 的值为整数的实数 的整数值． 解：(1) 假设存在实数 ，使 成立． ∵ 一元二次方程 的两个实数根 ∴ ， 又 是一元二次方程 的两个实数根 ∴ ∴ ，但 ． ∴不存在实数 ，使 成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，只需 能被4整除，故 ，注意到 ， 要使 的值为整数的实数 的整数值为 ． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法． 1．一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若 是方程 的两个根，则 的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 的方程 的根，则 等于( ) A． B． C． D． 4．若实数 ，且 满足 ，则 的值为 ( ) A． B． C． D． 5．若方程 的两根之差为1，则 的值是 _____ ． 6．设 是方程 的两实根， 是关于 的方程 的两实根，则 = _____ ， = _____ ． 7．对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可能等于10，您是否同意他的看法？请您说明理由． 8．一元二次方程 两根 、 满足 求 取值范围。 9．已知关于 的一元二次方程 ． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值． 10．已知关于 的方程 ． (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长，当矩形的对角线长是 时，求 的值． 11．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ． (1) 求 的取值范围； (2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由． 12．若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于1． (1) 求实数 的取值范围； (2) 若 ，求 的值． 答案： 1． B 2． A 3．A 4．A 5． 9或 6． 7．正确 8．由 可得 或 9． 10． 11． (2) 不存在 12．(1) ； (2) ． 四、一元高次方程的解法 含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。 一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为 一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。 【例1】解方程 （1）x3+3x2-4x=0 （2）x4-13x2+36=0 解：（1）原方程可化为 x（x-1）（x+4）=0 （2）原方程可化为（x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0 ， 解方程 （1）x3+5x2-6x=0 （2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0 答案：（1） （2） 五、三元一次方程组的解法举例 1）．三元一次方程组的概念： 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。 注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。 它的一般形式是 未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 2）．解三元一次方程组的基本思想方法是： 【例1】 解方程组         分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得  11x＋10z＝35．     （4） ①与④组成方程组       解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， ∴ ． ∴ 【例2】  解方程组 分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。 解：①+③，得  5x+6y=17      ④ ②+③×2，得，  5x+9y=23     ⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得       把x=1，y=2代入③得： 2×1+2×2-z=3，    ∴  z=3 ∴  另解：②+③-①，得 3y=6，∴y=2 把y=2分别代入①和③，得 解这个方程组，得：     ∴ 注：①此题确定先消去z后，就要根据三个方程消两次z（其中一个方程要用两次），切忌消一次z，再消一次其他未知数，这样得不到一个二元一次方程组，达不到消元的目的。 ②此题的“另解”是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中，得到一个二元一次方程组，再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。 1. 解下列三元一次方程组 1）             2）            3） 2．已知 ，且x+y+z=24，求x、y、z的值。 3．代数式ax2+bx+c在x为1，-1，2时，它的值分别是-6，-8，-11，求： ①a，b，c的值；②当x=-4时，求代数的值。 *4．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0 求： 的值。 *5．已知 且xyz≠0，求x：y：z．． *6．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？ 答案： 1.(1) (2) (3) 2. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-41 4. 5. 6..金笔 5支 铂金笔5支 圆珠笔90支 六、简单的二元二次方程组的解法举例 （1）二元二次方程及二元二次方程组 　　观察方程 ，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2. 　　定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 　　二元二次方程的一般形式是： （a、b、c不同时为零）.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项. 　　定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组 由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组. 例如： 都是二元二次方程组. （2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法. 　　我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解. 　　解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 　　对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法. 　　【例1】 解方程组 　　　　分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得 再代入①可以求出 的值，从而得到方程组的解. 　　解：由②，得 　　　　把③代入①，整理，得 　　　　解这个方程，得 . 　　　　把 代入③，得 ； 　　把 代入③，得 . 　　所以原方程的解是 　　 解方程组 　　分析：可用“代入法”解。也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y。 　　解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程 的两个根。 解此方程得 ，t的这两个值，不论哪一个作为x、y都可以。因此，所求的解为 　　　 *1. 解方程组 　　　　 *2. 解方程组 　　　分析（1）×3＋（2）得（x－2y）（3x－y）＝0 　　 3. 解方程组 　答案： 1. （把第一个方程因式分解为 ，得两个一次方程，从而降次） 解为 　 2.解为： 3.解为： 　　七、平面上任意两点间距离 1、数轴上任意两点间距离： 例1. 已知数轴上三点 、 、 的坐标分别为4、-2、-6. 求 、 、 解： 2、平面上任意两点间距离：在直角坐标系内，已知两点 、 ， 则 例2. 在直角坐标系内，已知两点 、 ，求这两点间距离 . 解： 1、已知数轴上两点 、 坐标分别为 、 ，求 、 两点间距离 ： 1） 、 2） 、 3） 、 *4） 、 2、求连结下列两点的线段的长度： 1） 、 2） 、 3） 、 4） 、 5） 、 6） 、 答案：1、1）2 2）8 3）7 4） 2 1）8 2） 3） 4）1 5）13.6 6） 注：加*部分为较难部分，同学可选学。