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2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 网：www.tsinghuatutor.com 考研数学三十六技 微积分上 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 三十六技之四：导数与微分的特别考点 可微定义要知晓，复合求导最重要，还须注意几件事：隐函存在与求导，参数要 熟悉，反函求导重记号，特定函数情况下，高阶导数有技巧。 注意可微性定义，导数运算核心基础是复合函数求导规则。 特别关注隐函数的导数、反函数的导数、高阶导数及参数方程导数规则。 ( xox ) x yy Δ+Δ−=Δ 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 例 4-1 满足)(xyy = ， 2)1( =y ，则 为 )(xy 。 x dx y dy −= x yy −=′ Cxy lnlnln +−=，得到可分离变量形方程 ， ， 【解】 x Cy = x y 2=2=C，由 ，解得2)1( =y ，于是 。 例 4-2 （1） 设函数 由 确定, 则 = xyxyx sin)ln( 32 +=+)(xyy = )0(dy 。 【解】 首先， 时， 。 1=y0=x xyxyx yx yx cos32 322 +′+=+ ′+ ， 1)0( =′y ，或： xdxdyxydxx yx dyxdx cos32 322 ++=+ + ， 因此 。另：切线方程为dxdy =)0( xy += 1 xy −= 1；法线方程为 。 ))(cos( x fy 1=例 4-2（2）设 )(xφ 与 为可导函数，)(xf =dy ，则 。 dx x f xx dy ))1(cos(1sin 2 1 2 3 ′−=【解】 . ( )xyy = ( ) =′′ 0y例 4-3 已知函数 由方程 确定，则016 2 =−++ xxye y ________。 ( ) 00 =y【解】 在原等式中令 ，得0=x 。由已知方程两边求导得 ， 0266 =+′++′ xyxyye y . 026662 =+′′+′+′+′′+′ yxyyyeye yy 得到 ； 。 ( ) 00 =′y ( ) 20 −=′′y , 23 1)( 2 +−= xxxf 则 =)( )( xf n例 4-4 设 。 1 1 2 1 23 1)( 2 −−−=+−= xxxxxf ， 【解】 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com )2,1(], )1( ! )2( ![)1( 11 ≠−−−− ++ xx n x n nn n=)()( xf n 。 00 >′> )(,)( xfxf例 4-5 设 在 上满足)(xf ],[ ba ， Abf afbf ab − − +→ )( )(ln)(lnlim若已知 ， ，则极限 0)( >=′+ BafAaf =)( = 。 【解】 由导数定义，即有 Abf afbf ab − − +→ )( )(ln)(lnlim )()( )(ln)(lnlim afbf ab ab afbf ab − −⋅− −= +→ )()( lim)(ln)(lnlim afbf ab ab afbf abab − −⋅− −= ++ →→ ABA B 11 =⋅⋅=)( 1])([ln af af + + ′⋅′= 。 例 4-6 设 有任意阶导数，且满足 ，则 （ ）。 )()( 2 xfxf =′ =)()( xf n)(xf （A） . （B） . （C） . （D） . )(! 1 xfn n+ )(1 xnf n+ )(2 xf n )(! 2 xfn n ( )222 )()()()( xfxfxfxf ′+′′=′′′【解】 ，)()()( xfxfxf ′=′′ 2 )(!)()()()( xfxfxfxfxf 44 3222 =+′⋅= ， 假设 ，考虑 =)()( xf n )(! xfn n 1+ )()()!( xfxfn n ′+=+ )()( xf n 1 1 )()!( )( xfn n 21 ++= ，应选（A）。 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 例 4-7 设曲线 与直线21 xey −= 1−=x 的交点为 ，则曲线 在点 处的切线方程 为（ ）。 21 xey −=p p (A) 。 (B) 012 =−− yx 012 =++ yx 。 (C) 。 (D) 032 =−+ yx 032 =+− yx 。 【解】 答案：（D）。交点 为 ， ，212 xxey −−=′ 2)1( =−′yp )1,1(− 。 21 xey −= 在点 处的切线方程为p )1(21 +=− xy 。 例 4-8 设函数 有反函数 ， ，且0>a)(xf )(xg 0)(,)( ≠=′= cafbaf ， ， 2=′′ )(af 则 =′′ )(bg 。 2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 培训网：www.tsinghuatutor.com 【解】 (1) 记 ， 为 的反函数，已经改变了变量记号，为利用反函数导 数，应将 易为 。注意到 )(xfy = )(xg )(xf caf bg 1 )( 1)( =′=′ax =)(xg )(yg by = 时， ，并且 x1=′′ )()( ygxf 两边关于 再次求导得到 由等式 0=′′′′+′′′ xyygxfygxf )()()()( 或 02 =′′′+′′′ )()]([)()( ygxfygxf 32 2)()()( cc bgafbg −=′′′−=′′ax = ，得到 。 令 例 4-9 （1）函数 的 100 阶导数是 xxy sin2= . 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 3 （2） 函数 在)1ln()( 2 xxxf += 0=x 处的 100 阶导数 为 )0()100(f 。 【解】 （1） 由莱布尼茨高阶导数公式，注意到 的 阶导数均为零，则有 3≥n2x )98(2 )(sin)( !2 99100 xx ′′×+)99(2)100(2)100( )(sin)(100)(sin xxxxy ′+= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 99sin200 2 100sin2 ππ xxxx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +×+ 2 98sin99100 πx 。 xxxxx sincossin 99002002 −−= （2）（泰勒公式，泰勒多项式的惟一性） 因为 )()1()1ln()( 2 1 1 22 + = − +−=+= ∑ nkn k k xox k xxxxf )()1( 22 1 1 ++ = − +−= ∑ nkn k k xox k ， kk fa kk k 1)2( 2 )1( )!2( )0( −+ + −=+= 1002 =+k 98=k ， 则有 ，令 ， 98 1 !100 )0()100( −=f 98 !100)0()100( −=f，即 。 所以 注 本也可利用莱布尼茨高阶导数公式求解。