电子速度与动能的相对论关系

实验五 验证快速电子的动量与动能的相对论关系 一·实验目的 本实验通过对快速电子的动量值及动能的同时测定来验证动量和动能之间的相对论关系。同时实验者将从中学习到β磁谱仪测量原理、闪烁记数器的使用及一些实验数据处理的思想方法。 二．实验内容 1 测量快速电子的动量。 2 测量快速电子的动能。 3 验证快速电子的动量与动能之间的关系符合相对论效应。 三·原理 经典力学总结了低速物理的运动规律，它反映了牛顿的绝对时空观：认为时间和空间是两个独立的观念，彼此之间没有联系；同一物体在不同惯性参照系中观察到的运动学量(如坐标、速度)可通过伽利略变换而互相联系。这就是力学相对性原理：一切力学规律在伽利略变换下是不变的。 19世纪末至20世纪初，人们试图将伽利略变换和力学相对性原理推广到电磁学和光学时遇到了困难；实验对高速运动的物体伽利略变换是不正确的，实验还证明在所有惯性参照系中光在真空中的传播速度为同一常数。在此基础上，爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论；并据此导出从一个惯性系到另一惯性系的变换方程即“洛伦兹变换”。 洛伦兹变换下，静止质量为m0，速度为v的物体，狭义相对论定义的动量p为： (5—1) 式中 。相对论的能量E为： (5—2) 这就是著名的质能关系。mc2是运动物体的总能量，当物体静止时v=0，物体的能量为E0=m0c2称为静止能量；两者之差为物体的动能Ek，即 (5—3) 当β« 1时，式（5—3）可展开为 (5—4) 即得经典力学中的动量—能量关系。 由式(5—1)和(5—2)可得： (5—5) 这就是狭义相对论的动量与能量关系。而动能与动量的关系为： (4─6) 这就是我们要验证的狭义相对论的动量与动能的关系。对高速电子其关系如图所示，图中pc用MeV作单位，电子的m0c2=0.511MeV。式(5—4)可化为： 以利于计算。 四．实验装置及方法 实验装置主要由以下部分组成：①真空、非真空半圆聚焦磁谱仪；②放射源90Sr—90Y(强度≈1毫居里)，定标用γ放射源137Cs和60Co(强度≈2微居里)；③200mAl窗NaI(Tl)闪烁探头；④数据处理计算软件；⑤高压电源、放大器、多道脉冲幅度分析器。 β源射出的高速β粒子经准直后垂直射入一均匀磁场中( )，粒子因受到与运动方向垂直的洛伦兹力的作用而作圆周运动。如果不考虑其在空气中的能量损失(一般情况下为小量)，则粒子具有恒定的动量数值而仅仅是方向不断变化。粒子作圆周运动的方程为： (5—7) e为电子电荷，v为粒子速度，B为磁场强度。由式(5—1)可知p=mv，对某一确定的动量数值P，其运动速率为一常数，所以质量m是不变的，故 且 所以 (5—8) 式中R为β粒子轨道的半径，为源与探测器间距的一半。 在磁场外距β源X处放置一个β能量探测器来接收从该处出射的β粒子，则这些粒子的能量(即动能)即可由探测器直接测出，而粒子的动量值即为： 。由于β源 (0～2.27MeV)射出的β粒子具有连续的能量分布(0～2.27MeV)，因此探测器在不同位置(不同X)就可测得一系列不同的能量与对应的动量值。这样就可以用实验方法确定测量范围内动能与动量的对应关系，进而验证相对论给出的这一关系的理论公式的正确性。 五·实验步骤 1. 检查仪器线路连接是否正确，然后开启高压电源，开始工作； 2. 打开 γ定标源的盖子，移动闪烁探测器使其狭缝对准 源的出射孔并开始记数测量； 3. 调整加到闪烁探测器上的高压和放大数值，使测得的 的1.33MeV峰位道数在一个比较合理的位置（建议：在多道脉冲分析器总道数的50%～70%之间，这样既可以保证测量高能β粒子(1.8~1.9MeV)时不越出量程范围，又充分利用多道分析器的有效探测范围）； 4. 选择好高压和放大数值后，稳定10～20分钟； 5. 正式开始对NaI(Tl)闪烁探测器进行能量定标，首先测量 的γ能谱，等1.33MeV光电峰的峰顶记数达到1000以上后（尽量减少统计涨落带来的误差），对能谱进行数据分析，记录下1.17和1.33MeV两个光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH3、CH4； 6. 移开探测器，关上 γ定标源的盖子，然后打开 γ定标源的盖子并移动闪烁探测器使其狭缝对准 源的出射孔并开始记数测量，等0.661MeV光电峰的峰顶记数达到1000后对能谱进行数据分析，记录下0.184MeV反散射峰和0.661 MeV光电峰在多道能谱分析器上对应的道数CH1、CH2； 7. 关上 γ定标源，打开机械泵抽真空（机械泵正常运转2～3分钟即可停止工作）； 8. 盖上有机玻璃罩，打开β源的盖子开始测量快速电子的动量和动能，探测器与β源的距离X最近要小于9cm、最远要大于24cm，保证获得动能范围0.4～1.8MeV的电子； 9. 选定探测器位置后开始逐个测量单能电子能峰，记下峰位道数CH和相应的位置坐标X； 10. 全部数据测量完毕后关闭β源及仪器电源，进行数据处理和计算。 六·数据处理 1.真空状态下P与X的关系的合理表述 由于工艺水平的限制，磁场的非均匀性(尤其是边缘部分)无法避免，直接用 来求动量将产生一定的系统误差；因此需要采取更为合理的方式来表述P与X的关系。 设粒子的真实径迹为aob，位移ds与Y轴的夹角为，如上图所示；则ds在X轴上的投影为 。显然有： (5—9) 又因为 以及 ，(其中R、B分别为ds处的曲率半径和磁场强度)，则有： (真空中P为定值) (5─10) 所以有： ( ) (5─11) 把 改写成： ， 则物理含义更为明显：即 为粒子在整个路径上的磁场强度的倒数以各自所处位置处的位移与Y轴夹角的正弦为权重的加权平均值。显然， 相当于均匀磁场下公式 中的磁场强度B；即只要求出 ，就能更为确切地表述P与X的关系，进而准确地确定粒子的动量值。 实际计算操作中还需要把求积分进一步简化为求级数和；即可把画在磁场分布图上直径为X的半圆弧作N等分(间距取10毫米左右为宜)，依此读出第i段位移所在处的磁场强度Bi，再注意到： 以及 ， 则最后求和可以得到： (5─12) 所以： (5─13) 2.β粒子动能的测量 粒子与物质相互作用是一个很复杂的问题，如何对其损失的能量进行必要的修正十分重要。 ①粒子在Al膜中的能量损失修正 在计算粒子动能时还需要对粒子穿过Al膜(220m：200m为NaI(Tl)晶体的铝膜密封层厚度，20m为反射层的铝膜厚度)时的动能予以修正，计算方法如下。 设粒子在Al膜中穿越x的动能损失为E，则： (5—14) 其中 ( )是Al对粒子的能量吸收系数，(是Al的密度)， 是关于E的函数，不同E情况下 的取值可以通过计算得到。可设 ，则E=K(E)x；取x0，则粒子穿过整个Al膜的能量损失为： (5─15)；即 (5─16) 其中d为薄膜的厚度，E2为出射后的动能，E1为入射前的动能。由于实验探测到的是经Al膜衰减后的动能，所以经公式(4─9)可计算出修正后的动能(即入射前的动能)。下表列出了根据本计算程序求出的入射动能E1和出射动能E2之间的对应关系： E1(MeV) E2(MeV) E1(MeV) E2(MeV) E1(MeV) E2(MeV) 0.317 0.200 0.887 0.800 1.489 1.400 0.360 0.250 0.937 0.850 1.536 1.450 0.404 0.300 0.988 0.900 1.583 1.500 0.451 0.350 1.039 0.950 1.638 1.550 0.497 0.400 1.090 1.000 1.685 1.600 0.545 0.450 1.137 1.050 1.740 1.650 0.595 0.500 1.184 1.100 1.787 1.700 0.640 0.550 1.239 1.150 1.834 1.750 0.690 0.600 1.286 1.200 1.889 1.800 0.740 0.650 1.333 1.250 1.936 1.850 0.790 0.700 1.388 1.300 1.991 1.900 0.840 0.750 1.435 1.350 2.038 1.950 ②粒子在有机塑料薄膜中的能量损失修正 此外，实验表明封装真空室的有机塑料薄膜对存在一定的能量吸收，尤其对小于0.4MeV的粒子吸收近0.02MeV。由于塑料薄膜的厚度及物质组分难以测量，可采用实验的方法进行修正。实验测量了不同能量下入射动能Ek和出射动能E0(单位均为MeV)的关系，采用分段插值的方法进行计算。具体数据见下表： Ek(MeV) 0.382 0.581 0.777 0.973 1.173 1.367 1.567 1.752 E0(MeV) 0.365 0.571 0.770 0.966 1.166 1.360 1.557 1.747 3．数据处理的计算方法和步骤（举例说明）： 设对探测器进行能量定标（操作步骤中的第5、6步）的数据如下： 能量(MeV) 0.661 1.17 1.33 道数(CH) 158.8 283.2 321.0 实验测得当探测器位于25cm时的单能电子能峰道数为220，求该点所得β粒子的动能、动量及误差，已知β源位置坐标为10cm、平均磁场强度为642.8高斯(Gs)。 1)根据能量定标数据求定标曲线 已知； ； ； ；根据最小二乘原理用线性拟合的方法求能量E和道数CH之间的关系： 可以推导，其中： 代入上述公式计算可得： 2）求β粒子动能 对于X=25cm处的β粒子： ①将其道数220代入求得的定标曲线，得动能E2=0.9108MeV，注意：此为β粒子穿过总计220m厚铝膜后的出射动能，需要进行能量修正； ②在前面所给出的穿过铝膜前后的入射动能E1和出射动能E2之间的对应关系数据表中取E2=0.9108MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E2=0.9108MeV的入射动能E1=0.9990MeV E1(MeV) E2(MeV) 0.988 0.900 1.039 0.950 ③上一步求得的E1为β粒子穿过封装真空室的有机塑料薄膜后的出射动能E0，需要再次进行能量修正求出之前的入射动能Ek，同上面一步，取E0=0.9990MeV前后两点作线形插值，求出对应于出射动能E0=0.9990MeV的入射动能Ek=1.006MeV； Ek(MeV) 0.973 1.173 E0(MeV) 0.966 1.166 Ek=1.006MeV才是最后求得的β粒子动能。 3）根据β粒子动能由动能和动量的相对论关系求出动量PC（为与动能量纲统一，故把动量P乘以光速，这样两者单位均为MeV）的理论值 由 得出： 将Ek=1.006MeV代入，得PCT=1.428MeV，为动量PC的理论值。 4）由 求PC的实验值 β源位置坐标为10cm，所以X=25cm处所得的β粒子的曲率半径为： ；电子电量 ，磁场强度 ，光速 ；所以： ； 因为 ，所以： 5）求该实验点的相对误差DPC 4．关于非真空条件下的实验方法和数据处理 这一实验也可以在非真空状况下进行，同样可得到较为理想的结果。非真空条件下得到的单能电子峰与真空条件相比其分辨率明显变差，可能出现寻峰困难或不准的情况，建议在寻峰前先利用多道程序软件进行光滑化处理，可以较好地解决这一问题。在数据处理上要对电子在回转路径上因与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正，具体做法是对Ek进行电子在回转路径上与空气发生相互作用而导致的能量损失进行修正以得到最终的能量Ek。 七·思考题 1. 观察狭缝的定位方式，试从半圆聚焦β磁谱仪的成象原理来论证其合理性。 2. 本实验在寻求P与X的关系时使用了一定的近似，能否用其他方法更为确切地得出P与X的关系？ 3. 用γ放射源进行能量定标时，为什么不需要对γ射线穿过220m厚的铝膜时进行“能量损失的修正”？ 4. 为什么用γ放射源进行能量定标的闪烁探测器可以直接用来测量β粒子的能量？ 5. 试论述相对论效应实验的思想。 6. 当相对论效应比较显著时，电子速度如何？ 7. 实验是否可以在非真空状态下进行？如何进行？ 8. 对实验误差进行分析。 八·实验注意事项 1. 闪烁探测器上的高压电源、前置电源、信号线绝对不可以接错； 2. 装置的有机玻璃防护罩打开之前应先关闭β源； 3. 应防止β源强烈震动，以免损坏它的密封薄膜； 4. 移动真空盒时应格外小心，以防损坏密封薄膜； 附录：空气对粒子的能量吸收系数（取空气密度 ） 粒子能量(MeV) 0.1 3.6294 4.682 0.2 2.4703 3.187 0.3 2.0871 2.692 0.4 1.9070 2.460 0.5 1.8087 2.333 0.6 1.7510 2.259 0.7 1.7159 2.214 0.8 1.6945 2.186 0.9 1.6819 2.170 1.0 1.6752 2.161 2.0 1.7140 2.211 PAGE - 8 - _1268129313.unknown _1268129329.unknown _1268129345.unknown _1268129353.unknown _1268129357.unknown _1268129361.unknown _1268129363.unknown _1268129364.unknown _1268129365.unknown 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_1268129307.unknown _1268129308.unknown _1268129306.unknown _1268129301.unknown _1268129303.unknown _1268129304.unknown _1268129302.unknown _1268129299.unknown _1268129300.unknown _1268129298.unknown _1268129289.unknown _1268129293.unknown _1268129295.unknown _1268129296.unknown _1268129294.unknown _1268129291.unknown _1268129292.unknown _1268129285.unknown _1268129287.unknown _1268129288.unknown _1268129286.unknown _1268129283.unknown _1268129284.unknown _1268129282.unknown