第六章 自相关

第六章 自相关 引子： T检验和F检验一定就可靠吗? 为了研究居民储蓄存款Y与居民收入X的关系，设定模型为： 取某地区1985年—2000年居民储蓄存款Y和居民收入X的数据为样本数据，用普通最小二乘法估计其参数，结果为 （1.8690） (0.0055) t= (14.9343) (64.2069) F=4122.531 由估计检验结果可以看出，回归系数的误差非常小，t统计量较大，说明居民收入X对居民储蓄存款Y的影响非常显著。同时可决系数也非常高，F统计量=4122.531，也明模型异常的显著。 可是某些信息提示：以上结论是不可靠的！尽管所用样本数据都是真实的，但这样的估计结果却可能是虚假的，所计算的 和 的方差及标准误差都严重地被低估了，t统计量和F统计量都远远被虚假地夸大了，因此所得结果是不可信的。 有什么充分的理由提出这样的质疑呢？ 前面几章的讨论中，我们假定随机误差项前后期之间是不相关的。但在经济系统中，经济变量前后期之间很可能有关联，使得随机误差项不能满足无自相关的假定。本章将探讨随机误差项不满足无自相关的古典假定时的参数估计问。 第一节 什么是自相关 一、自相关的概念 自相关（auto correlation）又称序列相关（serial correlation），是指总体回归模型的随机误差项 之间存在相关关系。前面几章中强调，在回归模型的古典假定中是假设随机误差项是无自相关的，即 在不同观测点之间是不相关的，即 （ ） （见2.15） 如果该假定不能满足，就称 与 存在自相关，即不同观测点上的误差项彼此相关。 自相关的程度可用自相关系数去表示，随机误差项 与滞后一期的 的自相关系数为 （6.1） （6.1）式定义的自相关系数 与普通相关系数的公式形式相同， 的取值范围为 。（6.1）式中ut-1是ut滞后一期的随机误差项，因此，将（6.1）式计算的自相关系数 称为一阶自相关系数。 根据自相关系数 的符号可以判断自相关的状态，如果 <0，则ut与ut-1为负相关；如果 >0，则ut与ut-1为正关；如果 = 0，则ut与ut-1不相关。 二、自相关产生的原因 1、经济系统的惯性 自相关现象大多出现在时间序列数据中，而经济系统的经济行为都具有时间上的惯性。例如GDP、价格、就业等经济数据，都会随经济系统的周期而波动。又如，在经济高涨时期，较高的经济增长率会持续一段时间，而在经济衰退期，较高的失业率也会持续一段时间，这种情况下经济数据很可能表现为自相关。 2、经济活动的滞后效应。 滞后效应是指某一变量对另一变量的影响不仅限于当期，而是延续若干期。由此带来变量的自相关。例如，居民当期可支配收入的增加，不会使居民的消费水平在当期就达到应有水平，而是要经过若干期才能达到。因为人的消费观念的改变存在一定的适应期。 3、数据处理造成的相关。 因为某些原因对数据进行了修正和内插处理，在这样的数据序列中可能产生自相关。例如，将月度数据调整为季度数据，由于采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使季度数据具有平滑性，这种平滑性可能产生自相关。对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内插处理，也可能使得数据前后期相关，而产生自相关。 4、蛛网现象。 蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表示某种商品的供给量 受前一期价格 影响而表现出来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需的均衡点。许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对价格的反应要滞后一段时间，因为供给的调整需要经过一定的时间才能实现。如果时期t的价格Pt低于上一期的价格Pt-1，农民就会减少时期t+1的生产量。如此则形成蛛网现象，此时的供给模型为 （6.2） 这时式中的随机误差项u t可能产生自相关。 5、模型设定偏误。 如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确，都会产生系统误差，这种误差存在于随机误差项中，从而带来了自相关。由于设定误差造成的自相关，在经济计量分析中经常可能发生。例如，本来应该用两个解释变量去解释Y，即 　　（6.3） 而建立模型时，模型设定为 （6.4） 这样，X3t对Yt的影响在（6.4）式中便归入到随机误差项ut中，由于X3t在不同观测点上是相关的，就造成了ut是自相关的。 模型函数形式的设定误差也会导致自相关现象。如将本来应是U形成本曲线的模型设定为线性成本曲线的模型，则会导致自相关。由设定误差产生的自相关，可通过改变模型设定予以消除。 自相关关系主要存在于时间序列数据中，但是在横截面数据中也可能会出现自相关，通常称其为空间自相关（Spatial auto correlation）。例如，一个家庭或一个地区的消费行为可能会影响另外一些家庭或另外一些地区，就是说不同观测点的随机误差项可能是相关的。多数经济时间序列在较长时间内都表现为上升或下降的超势，因此大多表现为正自相关。但就自相关本身而言，可以为正相关也可以为负相关。 三、自相关的表现形式 自相关的性质可以用自相关系数 的符号判断，即 <0为负相关， >0为正相关。当| |接近1时，表示相关的程度很高。自相关是u1，u2，…，u n序列自身的相关，因n个随机误差项的关联形式不同而可能具有不同的自相关形式。自相关大多出现在时间序列数据中，下面以时间序列为例说明自相关的不同表现形式。 对于样本观测期为n的时间序列数据，可得到总体回归模型（PRF）的随机误差项为u1，u2，…，u n，如果自相关形式为 u t = ut-1 + vt （-1< <1） （6.5） 其中， 为自相关系数，vt为满足古典假定的误差项，即E(vt) = 0，Var (vt) =σ2，Cov (vt，vt+s) = 0，s≠0。因为模型（6.5）中ut-1是ut滞后一期的值，则（6.5）式称为一阶自回归形式，记为AR(1)。（6.5）式中的 也称为一阶自相关系数。 如果（6.5）式中的随机误差项vt是不满足古典假定的误差项，即vt中包含有ut的成份，例如包含有ut-2的影响，则需将ut-2包含在回归模型中，即 ut = ut-1+ u t-2 （6.6） 其中， 为一阶自相关系数， 为二阶自相关系数， 是满足古典假定的误差项。（6.6）式称为二阶自回归形式，记为AR(2)。一般地，如果u1，u2，…，u t之间的关系为 （6.7） 其中，vt为满足古典假定的误差项。则称（6.7）式为m阶自回归形式，记为AR(m)。 此外，自相关的形式可能为移动平均形式，记为MA(n)，还可能为更复杂的移动平均自回归形式，记为ARMA (m, n)，这些是时间序列分析的专题内容，本书不作讨论。 在经济计量分析中，通常采用（6.5）式的一阶自回归形式，即假定自回归形式为一阶自回归AR(1)。这种假定简化了自回归形式，在实际分析中常能取得较好的效果，在本章中只讨论假定自相关为AR(1)的形式。 第二节 自相关的后果 当一个线性回归模型的随机误差项存在自相关时，就违背了线性回归方程的古典假定，如果仍然用普通最小二乘法（OLS）估计参数，将会产生严重后果。自相关产生的后果与异方差情形类似。 一、一阶自回归形式的性质 以一元线性回归模型为例，对于 （6.8） 假定随机误差项u存在一阶自相关 ut = u t-1+vt ​（6.9） 其中，ut为现期随机误差，ut-1为前期随机误差。vt是满足古典假定的误差项，即vt满足零均值E (vt) =0，同方差Var(vt) = ，无自相关E(vt vs) = 0（t≠s）的假定。 在大样本情况下， 的OLS估计式为 (6.10) 与 的相关系数为（当样本较大时， ） (6.11) 如果将随机误差项ut的各期滞后值 逐次代入 （6.9）式可得 （6.12） （6.12）式表明随机误差项ut可表示为独立同分布的随机误差序列vt，vt-1，vt-2，…的加权和，权数分别为1， ， 2，…，当0< <1时，这些权数随时间推移而呈几何衰减；而当-1< <0时，这些权数是随时间推移而交错振荡衰减的。 在随机误差项 存在一阶自回归形式的自相关时，由（6.12）式可推得 （6.13） （6.14） （6.13）和（6.14）式表明，在ut为一阶自回归形式的自相关时，随机误差项ut依然满足零均值、同方差的假定。 由于现期的随机误差项vt并不影响回归模型中随机误差项ut的以前各期值ut-k（k>0），所以 与ut-k不相关，即有E(v t ut-k) = 0。因此，由（6.9）式可得随机误差项ut与其以前各期ut-k的协方差分别为 Cov (ut，ut-1) = E(u t ut-1) = E[( u t-1+vt)u t-1] = = 　 (6.15) Cov(ut，u t-2) = E(ut ut-2) = E[( u t-1+vt)ut-2] = E[( ut-2+ vt-1+ vt)ut-2] = 2E（ ） = 　(6.16) 以此类推，可得 　（6.17） 这些协方差分别称为随机误差项ut的一阶自协方差、二阶自协方差和k阶自协方差，这些自协方差均不为零，这正是存在自相关的含义。 二、自相关对参数估计的影响 以一元线性回归模型（6.8）为例，当ut满足各项古典假定时，普通最小二乘估计 的方差为 （见2.40） 首先，当随机误差项ut存在自相关时， 依然是无偏的，即 ，因为在普通最小二乘法无偏性的证明中并不需要ut满足无自相关的假定。 再看OLS估计式的方差，（6.8）式中 的最小二乘估计式为 （6.18） 可以证明(见本章附录6.1) （6.19） 当随机误差项无自相关时， = 0，此时（6.19）式等价于（2.40）式。当存在正的自相关时，（6.19）式的方差将大于（2.40）式的方差。可以证明，当存在自相关时，普通最小二乘估计量不再是最佳线性无偏估计量，即它在线性无偏估计量中不是方差最小的。 由式(6.19)可以看出，当 >0，即有正相关时，对所有的j都有 >0。另外回归模型中的解释变量在不同时期通常也呈正相关，即对于xt和xt+j来说∑xt xt+j是大于0的。因此（6.19）式右边括号内的值通常大于0，如果仍用OLS法 去计算 的方差，将会低估存在自相关时参数估计值的真实方差。 此外，当随机误差项 不存在自相关时，已知 是 的方差 的无偏估计，即 。但是，如果随机误差项 存在一阶自相关，可以证明 (6.20) 当 及 都是正自相关时，(6.20)式中园括号内的值为正值，将使 的值降低。这说明如果仍用 去估计 的方差 ，则会导致低估真实的 。显然，这将使得参数估计值的方差被进一步低估。 三、自相关对模型检验的影响 通过前面的讨论已知，当存在自相关时，如果忽视自相关问题，依然用满足古典假定的OLS法去估计参数及其方差，会低估真实的 ，更会低估参数估计值的方差。由于对参数显著性检验的t统计量为 ~ ，当参数估计值的方差被低估时，其标准误差 也将被低估，从而过高估计t统计量的值，会夸大所估计参数的显著性，对本来不重要的解释变量可能误认为重要而被保留。这时通常的回归系统显著性的t检验将失去意义。 类似地，由于自相关的存在，参数的最小二乘估计量是无效的，使得F检验和R 2检验也是不可靠的。 四、自相关对模型预测的影响 模型预测的精度决定于抽样误差和总体误差项的方差 。抽样误差来自于对 j的估计，在自相关情形下， j的方差的最小二乘估计变得不可靠，由此必定加大抽样误差。同时，在自相关情形下，对 的估计 也会不可靠。由此可看出，影响预测精度的两大因素都因自相关的存在而加大不确定性，使预测的置信区间不可靠，从而降低了预测的精度。 第三节 自相关的检验 随机误差项存在自相关给普通最小二乘法的应用带来的后果是严重的。因此，必须设法诊断是否存在自相关。检测回归模型是否存在自相关的常用方法有以下几种。 一、图示检验法 图示法是一种直观的诊断方法，它是对给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计其参数，求出残差项 ，以 作为随机项 的估计值，再描绘 的散点图，根据散点图来判断 的相关性。残差 的散点图通常有两种绘制方式。 １．绘制 和 的散点图。用( , )（ ）作为散布点绘图，如果大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明随机误差项 存在着正自相关，如图6.1所示。如果大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误差项 存在着负自相关，如图6.2所示。 图 6.1 的关系 图6.2 的关系 ２．按照时间顺序绘制回归残差项 的图形。如果 ( )随着 的变化逐次有规律地变化，呈现锯齿形或循环形状的变化，就可判断 存在相关，表明 存在着自相关；如果 随着 的变化逐次变化并不断地改变符号，那么随机误差项 存在负自相关；如图6.3所示。如果 随着 的变化逐次变化并不频繁地改变符号，而是几个正的 后面跟着几个负的，则表明随机误差项 存在正自相关，如图6.4所示。 图6.3 的分布 图6.4 的分布 二、DW检验法 DW检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验方法。DW检验方法是检验自相关的常用方法，许多计量经济学和统计软件都提供DW值。 DW检验法的前提条件是： （1）解释变量X为非随机的； （2）随机误差项为一阶自回归形式，即 （ 满足古典假定） (6.21) （3）线性模型的解释变量中不包含滞后的被解释变量，例如不应出现下列形式： （4）截距项不为零，即只适用于有常数项的回归模型； （5）数据序列无缺失项。 为了检验序列的相关性，构造的原假设是 。为了检验这一假设，构造DW统计量，首先要计算回归估计式的残差 ，定义DW统计量为 (6.22) 其中， 。 由 (6.22) 式可得 (6.23) 如果认为 ≈ ≈ ，则由 (6.23) 式得 (6.24) 同理，在认为 ≈ ≈ 时 （6.25） 因此， (6.26) 所以，DW值与 的对应关系如表6.1所示。 表6.1 DW值与 的值的对应关系 DW -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 4 (2,4) 2 (0,2) 0 由上述讨论可知DW的取值范围为０≤DW≤４。 根据样本容量 和解释变量的数目 (不包括常数项)，查DW分布表，可得临界值 和 ，然后依下列准则考察计算的DW值，以决定模型的自相关状态（见表6.2）。 表6.2 DW检验决策规则 ０≤DW≤ 误差项 间存在正相关 ＜DW≤ 不能判定是否有自相关 ＜DW＜４－ 误差项 间无自相关 ４－ ≤DW＜４－ 不能判定是否有自相关 ４－ ≤DW≤４ 误差项 间存在负相关 　　表6.2可以用坐标图更加直观地表示出来，如图6.5所示。 图6.5 DW检验示意图 需要注意的是，DW检验尽管有着广泛的应用，但也有明显的缺点和局限性。 （1）DW检验有运用的前提条件，只有符合这些条件DW检验才是有效的。 （２）DW统计量的上、下界表一般n≥15，这是因为样本如果再小，当n<15时，DW检验上下界表的数据不完整，利用残差很难对自相关的存在性做出比较正确的诊断； （３）DW检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验； （4）DW检验有两个不能确定的区域，一旦DW值落在这两个区域，就无法判断。这时，只有增大样本容量或选取其他方法。或者采用修正的DW检验法进行检验，即扩大拒绝区域，当 时，不拒绝 ，认为不存在自相关；而当 或 时，就拒绝 ，认为存在自相关。这种修正实际是将拒绝区域扩大到不确定区域，由于自相关后果严重，在自相关不确定时，宁可拒绝 ，而不宜轻易接受无自相关。 第四节 自相关的补救 如果自相关是由于模型设定误差造成的，可以通过改变模型的设定去消除。对于设定正确的模型，如果随机误差项有自相关，则可采用如下方法予以消除。 一、广义差分法 由于随机误差项ut是不可观测的，通常我们假定ut为一阶自回归形式，即 ut = ut-1 + vt （见6.21） 其中，| |<1，vt为满足古典假定的误差项。 当自相关系数 为已知时，可使用广义差分法解决自相关问题。以一元线性回归模型为例 （6.27） 将模型（6.27）滞后一期可得 （6.28） 用 乘（6.28）式两边，得 （6.29） 用（6.27）式减去（6.29）式得 （6.30） 由（6.21）式，（6.30）式中的ut- ut-1 = vt是满足古典假定的误差项。因此，模型（6.30）满足古典假定，随机误差项ut- ut-1 = vt无自相关。 令 ， ， ，则式（6.30） 可表示为 （6.31） 对模型（6.31）使用普通最小二乘估计，可得到参数的最佳线性无偏估计量。因为（6.30）式中被解释变量与解释变量均为现期值减去前期值的一部分，所以称为广义差分方程。在进行广义差分时，解释变量X与被解释变量Y均以差分形式出现，因而样本容量由n减少为 ，即丢失了第一个观测值。如果样本容量较大，减少一个观测值对估计结果影响不大。但是，如果样本容量较小，则会对估计精度产生较大影响。此时，可采用普莱斯—温斯滕（Prais-Winsten）变换，将第一个观测值分别变换为 ，补充到差分序列 中，再使用普通最小二乘法估计参数。 二、科克伦—奥克特（Cochrane—Orcutt）迭代法 在实际应用中，自相关系数 往往是未知的，必须通过一定的方法去估计 。最简单的方法是依据DW统计量去估计 。由（6.26）式DW与 的关系可知 （6.32） 但是，（6.31）式得到的只是一个粗略的结果，这样得到的 只是对 精度不高的估计，根本原因在于对有自相关的回归模型使用了普通最小二乘法。为了得到 的更精确的估计值，可采用科克伦—奥克特（Cochrane—Ｏrcutt）迭代法。 科克伦—奥克特（Cochrane—Ｏrcutt）迭代法的基本思想，是通过逐次迭代去寻求更为满意的 的估计值，然后再采用广义差分法。具体来说，该方法是利用残差 去估计未知的 。 对于一元线性回归模型 , 假定ut为一阶自回归形式，即 ut = u t-1+vt （6.33） 科克伦—奥克特迭代法估计 的步骤如下： 第一步，使用OLS法估计模型 ，并计算残差 第二步，利用残差 作如下的回归 （6.34） 第三步，用OLS法估计（6.34）式中的 ，对模型（6.32）进行广义差分，即 （6.35） 令 ， ， ，对式（6.35）使用OLS法，可得样本回归函数为 (6.36) 第四步，由前一步估计的结果有 和 ，将 代入原回归方程（6.32）,求得新的残差 （6.37） 第五步，利用残差 作回归 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(6.38) 用OLS法估计的 是对 的第二轮估计值。 当不能确认 是否是 的最佳估计值时，继续迭代估计 的第三轮估计值 。直到估计的 与 相差很小时，收敛并满足精度要求，或回归所得DW统计量说明已不存在自相关时为止。通常，经过迭代很快就能得到有较高精度的 ，用作广义差分对自相关的修正效果也较好。 三、其它方法简介 （一）一阶差分法 一阶差分法是模型存在完全一阶正自相关时消除自相关的一种简单有效方法。仍以一元线性回归模型为例 （6.39） 其中ut为一阶自回归AR(1) u t = ut-1 + vt。如果原模型存在完全一阶正自相关，即 =1，由（6.30）式，可将模型（6.39）变换为 （6.40） 其中， 。这时的随机误差为 （6.41） 其中，v t为满足古典假定的误差项，则（6.40）式的随机误差项 为满足古典假定的误差项，无自相关问题。对（6.40）式使用普通最小二乘法估计参数，可得到最佳线性无偏估计量。虽然实际经济问题中完全一阶正自相关并不多见。但是只要 是正的且比较大，一阶差分法往往是有效的。但应注意，一阶差分法得到的回归方程（6.40）中没有常数项，如回归分析要求有常数项，该方法就不一定适用。 （二）德宾两步法 当自相关系数 未知时，也可采用德宾提出的两步法去消除自相关。 将广义差分方程（6.30）表示为 （6.42） 采用如下的两个步骤消除自相关。 第一步，将（6.42）式作为一个多元回归模型，使用普通最小二乘法估计其参数。把Yt-1的回归系数 看作 的一个估计值，它是 的一个有偏、一致估计。 第二步，利用估计的 进行广义差分。求得序列 和 ，然后使用OLS法对广义差分方程估计参数，求得最佳线性无偏估计量。 第五节 案例分析 一、研究目的 2003年中国农村人口占59.47％，而消费总量却只占41.4%，农村居民的收入和消费是一个值得研究的问题。消费模型是研究居民消费行为的常用工具。通过中国农村居民消费模型的分析可判断农村居民的边际消费倾向，这是宏观经济分析的重要参数。同时，农村居民消费模型也能用于农村居民消费水平的预测。 二、模型设定 正如第二章所讲述的，影响居民消费的因素很多，但由于受各种条件的限制，通常只引入居民收入一个变量做解释变量，即消费模型设定为 （6.43） 式中，Yt为农村居民人均消费支出，X t为农村人均居民纯收入，ut为随机误差项。表6.3是从《中国统计年鉴》收集的中国农村居民1985-2003年的收入与消费数据。 表6.3 1985-2003年农村居民人均收入和消费 单位： 元 年份 全年人均纯收入 （现价） 全年人均消费性支出 （现价） 消费价格指数 （1985=100） 人均实际纯收入 （1985可比价） 人均实际消费性支出 （1985可比价） 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 397.60 423.80 462.60 544.90 601.50 686.30 708.60 784.00 921.60 1221.00 1577.70 1923.10 2090.10 2162.00 2214.30 2253.40 2366.40 2475.60 2622.24 317.42 357.00 398.30 476.70 535.40 584.63 619.80 659.80 769.70 1016.81 1310.36 1572.10 1617.15 1590.33 1577.42 1670.00 1741.00 1834.00 1943.30 100.0 106.1 112.7 132.4 157.9 165.1 168.9 176.8 201.0 248.0 291.4 314.4 322.3 319.1 314.3 314.0 316.5 315.2 320.2 397.60 399.43 410.47 411.56 380.94 415.69 419.54 443.44 458.51 492.34 541.42 611.67 648.50 677.53 704.52 717.64 747.68 785.41 818.86 317.40 336.48 353.42 360.05 339.08 354.11 366.96 373.19 382.94 410.00 449.69 500.03 501.77 498.28 501.75 531.85 550.08 581.85 606.81 注：资料来源于《中国统计年鉴》1986-2004。 为了消除价格变动因素对农村居民收入和消费支出的影响，不宜直接采用现价人均纯收入和现价人均消费支出的数据，而需要用经消费价格指数进行调整后的1985年可比价格计的人均纯收入和人均消费支出的数据作回归分析。 根据表6.3中调整后的1985年可比价格计的人均纯收入和人均消费支出的数据，使用普通最小二乘法估计消费模型得 （6.44） Se = (12.2238) (0.0214) t = (8.7332) (28.3067) R2 = 0.9788，F = 786.0548，d f = 17，DW = 0.7706 该回归方程可决系数较高，回归系数均显著。对样本量为19、一个解释变量的模型、5%显著水平，查DW统计表可知，dL=1.18，dU= 1.40，模型中DW措施

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