这种解法怎么少了一个值

52 中学数学教学参考 2013年 鹅4朗 (上 甸 ) 解 思想 方-老 数学本身是清晰的．让数学问题在阳光下暴露 ，激发大家共 同去探究， 拨开其迷雾，显 出其本源． 这种解法怎么少了一个值 阮灵东(江西省余干县蓝天中学) 胡 晓(江西省余干县梅港中学) 问题：已知函数／( )===aln r+去 。(＆>0)，若对 任意两个不等 的正数 √。都有 二 >2 1—— ．I"2 恒成立，求实数“的范围． 这是某论坛中的一个问题 ，学生常常出现下面两 种不同的解法 ： 解法 l：注意到l厂( 是 厂( )图象上的 一 条割线 的斜率 ，而这条割线可通过平移使之与_，( ) 的某条切线 重合 ，从而 的范 围等价于 ／ ( )的 范 围．那 么 问 题 等 价 于：对 任 意 ∈(0，+cx )，_， ( ，)> 2恒 成 立．即 + > 2在 (0，+c )上恒成市 ，故 “>2：z’一 。在 (0，+cO)上恒 成立，而(2_『～ )⋯ 一l。所以 “>1． 解法2：不妨设 >。， >0，则 二 型 >2 1 一 2 等价于 ，( r1) 2 J>／’( 2)一2z2 设 ( )一 ．／( )一2_r， ∈(0，+。。)，从 而 g( 1) ‘( r!)恒成 ．即 g(』’)为 (0．+C×3)上的单调递增函 数 。所以 (j’)= + 一2≥0在 (0，+c。)上恒成 』 ， 故 “≥ 2．r一 在 (0，+一 )上 恒 成 立．而 (2 ) 一 1，所 以 “≥ 1． 解法 2的转化是等价的，是正确 的，但解法 1看 似推理严密 、理由充分 ，怎么会少 了 “一1的情形 呢? 难道解法 l的转化不等价吗? 解法 l指 _，(一’)图象上任意两点的割线通过平 移后可以与图象上一点(或多个点)处的切线重合 ，这 是正确的．大学教材 中有一个定理(拉格 朗 日中值 定 理 )：若 函数 ，(．17)在 区问 “，『)]上满 足 以下 条件 ： (1)在 [n，6]上连续 ；(2)在开区间 (“，6)上可导．则至 少存在一点 s∈( ，6)，使得 ( )一 或者 _厂(6)一 (a)+／ (车)(6 n)．但 是。函数 ( )图象 卜 某点处的切线能否通过平移与 (j、)图象的某条割线 重合呢?是否定的．例如，函数 (^ )一 。在 r一0 处的切线的斜率为 厶 ( )f ==0，而 (^Jr)图象上任 意两点的割线斜率 ÷ 一 三要一 十 + 一( +等) + {>o(因为 y- )，即 ， 一O处 ( )的 切线 无 论通 过 怎样 的平 移都 找 不 到 h( )图象上某条割线与之重合．这就 足以说明解法 l 的转化过程是不等价的． 再看开头的问题：当“一1时，f(一’)一in +去。 ( >O)，其任意一点处的切线斜率 ／ (．r)—一1+．r≥2 (当且仅当 一1时取等号)，即 ，( r)图象上任意一点 处的切线斜率恒大于或等于 2．而 二 型 2 — In 一 +1 e_ (In = 1 ,, 二 ，设 -TI— I 一 in．117+÷ 2x(_->O)， (下转第 55页) 解 题思 想方 _古 +3 一5 并整理得5 2—5 + 13 一手 2一o，由△ 一 25—4×5(萼 一 5 2)≥o，得 ≥5或 ≤ ． 因为 一 >o， >_詈_，．y>0，所以￡≤i1应舍 去，因此 ≥5，则￡的最小值为 5，此时 一 ， 一1， 1 2‘ 解法12：(数形结合法) 一一手 + 1 是斜率为 一 百3 ，在 轴上的截距为}￡的直线， 如右图，当直线与曲线 z+3y ===5 ( >i3)相切时， 1 f取得最 小值，把 一一4~+4t代人曲线 + 3v一 5xv得 15x 一5(t+ 1) Y y=i-+t"d -3 ＼ D ＼ y=-寻 +寺 +3t一0．由 △一0得 5t 一26t+5—0，解得 t=5或 t ： 1 ． 由 > 3 ， >O知 ￡≤i1应舍去 ． 故 ￡一5，此时 一 1， 一 1 ． 解法13：(接解法12)IN N]~．y一一号z+丢￡ 与曲线 — 1十 3· 相切时 ￡取得最小值 ， 由 函数 (z)一号+_詈_·丽1 的导数厂 (z) 一 一 一 3 ， 解得 z一1或 — 1 ． 而 z> 3 ， 故 — 1应舍去 ． 把 z一1代入 =：= 1 十詈·丽1 ，得 一 1，即切点坐标为(1， 1)． 再把 z一1， 一 代人直线 3z+4 一 ，得 ￡一5， 即 一3x+4y的最小值为 5． 通过对一道小题多角度的分析，沟通了知识之间 的联系，探求出解决此类问题的常见方法，使知识与 方法融会贯通 ，可 以增强发 散思维 能力 ，达到举一反 = 、 触 类軎 诵 的 目的． (上接第 52页) 因为g ( )一÷+ 一2≥0(当且仅当 一1时取 等号)， 所以 g( )为 (0，+CxD)上 的增 函数 ，所 以当 ≠ 2时， >0， ．78l— 2 即丛 一2>0 ， 所 以 |』1 X 2 X l一一X 2 >2，即／’( )图象上任意两点的割线斜率均大于 2． 显然 ，当 a一1时，函数 ，(z)在 (0，+。。)上 的图 象上任意两点的割线斜率取值的集合是函数 _厂’( )在 (0，+。。)上的图象上任意一点处的切线斜率取值 的 集合的真子集．这也能具体说明解法 1的转化不 等价． 通过上 面的分析 ，说 明解法 1的转化过程 不等 价 ，致使结果少了一个解．那么解 法 1有没有补救的 方法呢?答案是肯定的，我们首先证明下面的一个 定理． 定理：设非常量函数 一厂(z)在[“，6]内连续，在 (a， )上可导，则对于(a，6)上的任意两个不等实数 、 ， 不等式 二 型 > f或￡ 二 < )恒成立∞ 对于 (口，b)上任意实数 ．272，不等式 f ( )≥m(或 厂 (z)≤m)恒成立． 证 明：不 妨 设 z1> 2，g( )一f(z)一 z， ∈ (a，b)． 对于(n，b)上的任意两不等实数 z 、 ，不等式 二 > 恒成立 工 1 Z 2 甘-厂( 1)一研 l>f(x2)一m．T2 ∞ g( 1)> g(z2) ㈢g( )为(a，b)上的单调递增函数 甘g ( )≥0在 (d，b)上恒成立 ㈢-厂 (1z)≥m在 (n，b)上恒成立． 另一情形同理可证． 现在用此定理 ，再来解决开头的问题． 解：对任意两个不相等的正实数 z 、 ，都有 >2恒成立臼-厂 (z)≥2在 (0，+oo)j2 恒 成 立 ，即 一a+ ≥ 2在 (0，+C×3)上 恒 成立 ． 故 。 ≥ 一 +2x在 (0，+oo)上恒成立．而 (一z +2x) 一 1，所 以 a≥1． 鬻 ～∞